Liittyvä Legendren polynomi
On matematiikka , liittyy Legendren polynomi , huomattava on tietyn ratkaisun yleisen Legendren yhtälö:
Pℓm(x){\ displaystyle P _ {\ ell} ^ {m} (x)}![{\ displaystyle P _ {\ ell} ^ {m} (x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a9b97f26a184f3993b6af4811375ec8b60e757b)
(1-x2)y″-2xy′+(ℓ(ℓ+1)-m21-x2)y=0,{\ displaystyle (1-x ^ {2}) \, y '' - 2xy '+ \ vasen (\ ell (\ ell +1) - {\ frac {m ^ {2}} {1-x ^ {2 }}} \ oikea) \, y = 0, \,}![{\ displaystyle (1-x ^ {2}) \, y '' - 2xy '+ \ vasen (\ ell (\ ell +1) - {\ frac {m ^ {2}} {1-x ^ {2 }}} \ oikea) \, y = 0, \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2450d950cace165dd4e2fd9302fb7b92260511e5)
jolla on säännöllinen ratkaisu vain välillä [-1,1] ja jos , kokonaislukujen ja m kanssa . Se pienenee Legendren differentiaaliyhtälöksi, jos m = 0.
-ℓ≤m≤+ℓ{\ displaystyle - \ ell \ leq m \ leq + \ ell}
ℓ{\ displaystyle \ ell}![{\ displaystyle \ ell}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f066e981e530bacc07efc6a10fa82deee985929e)
Tämä funktio on polynomi, jos m on parillinen kokonaisluku . Nimi "polynomi" on kuitenkin väärä, mutta se säilytetään silti siinä tapauksessa, että m on pariton kokonaisluku .
Yleinen Legendren yhtälö kohdataan erityisesti fysiikan , esimerkiksi resoluution Helmholtzin yhtälön on pallokoordinaateissa . Erityisesti legendren liittofunktio tärkeä rooli määriteltäessä palloharmonisten .
Määritelmät ja yleiset ilmaisut
Legendren fysiikan yleinen yhtälö
Yleisen Legendren yhtälö näkyy luonnollisesti resoluution kolmiulotteisen Helmholtzin yhtälön pallokoordinaateissa (merkitty , kanssa , jossa on jatkuva, käyttäen menetelmää erottaminen muuttujia . Tarkemmin sanottuna, se vastaa kulma-osan mukainen colatitude tämän yhtälö ja vastaa erotusvakioita.
Δ2f+k2f=0{\ displaystyle \ Delta ^ {2} f + k ^ {2} f = 0}
(r,θ,ϕ){\ displaystyle (r, \ theta, \ phi)}
f=f(r→)=f(r,θ,ϕ){\ displaystyle f = f ({\ vec {r}}) = f (r, \ theta, \ phi)}
k2{\ displaystyle k ^ {2}}
θ{\ displaystyle \ theta}
ℓ(ℓ+1){\ displaystyle \ ell (\ ell +1)}
m2{\ displaystyle m ^ {2}}![m ^ {2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00d80831ded84ee5d9e1708e304c8868aa246409)
Todellakin tässä tapauksessa vastaava kulmayhtälö on muodossa:
1syntiθddθ(syntiθdΘdθ)+(ℓ(ℓ+1)-m2synti2θ)Θ(θ)=0{\ displaystyle {\ frac {1} {\ sin \ theta}} {\ frac {d} {d \ theta}} \ vasemmalle (\ sin \ theta {\ frac {d \ Theta} {d \ theta}} \ oikea) + \ vasen (\ ell (\ ell +1) - {\ frac {m ^ {2}} {\ sin ^ {2} \ theta}} \ oikea) \ Theta (\ theta) = 0}![{\ displaystyle {\ frac {1} {\ sin \ theta}} {\ frac {d} {d \ theta}} \ vasemmalle (\ sin \ theta {\ frac {d \ Theta} {d \ theta}} \ oikea) + \ vasen (\ ell (\ ell +1) - {\ frac {m ^ {2}} {\ sin ^ {2} \ theta}} \ oikea) \ Theta (\ theta) = 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6add33aa62ccf2dbd8fb8c18232f8509591eb17a)
Esittely
Pallomaisissa koordinaateissa kirjoitetaan Helmholtz-yhtälö:
1r2syntiθ[syntiθ∂∂r(r2∂f∂r)+∂∂θ(syntiθ∂f∂θ)+1syntiθ∂2f∂ϕ2]+k2f=0,{\ displaystyle {\ frac {1} {r ^ {2} \ sin \ theta}} \ vasen [\ sin \ theta {\ frac {\ osal} {\ osittainen r}} \ vasen (r ^ {2} { \ frac {\ partial f} {\ partial r}} \ oikea) + {\ frac {\ partisalaatti {\ osallinen \ theta}} \ vasen (\ sin \ theta {\ frac {\ partif} {\ osallinen \ teeta}} \ oikea) + {\ frac {1} {\ sin \ theta}} {\ frac {\ osittainen ^ {2} f} {\ osittainen \ phi ^ {2}}} \ oikea] + k ^ { 2} f = 0,}![{\ displaystyle {\ frac {1} {r ^ {2} \ sin \ theta}} \ vasen [\ sin \ theta {\ frac {\ osal} {\ osittainen r}} \ vasen (r ^ {2} { \ frac {\ partial f} {\ partial r}} \ oikea) + {\ frac {\ partisalaatti {\ osallinen \ theta}} \ vasen (\ sin \ theta {\ frac {\ partif} {\ osallinen \ teeta}} \ oikea) + {\ frac {1} {\ sin \ theta}} {\ frac {\ osittainen ^ {2} f} {\ osittainen \ phi ^ {2}}} \ oikea] + k ^ { 2} f = 0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df97ee688a8c59c7f4af1006d924888fe179b0ac)
jos nyt etsitään ratkaisua erottamalla muuttujat , mitä sitten korvaamisen ja jakamisen jälkeen :
f(r,θ,ϕ)=R(r)Θ(θ)Φ(ϕ){\ displaystyle f (r, \ theta, \ phi) = R (r) \ Theta (\ theta) \ Phi (\ phi)}
R(r)Θ(θ)Φ(ϕ){\ displaystyle R (r) \ Theta (\ theta) \ Phi (\ phi)}![{\ displaystyle R (r) \ Theta (\ theta) \ Phi (\ phi)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3693f94724618aa2891b020cd5d00f93b5a600cc)
1R(r)r2ddr(r2dRdr)+1Θ(θ)r2syntiθddθ(syntiθdΘdθ)+1Φ(ϕ)r2synti2θd2Φdϕ2=-k2.{\ displaystyle {\ frac {1} {R (r) r ^ {2}}} {\ frac {d} {dr}} \ vasen (r ^ {2} {\ frac {dR} {dr}} \ oikea) + {\ frac {1} {\ Theta (\ theta) r ^ {2} \ sin \ theta}} {\ frac {d} {d \ theta}} \ vasen (\ sin \ theta {\ frac { d \ Theta} {d \ theta}} \ oikea) + {\ frac {1} {\ Phi (\ phi) r ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta}} {\ frac {d ^ {2 } \ Phi} {d \ phi ^ {2}}} = - k ^ {2}.}![{\ displaystyle {\ frac {1} {R (r) r ^ {2}}} {\ frac {d} {dr}} \ vasen (r ^ {2} {\ frac {dR} {dr}} \ oikea) + {\ frac {1} {\ Theta (\ theta) r ^ {2} \ sin \ theta}} {\ frac {d} {d \ theta}} \ vasen (\ sin \ theta {\ frac { d \ Theta} {d \ theta}} \ oikea) + {\ frac {1} {\ Phi (\ phi) r ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta}} {\ frac {d ^ {2 } \ Phi} {d \ phi ^ {2}}} = - k ^ {2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/753980825a37cfcef89f974c916c41baadf68427)
Koska tämän yhtälön on oltava totta kaikille arvoille , ja se on vakio, jokaisen kolmen ensimmäisen ehdon on oltava yhtä suuri kuin vakio. Jos siis kysymme:
(r,θ,ϕ){\ displaystyle (r, \ theta, \ phi)}
k2{\ displaystyle k ^ {2}}![k ^ 2](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af6423cd00e3559de92c4bc497066ff1b12bbfc3)
1Φ(ϕ)d2Φdϕ2=-m2,{\ displaystyle {\ frac {1} {\ Phi (\ phi)}} {\ frac {d ^ {2} \ Phi} {d \ phi ^ {2}}} = - m ^ {2},}![{\ displaystyle {\ frac {1} {\ Phi (\ phi)}} {\ frac {d ^ {2} \ Phi} {d \ phi ^ {2}}} = - m ^ {2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e38fe11ad4a4e6a4c3db75919eb27e33c70be4c)
yhtälö järjestetään uudelleen muodossa:
1R(r)ddr(r2dRdr)+k2r2=-1Θ(θ)syntiθddθ(syntiθdΘdθ)+m2synti2θ.{\ displaystyle {\ frac {1} {R (r)}} {\ frac {d} {dr}} \ vasen (r ^ {2} {\ frac {dR} {dr}} \ oikea) + k ^ {2} r ^ {2} = - {\ frac {1} {\ Theta (\ theta) \ sin \ theta}} {\ frac {d} {d \ theta}} \ vasemmalle (\ sin \ theta {\ frac {d \ Theta} {d \ theta}} \ oikea) + {\ frac {m ^ {2}} {\ sin ^ {2} \ theta}}.}![{\ displaystyle {\ frac {1} {R (r)}} {\ frac {d} {dr}} \ vasen (r ^ {2} {\ frac {dR} {dr}} \ oikea) + k ^ {2} r ^ {2} = - {\ frac {1} {\ Theta (\ theta) \ sin \ theta}} {\ frac {d} {d \ theta}} \ vasemmalle (\ sin \ theta {\ frac {d \ Theta} {d \ theta}} \ oikea) + {\ frac {m ^ {2}} {\ sin ^ {2} \ theta}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6801df175e355ef5a125472859b13be39bce15a6)
Tämän yhtälön ollessa erillisten muuttujien muodossa jokaisen jäsenen on oltava yhtä suuri kuin sama vakio, joka on merkitty , ja sen mukainen kulmaosa asetetaan siten muotoon:
ℓ(ℓ+1){\ displaystyle \ ell (\ ell +1)}
Θ(θ){\ displaystyle \ Theta (\ theta)}![\ Theta (\ theta)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2008d1525a647ca07a9c839d34c5ef0ca17db20d)
1syntiθddθ(syntiθdΘdθ)+(ℓ(ℓ+1)-m2synti2θ)Θ(θ)=0.{\ displaystyle {\ frac {1} {\ sin \ theta}} {\ frac {d} {d \ theta}} \ vasemmalle (\ sin \ theta {\ frac {d \ Theta} {d \ theta}} \ oikea) + \ vasen (\ ell (\ ell +1) - {\ frac {m ^ {2}} {\ sin ^ {2} \ theta}} \ oikea) \ Theta (\ theta) = 0.}![{\ displaystyle {\ frac {1} {\ sin \ theta}} {\ frac {d} {d \ theta}} \ vasemmalle (\ sin \ theta {\ frac {d \ Theta} {d \ theta}} \ oikea) + \ vasen (\ ell (\ ell +1) - {\ frac {m ^ {2}} {\ sin ^ {2} \ theta}} \ oikea) \ Theta (\ theta) = 0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1c57ea3e2949d0c7d82bf27e6e43fb93d86bc9f)
Radiaalinen yhtälö vastaa pallomaisen Besselin funktioiden differentiaaliyhtälöä .
Muuttujan muutos mahdollistaa tämän yhtälön asettamisen Legendren yleisen yhtälön muodossa.
x=cosθ{\ displaystyle x = \ cos \ theta}![{\ displaystyle x = \ cos \ theta}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71c5f4024d72473459e4112d726b2eab01cefb44)
Lauseke Legendren polynomien funktiona
Liittyvät Legendre-polynomit johdetaan Legendre-polynomista kaavalla:
Pℓ(x){\ displaystyle P _ {\ ell} (x)}![P _ {{\ ell}} (x)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a16bd480e0c257a118bc3a5a33156897b24d3f8)
Pℓm(x)=(-1)m (1-x2)m/2 dmdxm(Pℓ(x)).{\ displaystyle P _ {\ ell} ^ {m} (x) = (- 1) ^ {m} \ (1-x ^ {2}) ^ {m / 2} \ {\ frac {d ^ {m }} {dx ^ {m}}} \ vasen (P _ {\ ell} (x) \ oikea).}![{\ displaystyle P _ {\ ell} ^ {m} (x) = (- 1) ^ {m} \ (1-x ^ {2}) ^ {m / 2} \ {\ frac {d ^ {m }} {dx ^ {m}}} \ vasen (P _ {\ ell} (x) \ oikea).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6f4c3e7182d75583fdb6c08f60bd4e5569c42c4)
.
Olettaen, että 0 ≤ m ≤ ℓ, polynomit täyttävät seuraavat ortogonaalisuuden ehdot kiinteälle m : lle
, kun m , ℓ on kokonaisluku.
∫-11PkmPℓmdx=2(ℓ+m)!(2ℓ+1)(ℓ-m)! 5k,ℓ,{\ displaystyle \ int _ {- 1} ^ {1} P_ {k} ^ {m} P _ {\ ell} ^ {m} dx = {\ frac {2 (\ ell + m)!} {(2 \ ell +1) (\ ell -m)!}} \ \ delta _ {k, \ ell},}![{\ displaystyle \ int _ {- 1} ^ {1} P_ {k} ^ {m} P _ {\ ell} ^ {m} dx = {\ frac {2 (\ ell + m)!} {(2 \ ell +1) (\ ell -m)!}} \ \ delta _ {k, \ ell},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/724bb987042145b06869e87ccf39b9c0fbdcd2f7)
missä on Kronecker-symboli .
5k,ℓ{\ displaystyle \ delta _ {k, \ ell}}![{\ displaystyle \ delta _ {k, \ ell}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d491bf71e86812473236e2a85b197221ad9b5815)
He noudattavat myös seuraavia ortogonaalisuuden ehtoja ℓ kiinteät:
∫-11Pℓm(x)Pℓei(x)1-x2dx={0jos m≠ei(ℓ+m)!m(ℓ-m)!jos m=ei≠0∞jos m=ei=0.{\ displaystyle \ int _ {- 1} ^ {1} {\ frac {P _ {\ ell} ^ {m} (x) P _ {\ ell} ^ {n} (x)} {1-x ^ {2}}} dx = {\ aloita {tapaukset} 0 & {\ mbox {si}} m \ neq n \\ {\ frac {(\ ell + m)!} {M (\ ell -m)!} } & {\ mbox {si}} m = n \ neq 0 \\\ infty & {\ mbox {si}} m = n = 0 \ end {cases}}.}![{\ displaystyle \ int _ {- 1} ^ {1} {\ frac {P _ {\ ell} ^ {m} (x) P _ {\ ell} ^ {n} (x)} {1-x ^ {2}}} dx = {\ aloita {tapaukset} 0 & {\ mbox {si}} m \ neq n \\ {\ frac {(\ ell + m)!} {M (\ ell -m)!} } & {\ mbox {si}} m = n \ neq 0 \\\ infty & {\ mbox {si}} m = n = 0 \ end {cases}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78a82a20482881e8a4dd32edcf33e64594faeb6a)
Yhdistä pallomaisiin harmonisiin
Pallomaiset yliaallot puuttuvat erityisesti kvanttifysiikkaan , jossa ne vastaavat orbitaalisen kulmamomentin ominaisfunktioita , toisin sanoen operaattoreille (kulmamomentin neliö) ja sen komponentin yhteisiä ominaisarvoja yhtälöillä:
Yℓ,m(θ,ϕ){\ displaystyle Y _ {\ ell, m} (\ theta, \ phi)}
L^2{\ displaystyle {\ hattu {L}} ^ {2}}
L^z{\ displaystyle {\ hattu {L}} _ {z}}![{\ hattu {L}} _ {z}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f890c759326e0b9e75b24931dcf2a53862ab309c)
L^2Yℓ,m(θ,ϕ)=ℏ2ℓ(ℓ+1)Yℓ,m(θ,ϕ),{\ displaystyle {\ hat {L}} ^ {2} Y _ {\ ell, m} (\ theta, \ phi) = \ hbar ^ {2} \ ell (\ ell +1) Y _ {\ ell, m} (\ theta, \ phi),}![{\ displaystyle {\ hat {L}} ^ {2} Y _ {\ ell, m} (\ theta, \ phi) = \ hbar ^ {2} \ ell (\ ell +1) Y _ {\ ell, m} (\ theta, \ phi),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a905dc487134a84d0dfc32a525c4de42c2a7289)
ja
L^zYℓ,m(θ,ϕ)=ℏmYℓ,m(θ,ϕ),{\ displaystyle {\ hat {L}} _ {z} Y _ {\ ell, m} (\ theta, \ phi) = \ hbar mY _ {\ ell, m} (\ theta, \ phi),}![{\ displaystyle {\ hat {L}} _ {z} Y _ {\ ell, m} (\ theta, \ phi) = \ hbar mY _ {\ ell, m} (\ theta, \ phi),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffce6dd7becbe073c0fb8bf5a1de57e3d8e8cf82)
.
Pallomaisissa koordinaateissa nämä operaattorit asetetaan muotoon:
L^z=-iℏ∂∂ϕ,{\ displaystyle {\ hat {L}} _ {z} = - i \ hbar {\ frac {\ partitali {\ osittainen \ phi}},}
L^2=-ℏ2(1syntiθ∂∂θ[syntiθ∂∂θ]+1synti2θ∂2∂ϕ2).{\ displaystyle {\ hat {L}} ^ {2} = - \ hbar ^ {2} \ left ({\ frac {1} {\ sin \ theta}} {\ frac {\ partisalaatti} {\ osittainen theta }} \ vasen [\ sin \ theta {\ frac {\ partitali {\ partituali \ theta}} \ oikea] + {\ frac {1} {\ sin ^ {2} \ theta}} {\ frac {\ osittainen ^ {2}} {\ osittainen \ phi ^ {2}}} \ oikea).}
Näin ollen se vastaa Laplacian kulmaosaa ja itse ominaisarvoyhtälöt ovat identtisiä Helmholtz-yhtälön ratkaisussa saatujen kanssa. Siksi palloharmonisten ovat verrannollisia ja , ja sen jälkeen normalisointi ne muodoltaan:
L^2{\ displaystyle {\ hattu {L}} ^ {2}}
Yℓ,m(θ,ϕ){\ displaystyle Y _ {\ ell, m} (\ theta, \ phi)}
Pℓm(cosθ){\ displaystyle P _ {\ ell} ^ {m} (\ cos \ theta)}
eımϕ{\ displaystyle e ^ {\ imath m \ phi}}![{\ displaystyle e ^ {\ imath m \ phi}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd0bdecfc528c957dfa826d9254a72f96524cebc)
Yℓm(θ,ϕ)=(-1)m(2ℓ+1)4π(ℓ-m)!(ℓ+m)!Pℓm(cosθ)eimϕ.{\ displaystyle Y _ {\ ell} ^ {m} (\ theta, \ phi) = (- 1) ^ {m} {\ sqrt {{{(2 \ ell +1) \ yli 4 \ pi} {( \ ell -m)! \ over (\ ell + m)!}}} \, P _ {\ ell} ^ {m} (\ cos {\ theta}) \, e ^ {im \ phi}.}
Taulukot ensimmäisistä Legendren polynomista
Ensimmäiset niihin liittyvät Legendren polynomit ovat:
Pℓm(x){\ displaystyle P _ {\ ell} ^ {m} (x)}
ℓ{\ displaystyle \ ell}
|
m{\ displaystyle m}
|
---|
0
|
1
|
2
|
3
|
4
|
0
|
1
|
nd
|
nd
|
nd
|
nd
|
1
|
x{\ displaystyle x}
|
-(1-x2)1/2{\ displaystyle - (1-x ^ {2}) ^ {1/2}}
|
nd
|
nd
|
nd
|
2
|
12(3x2-1){\ displaystyle {\ begin {matrix} {\ frac {1} {2}} \ end {matrix}} (3x ^ {2} -1)}
|
-3x(1-x2)1/2{\ displaystyle -3x (1-x ^ {2}) ^ {1/2}}
|
3(1-x2){\ displaystyle 3 (1-x ^ {2})}
|
nd
|
nd
|
3
|
12(5x3-3x){\ displaystyle {\ begin {matrix} {\ frac {1} {2}} \ end {matrix}} (5x ^ {3} -3x)}
|
-32(5x2-1)(1-x2)1/2{\ displaystyle - {\ begin {matrix} {\ frac {3} {2}} \ end {matrix}} (5x ^ {2} -1) (1-x ^ {2}) ^ {1/2} }
|
15x(1-x2){\ displaystyle 15x (1-x ^ {2})}
|
-15(1-x2)3/2{\ displaystyle -15 (1-x ^ {2}) ^ {3/2}}
|
nd
|
4
|
18(35x4-30x2+3){\ displaystyle {\ begin {matrix} {\ frac {1} {8}} \ end {matrix}} (35x ^ {4} -30x ^ {2} +3)}
|
-52(7x3-3x)(1-x2)1/2{\ displaystyle - {\ begin {matrix} {\ frac {5} {2}} \ end {matrix}} (7x ^ {3} -3x) (1-x ^ {2}) ^ {1/2} }
|
152(7x2-1)(1-x2){\ displaystyle {\ begin {matrix} {\ frac {15} {2}} \ end {matrix}} (7x ^ {2} -1) (1-x ^ {2})}
|
-105x(1-x2)3/2{\ displaystyle -105x (1-x ^ {2}) ^ {3/2}}
|
105(1-x2)2{\ displaystyle 105 (1-x ^ {2}) ^ {2}}
|
Negatiivisille m- arvoille riittää käyttää suhdetta:
Pℓ-m=(-1)m(ℓ-m)!(ℓ+m)!Pℓm,{\ displaystyle P _ {\ ell} ^ {- m} = (- 1) ^ {m} {\ frac {(\ ell -m)!} {(\ ell + m)!}} P _ {\ ell } ^ {m},}![{\ displaystyle P _ {\ ell} ^ {- m} = (- 1) ^ {m} {\ frac {(\ ell -m)!} {(\ ell + m)!}} P _ {\ ell } ^ {m},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/489e85258626f7e3c8386c7210d1cae739077505)
joka johdetaan suoraan yllä annetusta kaavasta.
Huomautuksia ja viitteitä
Huomautuksia
-
Tämä yhtälö tarkoittaa, että meillä on jokin muoto , mutta koska sen on välttämättä oltava yksilöllinen aikavälillä, m: n on oltava suhteellinen kokonaisluku .Φ(ϕ){\ displaystyle \ Phi (\ phi)}
Φ(ϕ)=VSexp(ımϕ), kanssa VS∈VS{\ displaystyle \ Phi (\ phi) = C \ exp (\ imath m \ phi), {\ text {with}} C \ in \ mathbb {C}}
ϕ(ϕ){\ displaystyle \ phi (\ phi)}
[0,2π[{\ displaystyle [0,2 \ pi [}
-
Tekijä on itse asiassa vaihekerroin, sanoi Condon-Shortley, joidenkin kirjoittajien on jätetty pois(-1)m{\ displaystyle (-1) ^ {m}}
-
Pallomaisissa koordinaateissa on siksi helppo varmistaa, että laplacian muoto on . Tätä ominaisuutta käytetään erityisesti vetyatomin kvanttitutkimuksessa : Laplacian interventio kineettisen energian termiin ja potentiaalin ollessa invariantti pallomaisen symmetrian avulla, järjestelmän Hamiltonian vaihtaa sitten ja . Schrödingerin yhtälö elektronin voidaan siten ratkaista erottamalla muuttujat ja liuos annetaan tuotteen säteittäisfunktio ja pallomainen harmoninen .Δ=1r2∂∂r(r2∂f∂r)-L^2ℏ2r2{\ displaystyle \ Delta = {\ tfrac {1} {r ^ {2}}} {\ tfrac {\ partial} {\ osittainen r}} \ vasen (r ^ {2} {\ tfrac {\ osallinen f} { \ osittainen r}} \ oikea) - {\ tfrac {{\ hat {L}} ^ {2}} {\ hbar ^ {2} r ^ {2}}}}
L^2{\ displaystyle {\ hattu {L}} ^ {2}}
L^z{\ displaystyle {\ hattu {L}} _ {z}}
Yℓ,m(θ,ϕ){\ displaystyle Y _ {\ ell, m} (\ theta, \ phi)}
Viitteet
-
Katso erityisesti Arfken, Mathematical Methods for Physics , Seventh Edition, ( ISBN 978-0-12-384654-9 ) .
Katso myös
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">