Kuutio

Kuutio


Tyyppi	Platoninen kiinteä aine
Kasvot	6 ruutua
Reunat	12
Pisteet	8
Kasvot / kärki	3
Ominaisuus	2

Schläfli-symboli	{4.3}
Wythoff-symboli	3
Coxeter-Dynkin-kaavio
Dual	Säännöllinen oktaedri
Symmetriaryhmä	O h
Äänenvoimakkuus	a³
Alue	6a²
Dihedraalinen kulma	90 °
Ominaisuudet	kupera zonohedron

Vuonna Euklidinen geometria , eli kuutio on oikea prisma , jonka kasvot ovat neliön ja siksi yhtäläiset ja päällekkäin. Kuutio on yksi avaruuden merkittävimmistä kiinteistä aineista . Se on ainoa Platonin viidestä kiinteästä aineesta , jolla on täsmälleen 6 pintaa, 12 reunaa ja 8 kärkeä. Sen toinen nimi on " säännöllinen heksahedroni ".

Koska sillä on neljä kärkeä kasvoja kohden ja kolme kasvoa kutakin kärkeä kohti, sen Schläfli-symboli on {4.3}.

Sanan kuutio etymologia on kreikka ; kuutio tulee kubosista , noppaa .

Termi kuutio , sovellettuna numero , tarkoittaa arvoa, joka saadaan kertomalla että määrä itsestään ja uudelleen kertomalla tulos alkuperäinen lukumäärä. Tämä lauseke syntyi aikana, jolloin geometrinen algebra oli läsnä kaikkialla, luvun neliön nähtiin neliön pinta-alana alkuperäisestä numerosta ja luvun kuutiosta a. Kuution tilavuutena alkuperäisen numeron ulkopuolella. Ilmaisu " a 3 " voidaan lukea "kuutioiksi" ja "kuutioiksi".

1-luuranko kuution - joukko sen pisteiden yhdistetty reunoistaan - muodostaa kuvaaja kutsutaan hexahedral kaavio .

Geometria

Kuutio on yksi Platonin viidestä kiinteästä aineesta . Kuutio kuuluu oikeiden prismojen perheeseen . Siinä on 8 kärkeä ja 12 reunaa . Pisteille voidaan ottaa esimerkiksi koordinaattien pisteet . Lisäksi: ${\ mathbb R} ^ {3}$ ${\ displaystyle (\ pm 1, \ pm 1, \ pm 1)}$

Kaksi reunaa, joilla on yhteinen pää, ovat kohtisuorassa.
Vastakkaiset kasvot ovat yhdensuuntaiset . Viereiset kasvot ovat kohtisuorassa
Kaikki kaksisuuntaiset kulmat ovat suorat .
Lävistäjät leikkaavat yhdessä pisteessä, keskustan symmetriaa kuution isobarycenter kahdeksan kärjet.

Mutta määritelmän mukaan sen reunat ovat kaikki yhtä pitkiä, sanovat a . Sen kasvot ovat siis neliöitä on alueella 2 .

Kuution pinta-ala on siis 6 - 2 ;
sen tilavuus on yhtä suuri kuin 3 ;
pituus lävistäjä on yhtä suuri kuin √ 3 ;
rajattujen alalla on siksi säde on √ 3 /2;
reunoja tangentin sisältävän pallon säde on a / √ 2 ;
kaiverretun pallon säde a / 2;
diagonaalin ja kunkin vierekkäisen reunan välinen kulma on ${\ displaystyle \ arccos \ left ({\ frac {1} {\ sqrt {3}}} \ right) \ simeq 54 {,} 74 ^ {\ circ}.}$
diagonaalin ja kunkin vierekkäisen tason välinen kulma on $\ arctan \ left ({\ frac 1 {{\ sqrt 2}}} \ right) \ simeq 35 {,} 26 ^ {\ circ}.$

Se on sen tilavuuden ilmaisu, joka johti sanan kuutio käyttöön algebrassa .

Muut määritelmät

Kuutiossa on muita vastaavia määritelmiä:

kuutiot ovat ainoa polyhedra, jonka kasvot ovat kaikki neliöitä;
kuutio on järjestyksessä 3 oleva vastamondi , jolla on säännölliset kärjet ja yhtäläiset kaksisuuntaiset kulmat.

Isometrioiden ryhmä

Ryhmä isometries kuution, jota merkitään O h , ja alaryhmä sen positiivinen isometries (sen kierrosta ), merkitään O, kutsutaan myös octahedral symmetria ryhmiä , koska ne ovat samat kuin sen kahden polyhedron , l ' säännöllisen oktaedrin .

Kuutio on yksi moniarvoisimmista polyhedeistä:

3 pyörimisakselia järjestyksessä 4: kahden vastakkaisen pinnan keskustan läpi kulkevat akselit;
6 pyörimisakselia järjestyksessä 2: akselit kulkevat kahden vastakkaisen reunan keskeltä;
4 pyörimisakselia järjestyksessä 3: kahden vastakkaisen kärjen läpi kulkevat akselit;
keskeinen symmetria keskiön suhteen kuution;
9 symmetriatasoa : 3 reunaa välittävää tasoa, 6 tasoa, jotka kulkevat kahden vastakkaisen reunan läpi.

Kuution isometria kiinnittää sen keskikohdan. Siksi se määritellään kokonaan kärkipisteen A ja sen kolmen naapurin kahden (B ja C) kuvan avulla (koska nämä kolme pistettä muodostavat keskipisteen kanssa vertailupisteen avaruudessa ). Pisteessä A voi olla kuvalle mikä tahansa A 'kuution 8 kärjestä. Kärkipisteelle B on sitten 3 mahdollista kuvaa A ': n kolmen naapurin joukossa, sitten C: n kuvassa 2 kuvaa kahden jäljellä olevan naapurin joukossa. Tämä osoittaa, että isometriat, jotka poistuvat kuutiosta globaalisti invarianttina, ovat 8 × 3 × 2 = 48, mukaan lukien 24 kierrosta, vain yksi kahdesta C-kuvasta antaa saman A'B'C: n suunnan ABC: n suhteen. 24 kierrosta ovat:

identiteettisovellus, joka on kierto (nollakulma ja mikä tahansa akseli);
3 akselin puolikierrosta kahden vastakkaisen pinnan keskustan läpi (mahdollista 3 akselia);
6 neljäsosakierrosta akselia, joka kulkee kahden vastakkaisen pinnan (3 mahdollista akselia ja 2 mahdollista kulmaa) keskipisteen läpi;
6 akselin puolikäännöstä kahden vastakkaisen reunan keskipisteiden läpi (6 akselia mahdollista);
8 kolmasosaa akselin kierrosta kulkee kahden vastakkaisen kärjen (4 mahdollista akselia ja 2 mahdollista kulmaa) läpi.

O-ryhmän Näiden 24 kierrosta on isomorfinen on symmetrinen ryhmä S 4 . Mikä tahansa kierto itse asiassa läpäisee kuution neljä lävistäjää, ja päinvastoin, mikä tahansa neljän lävistäjän permutaatio määrittelee yhden kierroksen.

Negatiivinen isometries kuution ovat antirotations koostuu näiden kiertojen keskus- symmetria ja lieventää sen kanssa. O-ryhmän h on siis suora sisäinen tuote alaryhmien O, että syklinen alaryhmä tilauksen 2 tuottaman keskus- symmetria. Se on suurin kolmiulotteisten verkkojen 7 kohtisuorasta ryhmästä .

24 negatiivista isometriaa ovat vastaavasti:

keskeinen symmetria
3 symmetriaa kuution keskustan läpi kulkevan ja pinnan suuntaisen tason suhteen (3 mahdollista tasoa);
6 koostuu edellisistä symmetrioista neljänneksellä akselikierrossa kohtisuorassa symmetriatasoon nähden (3 mahdollista tasoa ja 2 mahdollista kulmaa);
6 symmetriaa kahden vastakkaisen reunan (6 mahdollista tasoa) läpi kulkevan tason suhteen;
Kuvio 8 koostuu kuudennesta akselikierroksesta, joka kulkee kahden vastakkaisen kärjen läpi symmetrisesti kuution keskipisteen läpi kulkevan tason suhteen ja kohtisuorassa tähän akseliin nähden (4 mahdollista akselia ja 2 mahdollista kulmaa). Symmetriataso leikkaa kuution reunat muodostaen säännöllisen kuusikulmion.

Lopuksi kuution kahdeksan kärkeä voidaan jakaa kahteen säännölliseen tetraedraan , jotka ovat symmetrisiä toisilleen keskisymmetrian avulla. Tästä seuraa, että kuution 48 isometrian joukosta 24 jättää kumpikin näistä tetraedreista invariantteina ja 24 vaihtaa kaksi tetraedraa. Tetraedra-invariantista poistuvan kuution 24 isometriaa muodostavat ryhmän tetraedrin isometriat: 12 ovat kierrosta ja 12 ovat epäsuoria isometrioita. Nämä 24 isometriaa läpäisevät tetraedrin neljä kärkeä.

Kuviot

Kuution kuvioita on yksitoista ; tässä on neljä:

Kehitys rajat , puoli neliöt voidaan sijoittaa pienempi tai suurempi
Kehitetään siksak
Tämä kehitys sopii kahteen viiteen suorakulmioon ja minimoi hukkaan menevän tilan
Vasen neliö voidaan sijoittaa alemmaksi tai korkeammaksi

Osat

Taso ja kuutio voivat kohdata tai olla kohtaamatta. Jos he kohtaavat, heidän risteyksensä voi piirtää

piste
segmentti
kolmio
nelikulmainen, ainakin puolisuunnikkaan muotoinen, joskus suorakulmio tai jopa rombo.
viisikulmio. Tällä viisikulmalla on aina kaksi paria yhdensuuntaisia sivuja
kuusikulmio, jossa on kolme paria yhdensuuntaisia sivuja

Koska kuutiossa on vain kuusi sivua, ei ole mahdollista saada osiota, jossa on enemmän kuin 6 sivua.

Kolmiota seuraava osa
Ovi puolisuunnikkaan jälkeen
Rombin jälkeinen osa
Suurimman pinta-alan suorakulmiota seuraava osa
Viisikulmion jälkeinen osa, jossa on kaksi paria yhdensuuntaisia sivuja
Poikkileikkaus kuusikulmion jälkeen, jossa on kolme paria yhdensuuntaisia sivuja

Tason ja kuution leikkaus voi antaa kolmen tyyppisiä säännöllisiä polygoneja:

tasasivuinen kolmio diagonaaliin kohtisuorassa oleville tasoille, joiden etäisyys diagonaalin toisessa päässä on alle kolmasosa sen pituudesta. Kiitos kuution ABCDEFGH leikkauksen tasolta DBE (katso alla oleva kuva), joka on tasasivuinen kolmio DBE, jonka keskipiste on Ω, saadaan, että kuution diagonaali [AG] on jaettu kahteen osaan [GΩ] ja [ΩA]. on suhteessa 2: 1. Saamme myös, että kuutio koostuu kolmesta saman korkeuden kiinteästä aineesta : kahdesta pyramidista ADBE ja GCHF sekä kiinteästä CHFDEB;
neliö, tasoille, jotka ovat yhdensuuntaiset yhden pinnan kanssa. Mutta voimme myös saada neliön leikkaamalla kuution tasolla, joka on yhdensuuntainen diagonaalitason kanssa ja etäisyydellä siitä; ${\ displaystyle a {\ frac {{\ sqrt {2}} - 1} {2}}}$
säännöllinen kuusikulmio leikkaamalla kuutio sen diagonaalien välitystasolla.

Kuution diagonaali hajotettiin kahteen osaan suhteessa 2: 1 tasasivuisella kolmion osalla
Kuution leikkaus neliön mukaan. Yläpisteet ovat A: n etäisyydellä puolet AC: stä
Kuution kuusikulmainen leikkaus [AG}: n välittäjätasolla

Säännöllistä viisikulmaista ei ole mahdollista saada, koska 5-sivuisella osuudella taso leikkaa välttämättä kuution kaksi vastakkaista pintaa, joten kuvassa on kaksi yhdensuuntaista sivua, mitä ei tapahdu tavallisessa viisikulmiossa. Oikean kolmion muotoista leikkausta ei ole mahdollista saada, koska kaikki leikkauksella saadut kolmion kulmat ovat teräviä. Suorakulmion puolisuunnikkaan muotoista osaa ei ole mahdollista saada olematta suorakulmio.

Kuution osan, jonka sivu on $a,$ suurin alue on . Tämä alue saadaan leikkauksella, joka seuraa tasoa, joka sisältää kuution kaksi vastakkaista reunaa. ${\ displaystyle a ^ {2} {\ sqrt {2}}}$

Kuutio ja muut polyhedra

Kahden kuution on säännöllinen octahedron . Tämä selittää, miksi kahdella kiinteällä aineella on sama isometriaryhmä.

Kuutio sopii tavalliseen dodekaedriin : kuution kärjet ovat dodekaedrin kärkiä ja kuution reunat muodostuvat segmenteistä, jotka yhdistävät kaksi ei-peräkkäistä kärkeä dodekaedrin viisikulmaiseen pintaan . On siis viisi tapaa lisätä kuutio tavalliseen dodekaedriin.

Voimme myös kirjoittaa kuution rombiseen dodekaedriin . Kuution kärjet vastaavat rombisen dodekaedrin järjestyksen 3 kärkiä ja kuution reunat vastaavat timanttien lävistäjiä.

Kuutio kiehtoo

Kuutiolla oli tärkeä rooli Kreikan geometriassa ja kosmologiassa. Platon luokittelee sen neljänneksi kiinteäksi, joka on ensin rakennettu suorilla tasakylkisillä kolmioilla :

"Neljä ryhmiteltyinä, joiden suorat kulmat kohtaavat keskellä, nämä tasakylkiset kolmiot muodostavat nelikulmion. Kuusi näistä neliöistä yhdistämällä synnytti kahdeksan tasakulmaa , joista kukin koostui kolmesta suorakulmasta ja tuloksena oleva luku on kuutio ( Timée , 54c - 55 d) "

Kuten jokainen platonilainen kiinteä aine, kuutio liittyy elementtiin. Vakaimpana elementtinä se liittyy maapalloon .

Toisessa symbolisessa avaimessa se symboloi aineellista maailmaa ja kaikkia neljää elementtiä. Vakauden symboli, se löytyy usein valtaistuinten juuresta.

Kuutio oli ongelman kohde, joka osoittautui liukenemattomaksi: kuution päällekkäisyydet viivaimen ja kompassin kanssa.

Keplerin kosmologiassa kuutio liittyy Saturnuksen planeetaan .

Kuutio löytyy myös vapaamuurariuden symboliikasta . Kuutio symboloi edistystä, jonka kumppanin on tehtävä siirtyäkseen karkeasta kivestä täydelliseksi kiinteäksi.

Cube on osa kolmen kanadalaisen elokuvan sarjaa. Apple tuotti Cube- tietokoneen, Nintendo GameCube -konsolin. Rubikin kuutio on palapeli , jonka pohdinta perustuu väri yhdistyksiä. Ratkaisun ymmärtäminen edellyttää joukko permutaatioita .

Yksi toteaa katkaistu kuutio taulukossa Melencolia ja Albrecht Dürer . Brysselin Atomium on kuutio. Kuutio on todellakin yksi mahdollisista kristallografiaverkoista mm. Hopealle , kullalle , kuparille , platinalle , timantille , suolalle .

Huomautuksia ja viitteitä

Gérard Villemin, “ Section du cube ” (käyty 3. lokakuuta 2019 ) .
IREM de Paris Nord, “ Section du cubes et de pyramide ” (käyty 3. lokakuuta 2019 ) .
Chuanming Zong , " Mitä tiedetään yksikkökuutioista ", Bulletin of the amarican mathematical Society , voi. 42, n ° 226. kesäkuuta 2005( lue verkossa ), s. 5
Jean Chevalier ja Alain Gheerbrant, sanakirja symboleja , Laffont ,1982, s. 328.

Katso myös

Aiheeseen liittyvät artikkelit

Ulkoinen linkki

Matthieu Aubry, " Lyhin tie kuutiossa " , matthieu.net-sivustolla