Säännöllinen oktaedri

Oktaedri

Elementit

Kasvot	Reunat	Pisteet
8 tasasivuista kolmiota	12	6 astetta 4

Avaintiedot

Tyyppi	Tavallinen monikulmio
Indeksointiviitteet	U 05 - C 17 - W 002
Schläfli-symboli	{3,4}
Wythoff-symboli	4 \| 2 3
CD-kaavio
Ominaisuus	2
Ominaisuudet	Kupera delahedroni
Tilavuus (reuna $a$ )	${1 \ over3} \ sqrt {2} a ^ 3$
Pinta-ala	$2 \ sqrt {3} a ^ 2$
Dihedraalinen kulma	109,47 °
Symmetriaryhmä	O h
Dual	Kuutio

Säännöllisen oktaedrin on oktaedri jonka 8 kasvot ovat tasasivuisen kolmion. Siinä on 6 kärkeä ja 12 reunaa. Se on yksi Platonin viidestä kiinteästä aineesta . Se on myös kolmiomainen antiprisma ja neliön muotoinen bipyramidi . Siinä on ympyröity pallo, joka kulkee sen 6 kärjen läpi, ja kaiverrettu pallo, joka koskettaa sen 8 pintaa.

Koska sillä on 3 kärkeä kasvoja kohden ja 4 kasvoja kutakin kärkeä kohti, sen Schläfli-symboli on {3,4}.

Luonteenomaiset määrät

Jos a on reunan pituus:

etäisyys kahden vastakkaisen kärjet on: ; ${\ displaystyle {\ sqrt {2}} a}$
säde sen sidotun pallo on :; ${\ displaystyle R = {\ frac {a} {\ sqrt {2}}}}$
sen kaksikulmainen kulma on ${\ displaystyle \ arccos \ vasen (- {\ frac {1} {3}} \ oikea) \ noin 109,47 ^ {\ circ}}$
säde sen kirjoitettu alalla on :; ${\ displaystyle r = {\ frac {a} {\ sqrt {6}}}}$
sen pinta-ala on :; ${\ displaystyle A = 2 {\ sqrt {3}} a ^ {2}}$
sen tilavuus on :; ${\ displaystyle V = {\ frac {\ sqrt {2}} {3}} \ a ^ {3}}$
6 suorakulmaista koordinaattipistettä ja ovat säännöllisen oktaedrin pisteet, jotka ovat keskittyneet alkuperään. ${\ displaystyle (\ pm {\ frac {a} {\ sqrt {2}}}, 0,0), (0, \ pm {\ frac {a} {\ sqrt {2}}}, 0)}$ ${\ displaystyle (0,0, \ pm {\ frac {a} {\ sqrt {2}}})}$

Erilaiset ominaisuudet

Oktaedri ja kuutio ovat kaksoissuuntaisia , toisin sanoen, että monikulmio, jonka kärjissä on toisen pintojen keskipisteet, on toisen homoteettinen.

Säännöllisen oktaedrin luuranko, toisin sanoen sen reunoista yhdistetty kärkipiste, muodostaa kaavion, jota kutsutaan oktaedrigrafiikaksi .

Platon yhdisti sen luonnon elementtiin "ilma".

Esimerkkejä

Pelissä

Tavallista oktaedonia käytetään nopana pelaamiseen, erityisesti roolipeleissä.

Kristallografiassa

Jotkut kiteet, kuten fluoriitti, muodostavat säännöllisen oktaedrin.

Kemiassa

Joillakin molekyyleillä voi olla oktaedrinen molekyyligeometria .

Yleistys

Hyperoctahedron (tai cross-polytooppia , tai orthoplex, tai jopa n -octahedron) on yleistys oktaedrin on n mitat.

N -octaèdre on kaksi polytooppi on n -cube ( hyperkuutiossa in n mitat): jolloin saadaan n -octaèdre, se yhdistää keskuksia pintojen (dimension n -1), joka on n -cube.

Hyperoktaedri on yhdessä hyperkubin ja n - simplexin kanssa vain kolmesta normaalissa muodossa olevasta polytoopista missä tahansa n ulottuvuudessa . Säännölliset polytoopit ovat todellakin ääretön ulottuvuudessa 2 (katso säännöllinen monikulmio ), 5 ulottuvuudessa 3 (katso platoninen kiinteä aine ), 6 ulottuvuudessa 4 ja sen jälkeen ne ovat vain 3, kuten Ludwig Schläfli osoitti.

Schläfli symboli n -octahedron on muotoa {3,3,3, ..., 3,4}, jossa n - 1 numeroa.

Koordinaatit pisteiden on hyperoctahedron keskitetty origossa saadaan permutoimalla koordinaatit (± -1,0,0,0, ..., 0,0).

Ensimmäinen hyperoktaedra

Hyperoktaedri	Neliö	Oktaedri	Hexadecachore tai 16-solut	5-oktaedri
Ulottuvuus	2	3	4	5
Pisteet	4	6	8	10
Edustus

Säännöllisen hyperoktaedrin hypotilavuus

Hypervolume on polytooppi on n-ulotteinen sisältöä että polytooppia. Kummallakin on reunansa.

Rakentaa ( n + 1) -octahedron , me liittää 2 n kärkipisteet, joka n -octahedron uuteen kohtaan edellä ja uuteen alapuolelle.

Siten segmentti, jonka päät on kytketty ylä- ja alapisteeseen, antaa neliön (oletetaan, että pisteet on sijoitettu siten, että saadaan säännöllinen hyperoktaedri).
Neliö, jonka kärjet on yhdistetty ylä- ja alapisteeseen, antaa oktaedrin.
Oktaedri, jonka kärjet on kytketty ylä- ja alapisteeseen (joka sijaitsee toisessa ulottuvuudessa), antaa todellakin heksadesimaalin.

Hypertaktaedri on siis kaksinkertainen hyperpyramidi (alemman ulottuvuuden hyperoktaedrinen pohja). Koska pisteet ovat säännöllisiä tutkitussa tapauksessa, ne ovat kaikki rajatulla n- pallolla . Tämä rajattu n- pallo on myös sen matalampien hyperoktaedristen pintojen oma, koska säännöllisen hyperktaedrin kaikki kärjet ovat yläpuolella. Säde keskustasta n -Sphere huiput on sama tahansa koko n : . ${\ displaystyle R_ {n} = {\ frac {a {\ sqrt {2}}} {2}}}$

Hypervolyymi on kahden korkeuspyramidin korkeus . Siksi päätellään, että säännöllisen n -oktaedrin, jonka reuna on a, hypervolum ( n- sisältö) on yhtä suuri kuin: $R_ {n}$

${\ displaystyle V_ {n} = {\ frac {V_ {n-1} \ kertaa R_ {n}} {n}} \ kertaa 2 = {\ frac {(a {\ sqrt {2}}) ^ {n }}{ei!}}}$ .

Esimerkkejä:

Ala neliö : ${\ displaystyle V_ {2} = {\ frac {(a {\ sqrt {2}}) ^ {2}} {1 \ kertaa 2}} = a ^ {2}}$
Tavallisen oktaedrin tilavuus : ${\ displaystyle V_ {3} = {\ frac {(a {\ sqrt {2}}) ^ {3}} {1 \ kertaa 2 \ kertaa 3}} = {\ frac {a ^ {3} {\ sqrt {2}}} {3}}}$
Hypervolume n hexadecachore : ${\ displaystyle V_ {4} = {\ frac {(a {\ sqrt {2}}) ^ {4}} {1 \ kertaa 2 \ kertaa 3 \ kertaa 4}} = {\ frac {a ^ {4} } {6}}}$

...

(Oletetaan tässä kaavassa, että ainoa n -oktaedri, jonka reunan pituus ei ole yhtä suuri kuin a, on segmentti (1-oktaedri), jonka tällöin pituuden (neliön lävistäjä) on annettava hyvin neliön sivu a annetulla rakennusmenetelmällä) ${\ displaystyle a {\ sqrt {2}}}$

Huomautuksia ja viitteitä

viisi elementtiä Platonin : historia kiinteä Platonin

Tämä artikkeli on osittain tai kokonaan otettu artikkelista " Octaèdre " (katso kirjoittajien luettelo ) .

Katso myös

Oktaedri