Geometrinen symmetria on surkastuttavassa geometrinen muutos , joka säilyttää rinnakkaisuus. Yleisiä symmetrioita ovat heijastus ja keskisymmetria .
Geometrinen symmetria on erikoistapaus symmetria . Tasossa tai avaruudessa on useita erilaisia symmetrioita .
Huomaa : Termillä symmetria on myös toinen merkitys matematiikassa. Ekspression symmetria ryhmä , joka on symmetria tarkoittaa mitä tahansa isometria . Tämä termi tarkoittaa joko käännöstä tai ortogonaalista automorfismia tai molempien yhdistelmää.
Symmetria keskus O on muutos, joka missä tahansa pisteessä M, liittää kohta M 'siten, että O on keskipiste [MM'].
Rakenne: Piirrä viiva (d), joka kulkee A: n ja O: n läpi. Pidennä se O: n ulkopuolelle. Leikkaa (d) kohtaan A 'kompassilla, joka on osoitettu O: lle ja etäisyys OA: n verran.
Tämän symmetrian ainoa invariantti piste on piste O.
Symmetria keskipisteen O kanssa on myös pyörintä tasaisella kulmalla ja homotetia keskipisteen O ja suhteen -1 kanssa
Symmetrian keskustaKuvassa on symmetriakeskus C, jos se on invariantti keskuksen C symmetrian kanssa.
Esimerkkejä symmetriakeskuksesta:
Yhdisteen kaksi symmetrioiden keskusten O ja O 's O' os O on vektori käännös
Tämä ominaisuus tekee mahdolliseksi määritellä ensimmäiseen ryhmään ja muunnoksia tason: kuin Keski symmetries-käännöksiä. Todellakin, muodostamalla kaksi keskeistä symmetriaa tai käännöstä saadaan yksi keskussymmetria tai käännös. Ja identtisen kartan saamiseksi riittää, että muodostetaan vektorin u käännös kääntämällä vektori - u , tai muodostetaan keskussymmetria itsestään.
Keskisymmetria säilyttää etäisyydet ja suunnatut kulmat. Siksi se on positiivinen isometria tai siirtymä . Aikaisemmin määritelty ryhmä on siis syrjäytysryhmän alaryhmä.
Näitä kutsutaan myös ( d ) akseliheijastuksiksi . Heijastus akselin ( d ) on muutos tasossa, joka lähtee kaikille pisteille ( d ) muuttumattomat ja joka, milloin tahansa M ei sijaitse ( d ), liittää kohta M 'siten, että ( d ) on kohtisuorassa [MM ']: n puolittaja. Koska kohtisuorassa puolittimessa on kaksi vastaavaa määritelmää, tunnemme pisteestä M 'kaksi samanarvoista rakennetta.
RakentaminenTiedot: symmetria-akselin ( d ), piste .
Tavoite: rakentaa A 'symmetrinen ortogonaalisella symmetria-akselin ( d ).
Kuvalla on symmetria-akseli ( d ) vain ja vain, jos se on invariantti akselin ( d ) heijastuksella
Esimerkkejä yleisistä luvuista:
Hahmo, jossa on kaksi kohtisuorassa symmetria-akselia on sen keskellä symmetria leikkauspisteeseen kaksi riviä. Esimerkiksi kirjaimilla H, I, O, X yksinkertaisissa kirjasimissa (ei kursiivissa ja kursiivissa) on usein kaksi kohtisuoraa symmetria-akselia, joten myös symmetriakeskus, samoin suorakulmio, romu ja neliö.
Heijastus ja isometriaryhmäHeijastus säilyttää etäisyydet ja kulmat. Siksi se on isometria . Mutta se ei pidä suuntaa (katso kiraalisuus ). Sen sanotaan olevan siirtymisen vastainen.
Kahden yhdensuuntaisen akselin heijastuksen yhdistelmä on käännös, etäisyyden ollessa kaksinkertainen näiden akselien välisen etäisyyden kanssa. Vastakkaisessa kuvassa median vektoriominaisuuksien avulla voimme sanoa sen |
|
Sekanttien akselien kahden heijastuksen yhdistelmä on kierto , jonka kulma on kaksinkertainen kahden akselin väliin muodostettu kulma. Vastakkaisessa kuvassa puolittimien ominaisuuksien avulla voimme sanoa sen |
Sitten huomaamme, että heijastusjoukko tuottaa koko isometriasarjan.
Symmetria suhteessa (d ') (ei yhdensuuntainen ( d ): n kanssa kulkevan linjan ( d ) kanssa on muunnos, joka jättää kaikki d: n pisteet muuttumattomiksi ja joka missään pisteessä M, joka ei sijaitse kohdassa d ) ) Yhdistä piste M ' siten, että viiva (MM') on yhdensuuntainen (d '): n kanssa ja [MM']: n keskipiste on päällä ( d )
Tämä symmetria on surkastuttavassa: symmetrinen M ' on M . Se tarjoaa vähemmän kiinnostusta kuin serkkunsa, koska se ei pidä etäisyyksiä: se vääristää lukuja. Se kuitenkin säilyttää barycenterit ja on siksi osa affinimuunnoksia.
Löydämme saman määritelmän ja samat ominaisuudet kuin keskitason symmetrialle tasossa, paitsi että keskisymmetria ei säilytä suuntaa avaruudessa.
Mies nostaa oikean kätensä ja hänen kuvansa vasemman käden.
Löydämme saman määritelmän kuin suunnitelmassa. Suorakulmainen symmetria suhteessa viivaan on myös akselin ( d ) ja tasaisen kulman kierto .
Toisin kuin tasossa tapahtuu, tällainen symmetria avaruudessa ylläpitää suuntaa.
Mies nostaa oikean kätensä ja hänen kuvansa kohottaa oikean kätensä.
Ortogonaalinen symmetria tason ( P ) suhteen on muunnos, joka jättää kaikki ( P ) -kohdat muuttumattomiksi ja joka missä tahansa pisteessä M, joka ei sijaitse kohdassa ( P ), yhdistää pisteen M ' siten, että ( P ) on tasossa välittäjä [MM ']
Tällainen symmetria säilyttää etäisyydet ja kulmat, mutta ei säilytä suuntautumista.
Esimerkiksi kun nostat oikean kätesi peilin eteen, kuvasi nostaa vasemman kätensä.
Todistamme, että symmetriajoukko suhteessa tasoihin tuottaa koostumuksella koko avaruuden isometriasarjan.
Yhtä hyvin voidaan määritellä akselin ( d ) symmetriat suunnan ( P ) tai symmetriat ( P ) suhteen suunnan ( d ) mukaan edellyttäen, että mikään ( P ): n kanssa yhtä suuri tai yhdensuuntainen alatila ei sisällä kokonaan ( d ) eikä se sisälly kokonaan kohtaan ( d ) ja niiden leikkauspiste pienenee yhdeksi pisteeksi (muuten nämä muunnokset eivät ole symmetrioita vaan projektioita ).
Mutta nämä muunnokset eivät ole isometrioita, jos ( d ) ja ( P ) eivät ole ortogonaalisia. Nämä muunnokset (samoin kuin projektiot) pitävät kuitenkin barycenterit ja ovat erityisiä tapauksia avaruuden affiinisista muunnoksista .