Huomattavat kohdat ja kuperan reunan osat

Dimensio 3: n avaruuden kuperan polyhedron edessä, riippumatta siitä, onko se tuttu kuutiona tai monimutkaisempi, tiedämme spontaanisti, kuinka tunnistaa pisteet, joissa kupera on "terävä", sen pisteet, sitten jakaa jäljellä olevat pisteet kasvojen reunat ja pisteet.

Tässä artikkelissa esitetään joitain määritelmiä, jotka laajentavat nämä käsitteet yleisiin kuperiin ryhmiin , mihin tahansa ulottuvuuteen, mahdollisesti kaarevalla reunalla. Yksi näistä yleistyksistä, kärjen käsite , vastaa intuitiota, joka meillä voi olla tästä käsityksestä kuutiossa (pallon pisteet eivät ole sen rajoittamien pallojen kärjet). Esseenin pisteet voivat osaltaan olla enemmän, tarpeeksi, jotta se voidaan muodostaa uudelleen kaikkia kupera niiden kupera kirjekuori, ja tämä vaikka sen muoto on sileä (siis kaikki kohdat rajan kuulan ovat Esseenin).

Kun kuutiopisteiden kolme yleistystä on lueteltu, artikkeli esittelee kaksi vertikaali-reuna-kasvohierarkian muunnosta, jotka yhtyvät kuperiin polyhedeihin.

Raajojen kohdat

Määritelmä

Antaa olla kupera ja pisteen . Sanomme, että se on äärimmäinen kohta , kun se on vielä kupera. VS{\ displaystyle C}vs.{\ displaystyle c}VS{\ displaystyle C}vs.{\ displaystyle c}VS{\ displaystyle C}VS∖{vs.}{\ displaystyle C \ setminus \ {c \}}

Suljetun kuperan ääripisteiden joukko ei välttämättä ole suljettu, vaikka intuitio saattaa olla harhaanjohtava seuraavan tuloksen takia, josta tulee väärä ulottuvuudesta  : 3{\ displaystyle 3}

Lause  -  Jos ulottuvuus on suljettu kupera , sen ääripisteiden joukko on suljettu. VS{\ displaystyle C} 2{\ displaystyle 2}

Minkowskin ja Kerin-Milmanin lauseet

Tämä lause, joka johtuu Hermann Minkowskista , antaa mahdollisuuden palauttaa kaikki kuperat sen ainoista ääripisteistä:

Lause  -  Kaikki kompakti kupera , joka affiini tila on rajallinen ulottuvuus on kupera kuori ja joukko sen päätepisteiden.

Todiste ei ole kovin pitkä, keskeinen väline ollessa lause, olemassaolo tuen hypertaso missään vaiheessa rajan kupera.

Se voidaan yleistää tiettyjen tilojen ääretön ulottuvuus, edellyttäen soveltaa hieno sulkeminen operaattorin kuperaa kirjekuoren. Tämän tyyppinen laajennus toiminnalliseen analyysiin juontaa juurensa vuoteen 1940 ja on matemaatikkojen Mark Kerinin ja David Milmanin työ .

Lause  -  Kaikki kompakti kupera on erillinen paikallisesti kupera tila on adheesio kuperan rungon kaikkien sen päätepisteiden.

Erityinen ääripisteiden luokka: paljaat kohdat

Antaa olla kupera ja piste . Sanomme, että on alttiina piste on , jossa on hypertaso tukea on tarkastaa: . VS{\ displaystyle C}vs.{\ displaystyle c}VS{\ displaystyle C}vs.{\ displaystyle c}VS{\ displaystyle C}H{\ displaystyle H}VS{\ displaystyle C}H∩VS={vs.}{\ displaystyle H \ korkki C = \ {c \}}

Seuraava lausunto on melkein ilmeinen, mutta sen päinvastoin on väärä ulottuvuudesta 2:

Lausunto  -  Kaikki altistuvat kohdat ovat ääripäisiä.

Tosin jos altistuu , voimme kirjoittaa varten yhden avoimen puoli-tilat rajaavat , joten kuperuus kuin risteyksessä ja pullistumaa. vs.{\ displaystyle c}VS{\ displaystyle C}VS∖{vs.}=VS∩R{\ displaystyle C \ setminus \ {c \} = C \ cap R}R{\ displaystyle R}H{\ displaystyle H}VS∖{vs.}{\ displaystyle C \ setminus \ {c \}}

Vastavuoroisuuden puuttuessa meillä on kuitenkin seuraavat tiedot (tämä on S. Straszewiczin aiheuttama lause, joka on vuodelta 1935):

Lause  -  Suljetussa kuperassa äärellisessä mitassa mikä tahansa ääripiste on paljaiden pisteiden raja.

Erityinen altistuvien pisteiden luokka: kärjet

Tässä osassa työskentelemme yksinomaan äärellisessä ulottuvuudessa.

Määritelmä ja vertailu altistuneisiin pisteisiin

Antaa olla kupera ja piste . Me sanomme, että on kärki on , kun on on raja on ja risteyksessä tukevan hyperplanes on pisteessä alenee . VS{\ displaystyle C}vs.{\ displaystyle c}VS{\ displaystyle C}vs.{\ displaystyle c}VS{\ displaystyle C}vs.{\ displaystyle c}VS{\ displaystyle C}VS{\ displaystyle C}vs.{\ displaystyle c}{vs.}{\ displaystyle \ {c \}}

Ehdotus  -  Kuparissa (äärellisessä mitassa) mikä tahansa kärki on paljaana oleva piste.

Esittely

Merkitään kupera, pidetty kärki, ympäröivä affiininen tila ja sen ulottuvuus. Tarjoamme euklidisen rakenteen. VS{\ displaystyle C}vs.{\ displaystyle c}E{\ displaystyle E}d{\ displaystyle d}E{\ displaystyle E}

Huomaa vektoreiden muodostama osa, joka täyttää seuraavat ehdot: Svs.{\ displaystyle S_ {c}}E{\ displaystyle E}s{\ displaystyle s}

∀x∈VS,<s|x> ≤ <s|vs.>{\ displaystyle \ forall x \ in C, <s | x> \ leq <s | c>}.

Kun s ei ole nolla, tämä ehto tulkitaan geometrisesti: se tarkoittaa, että sen läpi kulkeva ja siihen kohtisuorassa oleva hypertaso on tuettu vektoriin, joka osoittaa kuperan vastakkaiselle puolelle. Risteyksessä tukea hyperplanes on siis joukko , jossa on kohtisuorassa kaikki elementit  ; ytimekkäämpi se on . vs.{\ displaystyle c}s{\ displaystyle s}vs.{\ displaystyle c}s{\ displaystyle s}vs.+u{\ displaystyle c + u}u{\ displaystyle u}Svs.{\ displaystyle S_ {c}}vs.+Svs.⊥{\ displaystyle c + S_ {c} ^ {\ perp}}

Sanomalla, että se on kärkipiste, tarkoitetaan, että tämä leikkauspiste on supistettu , mikä tarkoittaa sanomista, joka on pienennetty tai että generoima vektoritila on yhtä suuri kuin mikä tahansa kokonaisluku. Sen vuoksi on mahdollista valita -tuple vektoreiden sisään , joka muodostaa pohjan . vs.{\ displaystyle c}{vs.}{\ displaystyle \ {c \}}Svs.⊥{\ displaystyle S_ {c} ^ {\ perp}}{0}{\ displaystyle \ {0 \}}Svs.{\ displaystyle S_ {c}}E{\ displaystyle E}d{\ displaystyle d}(s1,...,sd){\ displaystyle (s_ {1}, ..., s_ {d})}Svs.{\ displaystyle S_ {c}}E{\ displaystyle E}

Huomaa . Joten kaiken kaupungissa  : v=s1+⋯+sd{\ displaystyle v = s_ {1} + \ cdots + s_ {d}}x{\ displaystyle x}VS{\ displaystyle C}

<v|x> = <s1|x>+⋯+<sd|x> ≤ <s1|vs.>+⋯+<sd|vs.> = <v|vs.>{\ displaystyle <v | x> = <s_ {1} | x> + \ cdots + <s_ {d} | x> \ leq <s_ {1} | c> + \ cdots + <s_ {d} | c > = <v | c>}

mikä jo osoittaa, että sen läpi kulkeva ja siihen kohtisuora hypertaso on tuettu sisään  ; lisäksi jos se on kohta , edellinen epätasa-arvo on tasa-arvo. Siksi on välttämättä, että kaikki eriarvoisuudet ovat itsessään tasa- arvoja ( ). Koska se on perusta , päätämme sen , mikä todistaa, että se ei sisällä kuperan pistettä sen ulkopuolella . H{\ displaystyle H}x{\ displaystyle x}v{\ displaystyle v}vs.{\ displaystyle c}x{\ displaystyle x}H∩VS{\ displaystyle H \ korkki C}<si|x> ≤ <si|vs.>{\ displaystyle <s_ {i} | x> \ leq <s_ {i} | c>}1≤i≤d{\ displaystyle 1 \ leq i \ leq d}(s1,...,sd){\ displaystyle (s_ {1}, ..., s_ {d})}E{\ displaystyle E}x=vs.{\ displaystyle x = c}H{\ displaystyle H}vs.{\ displaystyle c}

Pisteiden joukko on enintään laskettavissa

Lause  -  Kupera (äärellisessä ulottuvuudessa) sisältää eniten laskettavia pisteitä .

Esittely

Otamme jälleen edellisessä mielenosoituksessa esitetyt merkinnät.

Huomaa ensin, että kaikkien ehdottomasti positiivisten todellisuuksien osalta vektori on ja että näiden vektoreiden joukko on ilmeisesti avoin, josta päätämme, että sisäinen ei ole tyhjä. Näin on myös sen käännetyssä tapauksessa . a1,...,ad{\ displaystyle \ alpha _ {1}, ..., \ alpha _ {d}}a1s1+...+adsd{\ displaystyle \ alpha _ {1} s_ {1} + ... + \ alpha _ {d} s_ {d}}Svs.{\ displaystyle S_ {c}}Svs.{\ displaystyle S_ {c}}vs.+Svs.{\ displaystyle c + S_ {c}}

Mieti nyt vektorin on  ; asetetaan , sisään . Sillä on harkita pistetulo (jos lopullinen epätasa tulee hyvin määritelmä ). y{\ displaystyle y}vs.+Svs.{\ displaystyle c + S_ {c}}y=vs.+s{\ displaystyle y = c + s}s{\ displaystyle s}Svs.{\ displaystyle S_ {c}}x{\ displaystyle x}VS{\ displaystyle C}<x-vs.|y-vs.> = <x-vs.|s> = <s|x>-<s|vs.> ≤0{\ displaystyle <xc | yc> = <xc | s> = <s | x> - <s | c> \ leq 0}Svs.{\ displaystyle S_ {c}}

Ottaen variational luonnehdinta projektio suljetulla kupera , voimme päätellä, että on projektio on suljetun kupera . vs.{\ displaystyle c}sVS¯(y){\ displaystyle p _ {\ overline {C}} (y)}y{\ displaystyle y}VS¯{\ displaystyle {\ overline {C}}}

Ottakaamme siis tiheä numeroituva osa on . Minkä tahansa kuperan kärkipisteen kohdalla täytä (koska tämä ei ole sisätiloissa) ja ottaa arvon missä tahansa kohdassa  : siksi arvo itselleen ottaa arvon . Tämä kartta, joka on määritetty laskettavissa olevalle joukolle, joka ottaa minkä tahansa arvon kärjen, päätellään, että pisteiden joukko on enintään laskettavissa. AT{\ displaystyle A}E{\ displaystyle E}vs.{\ displaystyle c}AT{\ displaystyle A}vs.+Svs.{\ displaystyle c + S_ {c}}sVS¯{\ displaystyle p _ {\ overline {C}}}vs.{\ displaystyle c}vs.+Svs.{\ displaystyle c + S_ {c}}sVS¯{\ displaystyle p _ {\ overline {C}}}AT{\ displaystyle A}vs.{\ displaystyle c}

Asiayhteydet

Huolehditaan siitä, että sanalla "kasvot" ei ole tässä merkitystä, joka sillä on perinteisen polyhedran tutkimuksessa ulottuvuuden 3 avaruudessa, niitä reunustavien tasoelementtien merkityksessä. Tässä "kasvoilla" voi olla kaikki mitat, mukaan lukien 0 tai 1. Sekä kuution että tetraedrin kärjet, reunat ja tavalliset "kasvot" ovat seuraavien määritelmien mukaisia ​​kasvoja.

Valotettujen pisteiden asiayhteys: valotetut kasvot

Aloitamme tästä laajentamalla "paljastettujen pisteiden" käsitettä, vaikka se ei olekaan hyödyllisintä, mutta koska se on helpoin määritellä ja visualisoida: kutsumme kuperan paljaana oleviksi kasvoiksi mitä tahansa muotojoukkoa , missä on tukeva Hyperplane of . VS{\ displaystyle C}H∩VS{\ displaystyle H \ korkki C}H{\ displaystyle H}VS{\ displaystyle C}

Seuraava huomautus on siksi tautologinen:

Huomautus  -  Kohta on kupera altistuu jos ja vain jos on alttiina kasvot . vs.{\ displaystyle c}VS{\ displaystyle C}{vs.}{\ displaystyle \ {c \}}VS{\ displaystyle C}

Paljaat pinnat peittävät koko rajan, koska se ohittaa tukevan hypertason ainakin sen jokaisessa kohdassa. VS{\ displaystyle C}

Äärimmäisten pisteiden asiayhteys: kasvot

Aivan kuten paljaat kohdat ovat ulottuvuuden nolla paljaita pintoja, päätepisteet ovat ulottuvuuden nolla pintoja, joissa "kasvot" määritellään seuraavasti:

Osa kuperan sanotaan olevan kasvot ja kun on ei-tyhjä kupera, jolla on seuraava ominaisuus: jos avoimen lohkon piirretty täyttää , silloin koko suljettu segmentti sisältyy . F{\ displaystyle F}VS{\ displaystyle C}VS{\ displaystyle C}F{\ displaystyle F}]x,y[{\ displaystyle] x, y [}VS{\ displaystyle C}F{\ displaystyle F}[x,y]{\ displaystyle [x, y]}F{\ displaystyle F}

Kaksi seuraavaa lausumaa ovat lähes välitöntä, ja toinen tarkistetaan samalla tavalla kuin todettiin, että altistuneet kohdat olivat äärimmäisiä:

Proposition  -  Kohta kuperan on Esseenin jos ja vain jos on kasvot . vs.{\ displaystyle c}VS{\ displaystyle C}{vs.}{\ displaystyle \ {c \}}VS{\ displaystyle C}

Lausunto  -  Valotetut kasvot ovat kasvoja.

Tämän toisen lausunnon perusteella (muun kuin minkä tahansa kokonaisluvun, joka on suurimman ulottuvuuden yksilöllinen pinta) kasvot kattavat siis koko alueen . VS{\ displaystyle C}VS{\ displaystyle C}VS{\ displaystyle C}

Päinvastoin ei pidä paikkaansa (koska on ääripisteitä, joita ei ole paljastettu, ne antavat heti esimerkin kasvoista, jotka eivät ole paljaita kasvoja), kuitenkin poikkeuksena koodimension 1 kasvot , joita 'me kutsumme joskus puoliksi  :

Lausuma  -  Antaa olla kupera, äärellinen ulottuvuus . Mikä tahansa mittapinta on valotettu. VS{\ displaystyle C}d{\ displaystyle d}VS{\ displaystyle C}d-1{\ displaystyle d-1}

Toisin kuin paljaat kasvot, kasvot on järjestetty erityisen miellyttävällä hierarkkisella tavalla, joka ilmaistaan ​​kahdella seuraavalla lausunnolla:

Ehdotus  -  Jos on kasvot ja kasvot , niin on kasvot . F{\ displaystyle F}VS{\ displaystyle C}F1{\ displaystyle F_ {1}}F{\ displaystyle F}F1{\ displaystyle F_ {1}}VS{\ displaystyle C}

Lausunto  -  Jos on äärellinen ulottuvuus kupera, kasvojen suhteelliset sisätilat muodostavat sen osion . VS{\ displaystyle C}VS{\ displaystyle C}

Osioilmoitusten todentaminen

Ensimmäisessä ehdotuksessa joko ääripää. Mieti segmentti on säiliössä . Kuten kupera, ainakin yksi sen päistä ei ole tässä sarjassa, joten se on yhtä suuri kuin . Mutta piste segmentin sisällä voi olla yhtä suuri kuin loppu vain, jos segmentti on singletti . vs.{\ displaystyle c}]x,y[{\ displaystyle] x, y [}VS{\ displaystyle C}vs.{\ displaystyle c}VS∖{vs.}{\ displaystyle C \ setminus \ {c \}}vs.{\ displaystyle c}x=y=vs.{\ displaystyle x = y = c}

Toista ehdotusta varten, toisin sanoen paljaat kasvot ja tukeva hypertaso . Olkoon nyt avoin segmentti, joka kohtaa - ja siten H: n - samalla kun se vedetään sisään ja joka sijaitsee vain toisella puolella  : tämä segmentti on välttämättä kokonaan sisällä , joten myös sen ääripäissä, jotka siis todellakin ovat . F{\ displaystyle F}H{\ displaystyle H}F=H∩VS{\ displaystyle F = H \ korkki C}]x,y[{\ displaystyle] x, y [}VS∖F{\ displaystyle C \ setminus F}VS{\ displaystyle C}H{\ displaystyle H}H{\ displaystyle H}F{\ displaystyle F}

Kolmannen lausuman, eli kasvot ulottuvuuden , hypertaso affiinia kirjekuoret Affiininen of ja pisteen suhteellisen sisätilojen (eli sen sisustus ). Huomaa , niin että ja osoittavat vastavuoroisen osallisuuden; tämän tarkoituksen kanssa . Sitten segmentin loppuosa on, ja koska se on sen suhteellisessa sisäosassa , vastaava avoin segmentti sisältää pisteitä . Tämän segmentin viimeinen pää on siis myös vuonna . Seuraavaksi tarkista, että se on tukeva hypertaso. Jos näin ei olisi, olisi kaksi pistettä ja on molemmin puolin (tiukasti). Segmentti olisi tällöin segmentti, jonka päiden ulkopuolella sisätilat kohtaavat siinä kohdassa , jossa tiedämme olevan yhtä suuri . Kasvojen määritelmä kieltää tämän. Olemme vihdoin kirjoitti hyvin muodossa kanssa tukevat hypertaso, osoittaa, että se on alttiina. F{\ displaystyle F}d-1{\ displaystyle d-1}H{\ displaystyle H}F{\ displaystyle F}vs.{\ displaystyle c}F{\ displaystyle F}H{\ displaystyle H}F′=H∩VS{\ displaystyle F '= H \ korkki C}F⊂F′{\ displaystyle F \ osajoukko F '}vs.′∈F′{\ displaystyle c '\ in F'}[vs.,vs.′]{\ displaystyle [c, c ']}VS{\ displaystyle C}vs.{\ displaystyle c}F{\ displaystyle F}F{\ displaystyle F}vs.′{\ displaystyle c '}F{\ displaystyle F}H{\ displaystyle H}klo{\ displaystyle a}b{\ displaystyle b}VS{\ displaystyle C}H{\ displaystyle H}[klo,b]{\ displaystyle [a, b]}F{\ displaystyle F}H{\ displaystyle H}F′{\ displaystyle F '}F{\ displaystyle F}F{\ displaystyle F}F=F′=H∩VS{\ displaystyle F = F '= H \ korkki C}H{\ displaystyle H}

Siirrytään neljänteen ehdotukseen. Anna segmentin olla avoin kokouksessa . Enemmän tämä segmentti kohtaa , mikä on kasvot , joten sen päät ovat sisään . Koska kasvot ovat määritelmän mukaan kuperat, koko segmentti on sisäänpäin . Sitten meillä on segmentti, jossa sisätilojen piste kohtaa  ; koska sen kaksi päätä ovat kasvot . ]x,y[{\ displaystyle] x, y [}VS{\ displaystyle C}F1{\ displaystyle F_ {1}}F{\ displaystyle F}VS{\ displaystyle C}F{\ displaystyle F}[x,y]{\ displaystyle [x, y]}F{\ displaystyle F}F{\ displaystyle F}F1{\ displaystyle F_ {1}}F1{\ displaystyle F_ {1}}F{\ displaystyle F}F1{\ displaystyle F_ {1}}

Jäljelle jää lausunto, joka koskee kasvojen suhteellisten sisätilojen jakamista. Näytämme sen indusoimalla kuperan ulottuvuuden, alustus on ilmeinen (pisteen tapaus). Oletetaan täten, että ulottuvuuden kuperat ovat ehdottomasti pienempiä ja annetaan olla ulottuvuuden kupera . k{\ displaystyle k}VS{\ displaystyle C}k{\ displaystyle k}

• Kasvojen suhteellisten sisätilojen tyhjyys johtuu vaaditusta itsensä kasvojen tyhjyyden tilasta.

• Mitä tulee suhteellisten sisätilojen yhdistämiseen, ole asia . Jos se on suhteellisessa sisätiloissa , huomaamalla, että se on itse kasvot, olemme esittäneet kasvoja, joiden suhteellinen sisustus sisältää . Jos se on rajalla, anna olla paljaat kasvot, jotka sisältävät . Induktiohypoteesin mukaan se kuuluu toisen pinnan suhteelliseen sisätilaan , joka itse edellisen lausunnon mukaan on kasvot .vs.{\ displaystyle c}VS{\ displaystyle C}vs.{\ displaystyle c}VS{\ displaystyle C}VS{\ displaystyle C}vs.{\ displaystyle c}vs.{\ displaystyle c}F{\ displaystyle F}vs.{\ displaystyle c}vs.{\ displaystyle c}F{\ displaystyle F}VS{\ displaystyle C}

• Lopuksi tarkistetaan, että kaksi kasvojen suhteellista sisätilaa ovat joko tasa-arvoisia tai irti. Olkoon siis ja joiden suhteelliset sisätilat kohtaavat kaksi kasvoa ; merkitsevät niiden leikkauspistettä ja vastaavia affiinisia kirjekuoriaan. Osoitamme ensin  ; koska molemmat affiiniset alatilat kulkevat läpi , riittää varmistaa, että niillä on sama suunta. Antaa olla vektori suuntaan  ; kuten on suhteellisen sisätilojen , edellyttäen, että kaksi pistettä on ottanut tarpeeksi pieni, ja ovat molemmat näin ollen , kun taas avoimen segmentin, joka liittyy niiden läpi , joka on . Kuten on kasvot, päät Segmentin myös ja kuuluvat suuntaan . Vaihtamalla roolit ja todistamme tasa-arvon. Kun tämä vaihe on ohi, ottamalla samaa perustelua kuin kolmannella ehdotus, tarkistamme että , ja sama . Tämä osoittaa, ja vielä enemmän , että näiden kahden kasvon suhteelliset sisätilat ovat samat.F1{\ displaystyle F_ {1}}F2{\ displaystyle F_ {2}}VS{\ displaystyle C}vs.{\ displaystyle c}G1{\ displaystyle G_ {1}}G2{\ displaystyle G_ {2}}G1=G2{\ displaystyle G_ {1} = G_ {2}}vs.{\ displaystyle c}u{\ displaystyle u}G1{\ displaystyle G_ {1}}vs.{\ displaystyle c}F1{\ displaystyle F_ {1}}a{\ displaystyle \ alfa}vs.+au{\ displaystyle c + \ alfa u}vs.-au{\ displaystyle c- \ alfa u}F1{\ displaystyle F_ {1}}VS{\ displaystyle C}vs.{\ displaystyle c}F2{\ displaystyle F_ {2}}F2{\ displaystyle F_ {2}}F2{\ displaystyle F_ {2}}u{\ displaystyle u}G2{\ displaystyle G_ {2}}G1{\ displaystyle G_ {1}}G2{\ displaystyle G_ {2}}F1=G1∩VS{\ displaystyle F_ {1} = G_ {1} \ korkki C}F2{\ displaystyle F_ {2}}F1=F2{\ displaystyle F_ {1} = F_ {2}}

Pisteiden kontekstualisointi: rajapisteiden luokittelu niiden järjestyksen mukaan

Lopullisessa ulottuvuudessa olemme juuri nähneet, että kullekin rajapisteelle voisi liittyä eräänlainen "ulottuvuus", sen kasvojen ainutlaatuisen suhteellisen sisätilan, johon se kuuluu.

On toinen tapa edetä yhdistämisessä kokonaisluvun välisen ja kokonaisluvun ulottuvuuden kuperan rajan kuhunkin pisteeseen liittyen "huippujen" määrittelyyn. 0{\ displaystyle 0}d-1{\ displaystyle d-1}

Ja kupera rajallinen ulottuvuus ja pisteen rajan . Kutsumme järjestyksen ja ulottuvuus risteyksessä tuki- hyperplanes osoitteessa vuonna . VS{\ displaystyle C}vs.{\ displaystyle c}VS{\ displaystyle C}vs.{\ displaystyle c}VS{\ displaystyle C}vs.{\ displaystyle c}

Täten pisteet ovat nollajärjestyksen pisteitä.

Hyvin yksinkertainen esimerkki tasolevystä osoittaa, että tämä käsite ei ole päällekkäinen edellisen kanssa: sitä reunustavan ympyrän kaikki pisteet ovat äärimmäisiä, joten jokainen singletti on itsessään kasvot: jakamalla kasvot, yhdistämme koko pisteen kuhunkin pisteeseen . Toisaalta kussakin kohdassa on ainutlaatuinen tukilinja, ja järjestys on siten kaikkialla yhtä suuri kuin . 0{\ displaystyle 0}1{\ displaystyle 1}

Kuparin polyhedran tapaus

Kolme käsitystä, joista tämä artikkeli on tehnyt rinnakkaisen esityksen, yhtyvät kuperan polyhedran tärkeässä erityistapauksessa (jonka määritämme kuten artikkelissa Polytope lopullisen määrän puolivälien leikkauksina affiniteettisessa avaruusalueessa, joka on valmis ).

Tässä erityistapauksessa:

Ehdotus  -  Kupera polyhedron,

• rajan kaikki kasvot paljastuvat;

• Rajan jokaisen pisteen järjestys on yhtä suuri kuin kasvojen ainutlaatuisen suhteellisen sisätilan ulottuvuus, johon se kuuluu.

Erityisesti on olemassa kärkipaketin ja ääripisteiden identiteetti. Kompaktin kuperan monikulmion kohdalla Minkowskin lause voidaan sen vuoksi myös todeta varmistavan, että se on sen huippujen joukon kupera kirjekuori.

Jotkut muut tiedot, jotka liittyvät kuperan polyhedron jakamiseen pintoihin, jotka osoitamme samanaikaisesti edellisen ehdotuksen kanssa, ansaitsevat tuoda esiin tässä pikakatselussa. Muistakaamme, että kutsumme ulottuvuuden kuperan puolia sen ulottuvuuden kasvoiksi  : d{\ displaystyle d}d-1{\ displaystyle d-1}

Ehdotus  -  Kupera polyhedron , VS{\ displaystyle C}

• puolet ovat lukumäärältään rajallisia ja kattavat koko suhteellisen rajan, ne ovat itse kuperia polyhedraa;

• jokainen oikea kasvot on itsessään kasvon puoli .VS{\ displaystyle C}VS{\ displaystyle C}

Yksi seuraus on, että saamme kaikki oikeat kasvot huomioimalla puolet, sitten puolien puolet jne. Pinnat ovat siis lukumäärältään rajallisia, ja etenkin pisteet: mikä tahansa kompakti kupera monikulmio on siis rajallisen määrän pisteiden kupera kirjekuori.

Viitteet

Ellei toisin mainita, tässä artikkelissa annetut tiedot ovat peräisin kuperan analyysin perusteista , kirjoittanut Jean-Baptiste Hiriart-Urruty ja Claude Lemaréchal, coll. "Grundlehren Text Editions", Springer, 2001 ( ISBN  978-3-540-42205-1 ) s. 41-45, 57 tai 246.

Marcel Berger , Geometria [ yksityiskohdat painoksista ] toimi lähteenä pisteille omistetuille osioille (osa 11.6, osa 3, s. 50-52 vuoden 1978 painoksessa), pisteytysjärjestykselle (sama osa, s. 50) ja polyhedra-kuperalle ( kohta 12.1, s.89-90).

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">