Omaarvo (yhteenveto)

Käsitteet ominaisvektorista , eigenvalue ja eigenspace koske endomorphisms (tai lineaarinen operaattorit), eli lineaarinen karttoja on vektoriavaruuden sinänsä. Ne liittyvät läheisesti toisiinsa, ja muodostavat pilarin vähentäminen endomorphisms osa lineaarialgebran joka pyrkii hajoavat tilaa mahdollisimman tehokkaasti osaksi suora summa on vakaa aliavaruuksia .

Määritelmät ja ominaisuudet

Seuraavassa tarkastellaan vektoriavaruutta E kommutatiivisen kentän K yläpuolella . E: n elementit ovat vektorit ja K: n skalaarit . Käytännössä kenttä K on usein kompleksien kenttä ℂ ja vektoritila on rajallinen . Kussakin osassa määritetään mahdolliset rungon tai koon rajoitukset. Merkitsemme u: lla E: n ja $Id:$ n endomorfismia identiteetin endomorfismia .

Oma arvo

Määritelmä - Skalaari $λ$ on u: n ominaisarvo, jos on nollasta poikkeava vektori x siten, että u ( x ) = $λ$ x .

U: n ominaisarvot ovat siis skalaareja $λ$ siten, että u - $λId$ ei ole injektoiva (toisin sanoen sen ydin ei ole pienentynyt nollavektoriksi ).

Ominaisarvot neliön matriisin koon n ovat ominaisarvot endomorphism ja K n- matriisin on kanoninen perusteella .

Jos E on äärellinen ulottuvuus n , u: n (tai sen matriisin A millä tahansa perusteella ) ominaisarvot :

ovat niiden yhteisen tunnusomaisen polynomin juuret , det ( X Id - u ) = det ( X I n - A );
ovat kaikki spektriarvojen ja u (tai ): elementit niiden yhteisen spektrin .

Esimerkkejä:

Jos u = $Id$ sitten u on vain yksi ominaisarvo: 1.
jos u on määritelty ℝ 2 : lla tällöin, u: lla on kaksi ominaisarvoa: u(x1,x2)=(x1+6x2,x1+2x2){\ displaystyle u (x_ {1}, x_ {2}) = (x_ {1} + 6x_ {2}, x_ {1} + 2x_ {2})} $u (x_ {1}, x_ {2}) = (x_ {1} + 6x_ {2}, x_ {1} + 2x_ {2})$
- 4 koska $u (2,1) = (8,4) = 4 (2,1)$
- –1 koska $u (-3,1) = (3, -1) = - 1 (-3,1)$
- ei muuta ominaisarvoa, koska ulottuvuus on 2.

Puhdas vektori

Määritelmä - Olkoon x E: n ei-nollavektori , x on u: n ominaisvektori, jos skalaari $λ on$ sellainen, että u ( x ) = $λ$ x . Sanomme, että x on ominaisarvo, joka liittyy ominaisarvoon $λ$ .

Ominaisvektorit (liittyvä ominaisarvo $λ$ ), joka on neliömatriisi jonka koko n on ominaisvektorit (liittyvä ominaisarvo $λ$ ) on endomorphism ja K n , jota edustaa .

Ominaisvektoria ei voida yhdistää kahteen eri ominaisarvoon
Perhe k liittyvien ominaisvektorien k eri ominaisarvot muodostaa vapaa perhe .

Puhdista alatilat

Määritelmä - Olkoon λ ominaisarvo u (tai A ); sitten ominaisarvoista X ja nollavektorista koostuvaa joukkoa kutsutaan ominaisarvoksi u (tai A ), joka liittyy ominaisarvoon λ.

Ominaisarvoon λ liittyvä ominaisalatila on u - λ $Id:$ n ydin . Siksi se on vektorialatila .
Ominaisarvon määritelmän mukaan ominaisarvo ei koskaan pienene nollavektoriksi.
Ja neliömatriisi koon n , löydämme eigen aliavaruuden liittyy ominaisarvo λ mukaan ratkaisemalla (homogeeninen) järjestelmä n lineaaristen yhtälöiden kanssa n tuntematonta joiden matriisi kirjoittaminen on ( A - $λ$ I n ) v = 0.
Eigenspaces E i ominaisarvot A i muodostaa suora summa vektorin aliavaruuksia stabiili u .
Tämä on seurausta ytimen lemmasta , jota sovelletaan polynomeihin X - λ i , jotka ovat niiden välillä kaksi kerrallaan.
Tämä E i: n suora summa on yhtä suuri kuin E vain ja vain, jos endomorfismi on diagonalisoitavissa.
Jos kaksi endomorfismia u ja v kulkevat , niin mikä tahansa u: n oikea alitila on vakaa v: n alla .

Tyypillinen polynomi

Oletetaan tässä, että E on rajallinen ulottuvuus n .

Kutsumme "tunnusomainen polynomi" on endomorphism u , polynomin det ( X $Id$ - u ) , ja "tunnusomainen polynomi" neliön matriisi järjestyksessä n , karakteristisen polynomin n endomorphism ja K n kanonisesti liittyvät , eli polynomi det ( XI n - A ), jossa I n on identiteettimatriisi n × n . Tällä polynomilla on n- astetta , joten sillä on korkeintaan n juurta .

Joko a : E → F on vektoritilojen isomorfismi , toisin sanoen lineaarinen bijektiivinen , sitten u: lla ja aua- 1: llä on sama ominaispolynomi ja siten samat ominaisarvot.
Todellakin, ${\ displaystyle \ det (\ lambda {\ rm {Id}} _ {F} -aua ^ {- 1}) = \ det (a (\ lambda {\ rm {Id}} _ {E} -u) a ^ {- 1}) = \ det (\ lambda {\ rm {Id}} _ {E} -u).}$
U: n ominainen polynomi on siis yhtä suuri kuin sen matriisin A millä tahansa perusteella .
U: n (tai A: n ) tyypillisen polynomin juuret ovat sen ominaisarvot.
Itse asiassa endomorfismilla on nolla determinantti vain ja vain, jos se ei ole injektoiva.
Jos K on algebrallisesti suljettu tai jos K on R , reaalilukujen kenttä ja n on pariton, niin u: lla on vähintään yksi ominaisarvo.
Sanomalla, että kenttä on algebrallisesti suljettu, tarkoitetaan sitä, että mikä tahansa ei- vakio polynomi hyväksyy ainakin yhden juuren. Tämä juuri on välttämättä ominaisarvo yllä olevan ensimmäisen kohdan mukaan. Toisaalta todellisella parittoman asteen polynomilla on aina todellinen juuri.

Järjestyksessä algebrallinen useita ominaisarvo λ on järjestyksessä useita juuren on tunnusomainen polynomi. Siksi se on ( X - λ): n eksponentti tyypillisessä polynomissa.

Algebrallisesti suljetussa kentässä:
- Determinantti on yhtä suuri kuin algebrallisen moninkertaisuuden järjestykseen nostettujen ominaisarvojen tulo;
- Jälki on yhtä suuri kuin ominaisarvojen summa kerrottuna niiden algebrallisen moninkertaisuuden järjestyksellä.

Minimaalinen polynomi

Sijoitamme itsemme tähän äärellisen ulottuvuuden vektoriavaruuden E kehykseen .

Kutsumme u: n "minimaaliseksi polynomiksi" pienimmän asteen yksikön polynomia , joka kumoaa u: n . Minimaalinen polynomi antaa lineaarisen riippuvuussuhteen endomorfismin voimiin u 0 , u 1 , u 2 ,… ja vastavuoroisesti tällainen lineaarinen riippuvuussuhde antaa u: n , minimipolynomin, peruuttavan polynomin minimoimalla asteen ja ottamalla kerroin 1 u : n suurimmalle mahdolliselle voimalle .

Minimaalisen polynomin juuret ovat u: n ominaisarvot .

Jos vähimmäispolynomi otetaan huomioon M = ( X - λ) Q , niin M ( u ) = ( u - λ

Id

) ∘ Q ( u ) on nolla endomorfismi, kun taas Q ( u ) ei ole (koska Q: n aste on liian matala). Näin ollen Q ( u ) -kuvassa on nollasta poikkeavia vektoreita , jotka ovat ominaisvektoreita X: lle.

Yleisemmin kaikilla kokonaisluvuilla i ≥ 1 minimipolynomi on jaollinen ( X - λ) i: llä ja vain, jos ( u - λ $Id$ ) i: n ydin on tiukasti suurempi kuin ( u - λ $Id$ ) i - 1 . Näin ollen λ: n moninkertaisuus m minimaalisen polynomin juurena on yhtä suuri kuin pienin eksponentti siten, että ( u - λ $Id$ ) m: n ydin on yhtä suuri kuin ominaisarvoon λ liittyvä ominaisalatila. Sitä kutsutaan λ: n vähimmäiskertoimeksi.
Olkoon olla automorphism on E , niin u ja aua -1 on sama minimaalinen polynomi (ja näin ollen sama ominaisarvot). Toisin sanoen, minimaalinen polynomi on samankaltaisuuden invariantti endomorfismiin.
Todellakin, P ( aua -1 ) on yhtä suuri kuin aP ( u ) on -1 , minkä tahansa polynomin P .
Algebrallisesti suljetussa kentässä minimaalinen polynomi (kuten mikä tahansa nollasta poikkeava polynomi) jaetaan , ja siksi sillä on ainakin yksi juuri, joka on u : n ominaisarvo (poikkeus: jos E : n ulottuvuus on nolla, minimaalinen polynomi on 1, aivan kuten tyypillinen polynomi ja u: lla ei ole ominaisarvoa).
Cayley-Hamiltonin lause voimme todeta, että minimaalinen polynomi jakaa karakteristisen polynomin

Tyypilliset alatilat

Oletetaan, että E on rajallinen ulottuvuus ja että K on algebrallisesti suljettu.

Jos λ on u: n ominaisarvo , jonka moninkertaisuusjärjestys on α λ , kutsumme ominaisarvoon λ liittyvää u : n "ominaisalatilaa" ( u - λ $Id$ ) α λ: n ytimeksi . Merkitään tämä ominaisalatila E λ .

E λ on myös ( u - λ $Id$ ) β λ: n ydin, jossa β λ on λ: n moninkertaisuusjärjestys minimipolynomissa.
E λ on stabiili u: lla .
dim ( E À ) = a: À .
Avaruus E on sen tunnusomaisten alatilojen suora summa.
rajoittaminen u ja E À on minimaalinen polynomi ( X - À) p À .

Endomorfismin vähentäminen

Oletetaan, että E on rajallinen. Ominaisarvojen tutkiminen mahdollistaa entomorfismien yksinkertaisemman muodon löytämisen, jota kutsutaan niiden pelkistymiseksi.

Lävistäjä

Endomorfismi määräytyy kokonaan sen ominaisvektorien ja niihin liittyvien ominaisarvojen mukaan, jos se on diagonalisoitavissa, ts. Jos ominaisvektoreilla on perusta. Numeerisia esimerkkejä on artikkelissa ” Diagonalisoitava matriisi ”. Seuraavat kriteerit ovat kaikki välttämättömiä ja riittäviä ehtoja sille, että äärellisen ulotteisen vektoritilan endomorfismi on diagonalisoitavissa:

On olemassa ominaisvektorien perusta
summa on eigenspaces on koko tilan
sisätilojen mittojen summa on yhtä suuri kuin koko avaruuden ulottuvuus
minimaalinen polynomi on jaettu K: lla ja yhdellä juurella. ( Todiste endomorfismin polynomista . )
minkä tahansa oikean alatilan ulottuvuus on yhtä suuri kuin siihen liittyvän ominaisarvon algebrallinen moninkertaisuus.
mikä tahansa matriisi edustus M on u on diagonalisoitavissa, eli voidaan kirjoittaa muotoon M = PDP -1 kanssa P ja D vastaavasti käännettävissä ja lävistäjä matriisit .

Näiden vastaavien ominaisuuksien lisäksi on seuraavia vaikutuksia:

Jos on olemassa himmeitä ( E ) erillisiä ominaisarvoja, u on diagonalisoitavissa.
Jos u on diagonalisoitavissa, niin sen tunnusomainen polynomi jakautuu.

Siinä tapauksessa, että kenttä on ℂ, tämä ominaisuus on melkein kaikkialla totta Lebesgue-mittauksessa . Lisäksi E : n endomorfismien topologisessa tilassa diagonalisoituvien osajoukko on tiheä .

Dunfordin hajoaminen

Jos u: n minimipolynomi on jaettu, niin u voidaan kirjoittaa muodossa u = d + n, jossa d on diagonalisoitavissa ja n nilpotenttinen siten, että dn = nd . Lisäksi d ja n ovat u: n polynomeja .

Jordanian edustus

Oletetaan, että K on algebrallisesti suljettu.

Jordanian esitys osoittaa, että niin kaikki endomorphism u of E on trigonalisable . Se osoittaa, että rajoittaminen u tunnusomaisen aliavaruuden liittyvä ominaisarvo $λ$ on esitys on muodostettu lohkojen lomakkeen

J_ {k} (\ lambda) = {\ aloita {pmatrix} \ lambda & 1 &&&& \\ & \ lambda & 1 && (0) & \\ && \ ddots & \ ddots && \ &&& \ ddots & \ ddots & \ \ & (0) &&& \ lambda & 1 \\ &&&&& \ lambda \\\ end {pmatrix}}

kutsutaan ”Jordanin lohkoiksi” ja että endomorfismilla on matriisiesitys muodossa

{\ begin {pmatrix} J _ {{k_ {1}}} (\ lambda _ {1}) &&&&& \\ & J _ {{k_ {2}}} (\ lambda _ {2}) &&& \\ && \ ddots && \\ &&& \ ddots & \\ &&&& J _ {{k_ {r}}} (\ lambda _ {r}) \\\ end {pmatrix}}

missä skalaarit $λ i$ (eivät välttämättä erillisiä) ovat u: n ominaisarvoja .

Katso myös

Aiheeseen liittyvät artikkelit

Bibliografia

Serge Lang , Algebra [ yksityiskohdat painoksista ]
Haïm Brezis , Funktionaalinen analyysi: teoria ja sovellukset [ yksityiskohtainen painos ]
Walter Rudin , Toiminnallinen analyysi [ yksityiskohdat painoksista ]
(en) Nelson Dunford ja Jacob T. Schwartz (en) , lineaariset operaattorit, osa I, yleinen teoria , Wiley-Interscience, 1988