Legendre-polynomi

Matematiikassa ja teoreettisessa fysiikassa Legendren polynomit ovat yksinkertaisin esimerkki ortogonaalisten polynomien sekvenssistä . Nämä ovat liuoksia polynomin $P n ( x )$ on differentiaaliyhtälö on Legendren :

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x}} \ vasen [(1-x ^ {2}) {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x}} P_ {n} (x) \ oikea] + n (n + 1) \, P_ {n} (x) = 0}

siinä tapauksessa, että parametri $n$ on kokonaisluku . Legendre-polynomit määritellään vain arvolle $x \in [-1; 1],$ koska pisteet $x = \pm 1$ ovat tämän differentiaaliyhtälön säännöllisiä yksikköpisteitä.

Nämä ortogonaaliset polynomit on monia sovellutuksia sekä matematiikan, esimerkiksi hajoamisen sarjan funktio Legendren polynomien, ja fysiikan, jossa Legendren yhtälö näkyy luonnollisesti aikana resoluution Laplace tai Laplace yhtälöt. Helmholtz sisään pallokoordinaateissa .

Vastaava määritelmä, enemmän abstrakteja mutta käsitteellisesti mielenkiintoinen, on otettava huomioon, että Legendren polynomit ovat ominaisfunktiot on endomorphism määritellään seuraavasti: ${\ displaystyle \ mathbb {R} [X]}$

{\ displaystyle P \ in \ mathbb {R} [X] \ mapsto u (P) = {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x}} \ vasen [(1-x ^ {2 }) {\ frac {\ mathrm {d} P} {\ mathrm {d} x}} \ oikea]}

varten ominaisarvon . ${\ displaystyle -n (n + 1), \ n \ sisään \ mathbb {N}}$

Legendre-polynomit muodostavat Jacobi-polynomien $P erikoistapauksen ( a , p ) n$ joiden parametrit $α$ ja $β$ ovat nollia: $P n ( x ) = P (0,0) n ( x )$ .

Yleiset määritelmät ja ominaisuudet

Määritelmä ratkaisuna Legendren yhtälöön

Kutsumme Legendren yhtälöä yhtälöksi:

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x}} \ vasen [(1-x ^ {2}) {\ frac {\ mathrm {d} y} {\ mathrm {d } x}} \ oikea] + \ alfa (\ alfa +1) \, y = 0}

kanssa yleensä . Tähän differentiaaliyhtälöön on mahdollista etsiä ratkaisuja kokonaisen sarjan muodossa , esimerkiksi Frobenius-menetelmällä . Koska differentiaaliyhtälö sallii säännöllisten yksikköpisteiden (yksinkertaiset navat) arvot $x$ $= \pm 1$ , tämä sarja yhtyy vain $|$ $x$ $|$ $<1$ . ${\ displaystyle \ alpha \ sisään \ mathbb {R}}$

Siinä tapauksessa, että $a = n$ luonnollinen kokonaisluku, on mahdollista saada ratkaisuja, jotka ovat pisteissä $x = \pm 1$ säännöllisiä ja joille sarja pysähtyy n- asteen lopussa , ts. Ratkaisuja polynomien muodossa.

Näin ollen Legendren polynomi $P n$ (jokaiselle luonnolliselle luvulle $n$ ja $x \in [-1; +1]$ ) on siksi ratkaisu differentiaaliyhtälöön:

{\ displaystyle {\ frac {\ textrm {d}} {{\ textrm {d}} x}} \ vasen [(1-x ^ {2}) {\ frac {{\ textrm {d}} P_ {n } (x)} {{\ textrm {d}} x}} \ oikea] + n (n + 1) \, P_ {n} (x) = 0, \ qquad P_ {n} (1) = 1. }

Tämä yhtälö on luonnollisesti kytketty Laplace-yhtälöön $Δ f = 0$ , joka on kirjoitettu pallomaisissa koordinaateissa ja joka esiintyy erityisesti elektrostaatikassa . Todellakin, kun etsitään ratkaisua, joka ei riipu atsimuuttikulmasta $φ$ , ainoan muuttujan kahden funktion $tulon$ $f ( r , θ ) = A ( r ) B ( θ ) muodossa$ , yhtälö $B$ näin saatu muoto on:

{\ displaystyle \ left ({\ frac {1} {\ sin \ theta}} \ right) {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} \ theta}} \ left (\ sin \ theta \ , {\ frac {\ mathrm {d} B} {\ mathrm {d} \ theta}} \ oikea) + n (n + 1) \, B = 0}

missä $n ( n + 1)$ on erotusvakio. Muuttujan $x = cos θ$ muutos mahdollistaa sen, että $B$ seuraa Legendren yhtälöä. Ainoat fyysisesti hyväksyttävät ratkaisut, toisin sanoen jotka eivät poikkea toisistaan luvulle $x \to \pm 1,$ ovat silloin ne, joissa $n$ on kokonaisluku, siis Legendren polynomit.

Esittely

Pallomaisissa koordinaateissa $( r , θ , φ )$ todellakin kirjoitetaan Laplace-yhtälö:

{\ displaystyle {\ frac {1} {r ^ {2}}} {\ frac {\ osal} {\ osallinen r}} \ vasen (r ^ {2} {\ frac {\ osio f} {\ osaa r }} \ oikea) + {\ frac {1} {r ^ {2} \ sin \ theta}} {\ frac {\ partituali {\ osittainen \ theta}} \ vasen (\ sin \ theta {\ frac {\ osittainen f} {\ osittainen \ theta}} \ oikea) + {\ frac {1} {r ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta}} {\ frac {\ osittainen ^ {2} f} {\ osittainen \ varphi ^ {2}}} = 0}

Siinä tapauksessa, että ongelma on sellainen, että ratkaisu ei riipu atsimuuttikulmasta $φ$ ja siten ratkaisun etsiminen muuttujien erotusmenetelmällä, on muodoltaan $f ( r , θ ) = A ( r ) B ( θ )$ se tulee korvaamalla:

{\ displaystyle {\ frac {1} {r ^ {2}}} {\ frac {d} {dr}} \ vasen (r ^ {2} {\ frac {dA} {dr}} \ oikea) B ( \ theta) + {\ frac {1} {r ^ {2} \ sin \ theta}} {\ frac {d} {d \ theta}} \ vasemmalle (\ sin \ theta {\ frac {dB} {d \ teeta}} \ oikea) A (r) = 0}

joko jakamalla jäsen jäsenellä tuotteella $A ( r ) B ( θ )$ :

{\ displaystyle {\ frac {1} {A (r) r ^ {2}}} {\ frac {d} {dr}} \ vasen (r ^ {2} {\ frac {dA} {dr}} \ oikea) = - {\ frac {1} {B (\ theta) r ^ {2} \ sin \ theta}} {\ frac {d} {d \ theta}} \ vasen (\ sin \ theta {\ frac { dB} {d \ theta}} \ oikea)}

Koska molempien jäsenten välillä on oltava tasa-arvo kahdesta eri muuttujasta riippuen, kaikkien jälkimmäisten mahdollisten arvojen on oltava yhtä suuria kuin vakio, jota kutsutaan erotusvakiona, jonka on mahdollista kirjoittaa yleispätevyyttä menettämättä muodossa $α ( α + 1)$ , jossa on $α$ todellinen. Muuttujan $x = cos θ$ muutos mahdollistaa toisen jäsenen tuloksena olevan yhtälön asettamisen Legendre-yhtälön muotoon. Kuitenkin fysiikan etsimme ratkaisuja määritelty kaikki mahdolliset arvot kulma $θ$ , eli itse asiassa säännöllisen $x = \pm 1$ , siis jossa on $α = n$ , n kokonaisluku, kulma-osa Laplacen yhtälö on siis hyvin esitetyssä muodossa.

Määritelmä endomorfismin ominaisfunktioina

Abstraktimmalla tavalla, on mahdollista määritellä Legendren polynomit $P n$ kuten ominaisfunktiot varten ominaisarvot $- n ( n + 1)$ , jossa on $n-$ kokonaisluku, ja endomorphism määritellään : $\ mathbb {R} [X]$

{\ displaystyle P \ in \ mathbb {R} [X] \ mapsto u (P) = {\ frac {\ textrm {d}} {{\ textrm {d}} x}} \ vasen [(1-x ^ {2}) {\ frac {{\ textrm {d}} P} {{\ textrm {d}} x}} \ oikea]}

Tämä abstraktimpi määritelmä on mielenkiintoinen erityisesti Legendren polynomien ortogonaalisuusominaisuuksien osoittamiseksi.

Generaattoritoiminto

Voimme määritellä myös tämän polynomien sarjan sen generaattorisarjalla :

{\ displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {1-2xz + z ^ {2}}}} = \ summa _ {n = 0} ^ {\ infty} P_ {n} (x) \, z ^ {ei}}

Tämä ilmaisu esiintyy erityisesti fysiikassa, esimerkiksi sähköstaattisen tai gravitaatiopotentiaalin pitkällä etäisyydellä (moninapainen kehitys).

Jos katsotaan, että yleensä $z$ on monimutkainen, Laurent-sarjan kertoimien laskeminen antaa sitten:

{\ displaystyle P_ {n} (x) = {\ frac {1} {2 \ pi i}} \ vo (1-2xz + z ^ {2}) ^ {- 1/2} \, z ^ {- n-1} \, \ mathrm {d} z}

missä ääriviivat ympäröivät alkuperää ja otetaan vastapäivään.

Tällä generaattoritoiminnolla on mahdollista määritellä Legendren polynomit, kuten laajennuskertoimet.

Muut määritelmät

Bonnetin toistumiskaava

Tämän kaavan avulla voimme nopeasti saada Legendre-polynomin lausekkeen $( n + 1)$ järjestyksistä $n$ ja $( n - 1)$ .

Mikä tahansa kokonaisluku $n \geq 1$ :

{\ displaystyle (n + 1) \, P_ {n + 1} (x) = (2n + 1) \, x \, P_ {n} (x) -n \, P_ {n-1} (x) }

jossa $P 0 ( x ) = 1$ ja $P 1 ( x ) = x$ . Se voidaan helposti osoittaa generaattorin toiminnasta.

Esittely

Johtamalla muuttujan $t$ suhteen Legendre-polynomien määritelmä generaattoritoiminnosta, se tulee uudelleenjärjestelyn jälkeen:

{\ displaystyle {\ frac {xt} {\ sqrt {1-2xt + t ^ {2}}}} = (1-2xt + t ^ {2}) \ summa _ {n = 1} ^ {\ infty} nP_ {n} (x) t ^ {n-1}.}

Uudelleen käytettäessä se tulee ${\ displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {1-2xt + t ^ {2}}}} = \ summa _ {n = 0} ^ {\ infty} P_ {n} (x) t ^ {n }}$

{\ displaystyle \ summa _ {n = 0} ^ {\ infty} xP_ {n} (x) t ^ {n} - \ summa _ {n = 0} ^ {\ infty} P_ {n} (x) t ^ {n + 1} = \ summa _ {n = 0} ^ {\ infty} (n + 1) P_ {n + 1} (x) t ^ {n} -2 \ summa _ {n = 0} ^ {\ infty} (n + 1) xP_ {n + 1} (x) t ^ {n + 1} + \ summa _ {n = 0} ^ {\ infty} (n + 1) P_ {n + 1} (x) t ^ {n + 2}.}

Tunnistamalla sitten termien kertoimet, joilla on sama $t-$ voima , se tulee:

ja $n = 0$ , joko ottamalla normalisointia kunto , se on $P-$ $1$ $($ $x$ $) =$ $x$ ; ${\ displaystyle xP_ {0} (x) = P_ {1} (x)}$ ${\ displaystyle P_ {0} (x) = 1, \ kaikki x \ sisällä [-1,1]}$
kun $n = 1$ , joko samalla standardoinnin ehdolla kuin edellä ; ${\ displaystyle 3xP_ {1} (x) -P_ {0} (x) = 2P_ {2} (x)}$ ${\ displaystyle P_ {2} (x) = {\ frac {3x ^ {2} -1} {2}}}$
yleensä $n \geq 1$ , mikä antaa edellisen toistumiskaavan. ${\ displaystyle (2n + 1) xP_ {n} (x) = (n + 1) P_ {n + 1} (x) + nP_ {n-1} (x)}$

Rodriguesin kaava

Kun normalisointiehtona on $P 0 ( x ) = 1$ , polynomi $P n ( x )$ voidaan ilmaista käyttämällä Rodriguesin kaavaa:

{\ displaystyle P_ {n} (x) = \ vasen ({\ frac {1} {2 ^ {n} n!}} \ oikea) {\ frac {\ mathrm {d} ^ {n}} {\ mathrm {d} x ^ {n}}} \! \ vasen [(x ^ {2} -1) ^ {n} \ oikea]}

Määritelmät summana

Määritämme tämän polynomin kahdella tavalla summana:

P _ {{n}} (x) = {\ frac {1} {2 ^ {n}}} \ summa _ {{k = 0}} ^ {{E (n / 2)}} (- 1) ^ {k} {\ binom {n} {k}} {\ binom {2n-2k} {n}} x ^ {{n-2k}}

(päätämme ) $P _ {{2n}} (0) = {\ frac {1} {2 ^ {{2n}}}} (- 1) ^ {n} {\ binom {2n} {n}} \,$

P _ {{n}} (x) = {\ frac {1} {2 ^ {n}}} \ summa _ {{k = 0}} ^ {{n}} {\ binom {n} {k} } ^ {2} (x-1) ^ {{nk}} (x + 1) ^ {{k}}

missä käytimme:

{\ displaystyle {\ binom {n} {k}} = {\ frac {n!} {(nk)! k!}}}

Joitakin polynomeja

Ensimmäiset yksitoista polynomia ovat:

$P _ {{0}} (x) = 1 \,$
$P _ {{1}} (x) = x \,$
$P _ {{2}} (x) = {\ frac {1} {2}} (3x ^ {{2}} - 1) \,$
$P _ {{3}} (x) = {\ frac {1} {2}} (5x ^ {{3}} - 3x) \,$
$P _ {{4}} (x) = {\ frac {1} {8}} (35x ^ {{4}} - 30x ^ {{2}} + 3) \,$
$P _ {{5}} (x) = {\ frac {1} {8}} (63x ^ {{5}} - 70x ^ {{3}} + 15x) \,$
$P _ {{6}} (x) = {\ frac {1} {16}} (231x ^ {{6}} - 315x ^ {{4}} + 105x ^ {{2}} - 5) \,$
$P _ {{7}} (x) = {\ frac {1} {16}} (429x ^ {{7}} - 693x ^ {{5}} + 315x ^ {{3}} - 35x) \,$
$P _ {{8}} (x) = {\ frac {1} {128}} (6435x ^ {{8}} - 12012x ^ {{6}} + 6930x ^ {{4}} - 1260x ^ {{ 2}} + 35) \,$
$P _ {{9}} (x) = {\ frac {1} {128}} (12155x ^ {{9}} - 25740x ^ {{7}} + 18018x ^ {{5}} - 4620x ^ {{ 3}} + 315x) \,$
$P _ {{10}} (x) = {\ frac {1} {256}} (46189x ^ {{10}} - 109395x ^ {{8}} + 90090x ^ {{6}} - 30030x ^ {{ 4}} + 3465x ^ {{2}} - 63) \,$

Ominaisuudet

Tutkinto

Polynomin $P n$ on asteen n .

Perustuu

Perhe on perhe porrastetun asteen polynomi, se on perusta on vektori tilaa . $(P_ {n}) _ {{n \ leq N}}$ $\ mathbb {R} _ {N} [X]$

Pariteetti

Legendren polynomeja seuraa pariteetin n . Voimme ilmaista tämän ominaisuuden seuraavasti:

P_ {n} (- x) = (- 1) ^ {n} P_ {n} (x). \,

(erityisesti ja ). $P_ {n} (- 1) = (- 1) ^ {n}$ $P _ {{2n + 1}} (0) = 0$

Ortogonaalisuus

Legendre-polynomien tärkeä ominaisuus on niiden ortogonaalisuus . Kaikille $m , n$ kokonaisluvuille voidaan osoittaa , että:

{\ displaystyle \ int _ {- 1} ^ {1} P_ {m} (x) P_ {n} (x) \, dx = {2 \ yli {2n + 1}} \ delta _ {mn}}

Tämä suhde on mahdollista tulkita tuomalla kahden funktion pistetulo , joka määritetään näiden kahden funktion tulon integraalista rajatulla aikavälillä:

{\ displaystyle \ langle f, g \ rangle = \ int _ {a} ^ {b} f (x) g (x) W (x) ~ \ mathrm {d} x}

missä $W ( x ): tä$ kutsutaan "painofunktioksi", $[ a , b ]$ on näiden kahden funktion ortogonaalisuuden aikaväli, joka voi olla ääretön integraalin lähentymisen alaisena.

Legendre-polynomien tapauksessa ortogonaalisuusväli on [−1, 1] ja painofunktio on yksinkertaisesti arvon 1 vakiofunktio, joten on mahdollista kirjoittaa: nämä polynomit ovat kohtisuorassa suhteessa skalaarituloon , jonka suhde: $\ langle \ cdot, \ cdot \ rangle$ $\ mathbb {R} [X]$

{\ displaystyle \ langle P_ {m}, P_ {n} \ rangle = \ int _ {- 1} ^ {1} P_ {m} (x) P_ {n} (x) \, \ mathrm {d} x = {2 \ yli {2n + 1}} \ delta _ {mn}}

. Esittely

Hyvin määritelmä $P n$ osoittaa, että se on ominaisvektori , että ominaisarvon $- n ( n + 1)$ on endomorphism:

{\ displaystyle P \ in \ mathbb {R} [X] \ to u (P) = {\ frac {\ textrm {d}} {{\ textrm {d}} x}} \ vasen [(1-x ^ {2}) {\ frac {{\ textrm {d}} P} {{\ textrm {d}} x}} \ oikea]}

Tämä endomorfismi on kuitenkin symmetrinen edelliselle skalaarituotteelle, koska tekemällä kaksi integraatiota peräkkäisillä osilla se tulee:

{\ displaystyle \ forall P, Q \ in \ mathbb {R} [X], \ quad \ langle u (P), Q \ rangle = \ int _ {- 1} ^ {+ 1} u (P) (x ) Q (x) \, \ mathrm {d} x = - \ int _ {- 1} ^ {+ 1} P '(x) (1-x ^ {2}) Q' (x) \, \ mathrm {d} x = \ int _ {- 1} ^ {+ 1} P (x) {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x}} \ vasemmalle ((1-x ^ {2 }) Q '(x) \ oikea) \ mathrm {d} x = \ langle P, u (Q) \ rangle}

Koska ne ovat ominaisvektoreita, joihin liittyy erillisiä ominaisarvoja, Legendren polynomien perhe on ortogonaalinen.

Lisäksi, koska se on perusta , meillä on , toisin sanoen: $(P_ {n}) _ {{n \ leq N}}$ $\ mathbb {R} _ {N} [X]$ $P _ {{N + 1}} \ sisään (\ mathbb {R} _ {N} [X]) ^ {\ bot}$

\ kaikki Q \ sisällä \ mathbb {R} _ {N} [X], \ int _ {{- 1}} ^ {{1}} P _ {{N + 1}} (x) Q (x) \ , {\ mathrm {d}} x = 0

Vakio

Neliön normi, on L 2 ([-1,1]), on

\ | P_ {n} \ | ^ {2} = {\ frac {2} {2n + 1}}.

Kaikille $n > 1: lle$ voidaan todellakin luoda suhde

P '_ {{n + 1}} - P' _ {{n-1}} = (2n + 1) P_ {n}, \,

josta päätellään (käyttämällä, että kaikki $k$ , $P k - 1 "$ on astetta $k - 2 < k$ vuoksi on kohtisuorassa $P k$ , ja suorittamalla integrointi osilla ):

\ langle P_ {n}, (2n + 1) P_ {n} \ rangle = \ langle P_ {n}, P '_ {{n + 1}} - P' _ {{n-1}} \ rangle = \ langle P_ {n}, P '_ {{n + 1}} \ rangle = [P_ {n} P _ {{n + 1}}] _ {{- 1}} ^ {{\ 1}} - \ langle P '_ {n}, P _ {{n + 1}} \ rangle = [P_ {n} P _ {{n + 1}}] _ {{- 1}} ^ {{\ 1}} .

Koska $P n P n + 1$ on pariton ja kaikilla $k$ : lla $P k (1) = 1$ , päädymme siten $(2 n + 1) || P n || 2 = 2$ .

Lisäyslause

Jos $0 \leq ψ 1 <π$ , $0 \leq ψ 2 <π$ , $ψ 1 + ψ 1 <π$ ja $ϕ$ mikä tahansa todellinen, niin

P_ {k} (\ cos \ psi _ {1} \ cos \ psi _ {2} + \ sin \ psi _ {1} \ sin \ psi _ {2} \ cos \ phi) = P_ {k} (\ cos \ psi _ {1}) P_ {k} (\ cos \ psi _ {2}) + 2 \ summa \ rajoitukset _ {{m = 1}} ^ {\ infty} (- 1) ^ {m} P_ {k} ^ {{- m}} (\ cos \ psi _ {1}) P_ {k} ^ {m} (\ cos \ psi _ {2}) \ cos m \ phi,

mikä vastaa

P_ {k} (\ cos \ psi _ {1} \ cos \ psi _ {2} + \ sin \ psi _ {1} \ sin \ psi _ {2} \ cos \ phi) = P_ {k} (\ cos \ psi _ {1}) P_ {k} (\ cos \ psi _ {2}) + 2 \ summa \ rajoitukset _ {{m = 1}} ^ {\ infty} {\ frac {\ Gamma (k- m + 1)} {\ Gamma (k + m + 1)}} P_ {k} ^ {m} (\ cos \ psi _ {1}) P_ {k} ^ {m} (\ cos \ psi _ { 2}) \ cos m \ phi.

Meillä on myös

Q_ {k} (\ cos \ psi _ {1} \ cos \ psi _ {2} + \ sin \ psi _ {1} \ sin \ psi _ {2} \ cos \ phi) = P_ {k} (\ cos \ psi _ {1}) Q_ {k} (\ cos \ psi _ {2}) + 2 \ summa \ rajoitukset _ {{m = 1}} ^ {\ infty} (- 1) ^ {m} P_ {k} ^ {{- m}} (\ cos \ psi _ {1}) Q_ {k} ^ {m} (\ cos \ psi _ {2}) \ cos m \ phi

olettaen, että $0 \leq ψ 1 < ψ 2$ .

Legendre-polynomien sarja hajoaminen

Holomorfisen funktion hajoaminen

Mikä tahansa funktio $f$ , holomorfinen ellipsin sisällä, jonka polttopisteet ovat -1 ja +1, voidaan kirjoittaa sarjana, joka yhtyy tasaisesti mihin tahansa ellipsin sisällä olevaan kompaktiin:

f (z) = \ summa _ {{n = 0}} ^ {\ infty} \ lambda _ {n} P_ {n} (z)

kanssa $\ forall n \ sisään {\ mathbb {N}}, \ lambda _ {n} \ sisään {\ mathbb {C}}.$

Lipschitzin funktion hajoaminen

Merkitään polynomin $P$ $n$ osamäärä sen normilla. ${\ tilde {P_ {n}}}$

Olkoon $f$ jatkuva kartta $[-1; 1]$ . Kaikille luonnollisille $numeroille, joita$ me asetamme

{\ displaystyle c_ {n} (f) = \ int _ {- 1} ^ {1} f (x) {\ tilde {P}} _ {n} (x) \, \ mathrm {d} x,}

Sitten sekvenssi $( c n ( f ))$ on summable neliö , ja tekee mahdolliseksi selvittää kohtisuoraa projektiota ja $f$ on : $\ mathbb {R} _ {n} [X]$

S_ {n} f = \ summa _ {{k = 0}} ^ {n} c_ {k} (f) {\ tilde P} _ {k}.

Meillä on myös:

${\ displaystyle \ forall x \ in [-1,1], \; S_ {n} f (x) = \ int _ {- 1} ^ {1} K_ {n} (x, \; y) f ( y) \, \ mathrm {d} y}$ , ytimen kanssa $K_ {n} (x, \; y) = {\ frac {n + 1} {2}} {\ frac {{\ tilde P} _ {{n + 1}} (x) {\ tilde P} _ {n} (y) - {\ tilde P} _ {{n + 1}} (y) {\ tilde P} _ {n} (x)} {xy}};$
${\ displaystyle S_ {n} f (x) -f (x) = \ int _ {- 1} ^ {1} K_ {n} (x, \; y) (f (y) -f (x)) \, \ mathrm {d} y.}$

Oletetaan lisäksi, että $f$ on Lipschitzin funktio . Sitten meillä on lisäominaisuus:

\ forall x \ in] -1,1 [, \; \ lim _ {{n \ to \ infty}} S_ {n} f (x) = f (x).

toisin sanoen tasa-arvo

f = \ summa _ {{n = 0}} ^ {\ infty} c_ {n} (f) {\ tilde P} _ {n}

On totta, ei vain siinä mielessä, L 2 , mutta siinä mielessä, että yksinkertainen lähentyminen on $] -1; 1 [$ .

Funktion digitaalinen integrointi

Funktion integraalin laskemiseksi numeerisesti aikavälillä $[-1; 1]$ , yksi suosituimmista menetelmistä on Gauss-Legendren kvadratuurimenetelmä, joka perustuu Legendren polynomien ominaisuuksiin. Se on muodossa:

\ int _ {{- 1}} ^ {1} f (x) \, {\ mathrm {d}} x \ noin \ summa _ {{i = 1}} ^ {n} w_ {i} f (x_ {i})

kanssa:

$(x_ {i}) _ {{i \ leq n}}$ Legendren polynomin $P$ $n$ nollajoukko
${\ displaystyle (w_ {i}) _ {i \ leq n}}$ vastaavat painot: $w_ {i} = {\ frac {-2} {(n + 1) P '_ {{n}} (x_ {i}) P _ {{n + 1}} (x_ {i})}}$

Erityisesti $n-$ järjestys kaava on tarkka minkä tahansa polynomin funktio astetta $2 n - 1$ .

Fysiikan sovellukset

Legendre-polynomit, aivan kuten Hermiten tai Laguerren , esiintyvät fysiikan tai numeerisen laskennan eri aloilla, koska ne mahdollistavat tiettyjen integraalien laskemisen ilman, että niitä on tarpeen arvioida analyyttisesti, edellyttäen kuitenkin, että muuttujan riittävällä muutoksella yksi paikka itsesi integraatiovälillä [−1, 1].

Legendre-polynomit mahdollistavat tyypin funktioiden kehittämisen sarjaan (tämä kaava voidaan päätellä suoraan generoivasta funktiosta):

{\ frac {1} {\ vasen | {\ mathbf {{\ vec {r}}}} - {\ mathbf {{\ vec {r}}}} ^ {\ prime} \ oikea |}} = {\ frac {1} {{\ sqrt {r ^ {2} + r ^ {{\ prime 2}} - 2rr '\ cos \ gamma}}}} = \ summa _ {{\ ell = 0}} ^ {{ \ infty}} {\ frac {r ^ {{\ prime \ ell}}} {r ^ {{\ ell +1}}}}} P _ {{\ ell}} (\ cos \ gamma), {\ text {kanssa}} r> r '

missä r ja r ' ovat vektorien normit ja vastaavasti ja on niiden välinen kulma. Tällaista kehitystä käytetään esimerkiksi sähködipolin tutkimuksessa tai yleisemmin sähköisen tai painovoimakentän ilmentämisessä suurella etäisyydellä varauksen tai massan jatkuvasta jakautumisesta (moninapainen kehitys). ${\ mathbf {{\ vec {r}}}}$ ${\ mathbf {{\ vec {r}}}} ^ {\ prime}$ $\gamma$

Legendren polynomien näkyvät myös resoluution Laplace'n että sähköinen potentiaali V- alueella tyhjentää maksuja, vuonna pallokoordinaateissa , kun kyseessä on ongelma, jolla on aksiaalinen symmetria ( V on silloin riippumaton φ ), etenee menetelmällä muuttujien erottaminen. Laplace-yhtälön ratkaisu laitetaan sitten muotoon: $\ nabla ^ {2} V ({\ mathbf {{\ vec {r}}}}) = 0$

\ Phi (r, \ theta) = \ summa _ {{\ ell = 0}} ^ {{\ infty}} \ vasen [A _ {\ ell} r ^ {\ ell} + B _ {\ ell} r ^ {{- (\ ell +1)}} \ oikea] P _ {\ ell} (\ cos \ theta).

Huomautuksia ja viitteitä

Itse asiassa, kehittämällä differentiaaliyhtälöä, laitamme sen muotoon , kanssa ja . Näin ollen on selvää, että pisteet $x$ $= 1$ ja $x$ $= -1$ muodostavat todellakin pylväitä , jotka ovat $f$ $($ $x$ $)$ ja $g$ $($ $x$ $)$ . ${\ displaystyle y '' - f (x) \, y '+ g (x) \, y = 0}$ ${\ displaystyle f (x) = {\ frac {2x} {1-x ^ {2}}}}$ ${\ displaystyle g (x) = {\ frac {n (n + 1)} {1-x ^ {2}}}}$
Murray R. Spiegel (en) , Fourier-analyysi ja soveltaminen raja-arvo-ongelmiin: 205 ratkaistua harjoitusta , Schaum-sarja ,1987, 200 Sivumäärä ( ISBN 978-2-7042-1019-0 ) , luku. 7 (“Legendren toiminnot ja niiden sovellukset”), s. 138-142.
Yleisempi tapaus, jossa etsitään muuttujien erottamisella Laplace-yhtälön kulmaosan ratkaisuja sekä $θ: sta$ että $ϕ: sta,$ antaa mahdollisuuden liittää siihen liittyvät Legendre-polynomit , jotka liittyvät läheisesti pallomaisiin harmonisiin .
taulukko viiden ensimmäisen kaavat löytyy (fi) Eric W. Weisstein , " Legendren-Gauss kvadratuuri " , on MathWorld

Katso myös

Aiheeseen liittyvät artikkelit

Bibliografia

(in) IS Gradshteyn ja IM Ryzhik, Taulukko Integraalit, sarja, ja tuotteet (de) , Alan Jeffrey Daniel Zwillinger (toim.), Academic Press , 7 th painos 2007 ( ISBN 978-0-08047111-2 ) [ lue verkossa ] ja virheitä
Georgette Nockere, digitaalinen taulukoita Legendren polynomeja , ARB , 8 th ed., 1949
Joseph Kampé de Fériet , Matemaattisen fysiikan toiminnot , CNRS , 1957
Aihe on viitat 1989