Äänenvoimakkuuden keskiarvo

Päättävä keskimääräinen tilavuus , usein viitataan sen Englanti nimi tilavuuden keskiarvon on skaalaus matemaattinen tekniikkaa käytetään laajasti tutkimuksessa huokoisten välineiden tavoitteena on luoda makroskooppinen malleja ongelmia 'mikroskooppisen mittakaavassa. Historiallisesti tämä tekniikka on mahdollistanut eri kirjoittajien vuonna 1967 saada Darcyn lain , joka on voimassa makroskooppisessa mittakaavassa, keskittämällä Stokesin virtaus mikroskooppisessa mittakaavassa. Tätä ongelmaa käsitellään tässä, mutta käytetty tekniikka ulottuu monille muille aloille, kuten aineen diffuusio , lämmönjohtavuus tai jatkuvan väliaineen mekaniikka .

Se on vaihtoehto asymptoottisella laajennuksella suoritetulle matemaattiselle homogenisoinnille .

Mikroskooppinen / makroskooppinen kuvaus

Huokoisen väliaineen fysikaalisten ilmiöiden kuvaus voidaan suorittaa eri tasoilla:

Tyypillisen mikroskooppinen asteikko, joka on huokosten asteikko, tyhjä tila, jossa neste kiertää. Nesteen käsite on tässä otettava laajasti: se voi olla yksivaiheinen (neste tai kaasu) tai kaksivaiheinen (kaasu / neste tai neste / neste) virtaus. Vaiheiden väliset vuorovaikutukset (molemmat neste-kiinteät, mutta myös neste-nesteet monivaiheisen virtauksen tapauksessa) otetaan huomioon näiden kahden vaiheen rajapinnan olosuhteiden kautta. ${\ displaystyle l _ {\ beta}}$
Suurempi asteikko, jota kutsutaan ominaispituuden makroskooppiseksi asteikoksi, on sen osalta järjestelmän mitan suuruusluokassa. Sille on tunnusomaista, missä q edustaa minkä tahansa väliainetta kuvaavan määrän keskiarvoa. $L$ ${\ displaystyle L = {\ frac {q} {| \ nabla q |}}}$

Edellä esitetyt kaksi yksityiskohdan tasoa eroavat yleensä useilla suuruusluokilla. Esimerkiksi helmiä sisältävän adsorptiokolonnin mikroskooppivirtauksen ominaispituus on luokkaa millimetri, kun taas makroskooppisen asteikon suuruusluokka on kolonnin suuruusluokka eli sanotaan mittari. Oletetaan, että asteikkojen erotuksen hypoteesi on varmistettu:

{\ displaystyle l _ {\ beta} \ ll L}

Lisäksi oletetaan, että osaat määritellä väliaineen edustavan alkeistilavuuden (VER), mikä tekee mahdolliseksi olettaa tämän jaksollisuuden.

Määritelmä tilavuuden keskiarvo

Vaiheessa olevan arvofunktion keskiarvon käsite liittyy ongelmaan, jota haluamme tutkia. On kuitenkin yleistä määritellä se integraaliksi mielivaltaisesti määritellylle tilavuudelle . Tämä tilavuus sisältää kiinteää ainetta (huokoinen rakenne), jonka ympärillä neste virtaa. Jälkimmäinen voi olla yksi- tai monivaiheinen. Määrittelemme tilavuuden keskiarvon seuraavasti: ${\ displaystyle \ phi _ {\ beta}}$ $\beeta$ ${\ displaystyle {\ mathcal {V}}}$

{\ displaystyle \ langle \ phi _ {\ beta} \ rangle = {\ frac {1} {\ mathcal {V}}} \ int _ {{\ mathcal {V}} _ {\ beta}} \ phi _ { \ beta} d {\ mathcal {V}}}

Määritämme myös vaiheen sisäisen keskiarvon seuraavasti: $\beeta$

{\ displaystyle \ langle \ phi _ {\ beta} \ rangle ^ {\ beta} = {\ frac {1} {{\ mathcal {V}} _ {\ beta}}} \ int _ {{\ mathcal {V }} _ {\ beta}} \ phi _ {\ beta} d {\ mathcal {V}}}

Yleensä kun yritetään luoda makroskooppinen malli, joka alkaa huokosten mittakaavassa olevasta ongelmasta, etsitään differentiaaliyhtälöitä, jotka säätelevät sisäisiä keinoja kussakin vaiheessa.

Nämä kaksi keskiarvoa liittyvät suhteeseen

{\ displaystyle \ langle \ phi _ {\ beta} \ rangle = \ epsilon _ {\ beta} \ langle \ phi _ {\ beta} \ rangle ^ {\ beta} \ ,, \ qquad \ epsilon _ {\ beta} = {\ frac {{\ mathcal {V}} _ {\ beta}} {\ mathcal {V}}}}

Tapauksessa, jossa vaihe on ainoa vaihe, jossa tilavuuden läpi , voidaan tunnistaa kanssa huokoisuus väliaineen. $\beeta$ $\ mathcal {V}$ ${\ displaystyle \ epsilon _ {\ beta}}$

Äänenvoimakkuuden keskiarvolause

Tilavuuden keskiarvon ottaminen ei ole helppoa, etenkään johdannaisen keskiarvon suhteen. Itse asiassa gradientin keskiarvo on useimmissa tapauksissa erilainen kuin keskiarvon gradientti. Seuraavat lausekkeet, jotka ovat seurausta Leibnitzin lauseesta, antavat meille mahdollisuuden yhdistää nämä kaksi operaatiota:

- skalaarisen määrän gradientti	${\ displaystyle \ langle \ nabla \ phi _ {\ beta} \ rangle = \ nabla \ langle \ phi _ {\ beta} \ rangle + {\ frac {1} {\ mathcal {V}}} \ int _ {{ \ mathcal {A}} _ {\ beta \ sigma}} \ phi _ {\ beta} {\ textbf {n}} _ {\ beta \ sigma} \ mathrm {d} A}$
- vektorimäärän divergenssi	${\ displaystyle \ langle \ nabla \ cdot \ Phi _ {\ beta} \ rangle = \ nabla \ cdot \ langle \ Phi _ {\ beta} \ rangle + {\ frac {1} {\ mathcal {V}}} \ int _ {{\ mathcal {A}} _ {\ beta \ sigma}} \ Phi _ {\ beta} \ cdot {\ textbf {n}} _ {\ beta \ sigma} \ mathrm {d} A}$

missä on raja, sisä- , väli- ja muiden vaiheiden välillä , ja on yksikkö normaalivektori tällä rajalla, suuntaan suuntaan . ${\ displaystyle {\ mathcal {A}} _ {\ beta \ sigma}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {V}}}$ $\beeta$ $\ sigma$ ${\ displaystyle {\ textbf {n}} _ {\ beta \ sigma}}$ $\beeta$ $\ sigma$

Integraali ilmaisee makroskooppisessa mittakaavassa vaikutukset kahden vaiheen rajapinnalla (esimerkiksi nesteen ja huokoisen rakenteen välillä). Näiden integraalien kautta lasketaan makroskooppiset ominaisuudet, kuten läpäisevyys.

Esimerkki: Darcyn lain saaminen

Nopeuden V β nesteen β Stokes-virtauksen tasainen läpäisy huokoisessa väliaineessa σ kuvataan seuraavalla järjestelmällä

- vauhdin säilyttäminen	${\ displaystyle - \ nabla p _ {\ beta} + \ mu _ {\ beta} \ nabla ^ {2} \ mathbf {V} _ {\ beta} = 0}$
- pakkaamaton suhde	${\ displaystyle \ qquad \ qquad \; \; \ nabla \ cdot \ mathbf {V} _ {\ beta} = 0}$
- neste-kiinteä raja-tila	${\ displaystyle \ qquad \ qquad \ qquad \ mathbf {V} _ {\ beta} = 0 \ quad päällä \; {\ mathcal {A}} _ {\ beta \ sigma}}$

p β on paine ja u p dynaaminen viskositeetti .

Tähän järjestelmään on lisättävä alku- ja rajaehdot.

Puristumattomuussuhde keskiarvo otetaan huomioon rajaehto ${\ displaystyle {\ mathcal {A}} _ {\ beta \ sigma}}$

{\ displaystyle \ langle \ nabla \ cdot \ mathbf {V} _ {\ beta} \ rangle = \ nabla \ cdot \ langle \ mathbf {V} _ {\ beta} \ rangle + {\ frac {1} {\ mathcal {V}}} \ int _ {{\ mathcal {A}} _ {\ beta \ sigma}} \ mathbf {V} _ {\ beta} \ cdot {\ textbf {n}} _ {\ beta \ sigma} \ mathrm {d} A = \ nabla \ cdot \ langle \ mathbf {V} _ {\ beta} \ rangle = 0}

Jos olemme kiinnostuneita sisäisestä keskiarvosta β: lla inhomogeeniselle väliaineelle, joka meillä on

{\ displaystyle \ nabla \ cdot \ langle \ mathbf {V} _ {\ beta} \ rangle ^ {\ beta} = - {\ frac {1} {\ epsilon _ {\ beta}}} \ nabla \ epsilon _ { \ beta} \ cdot \ langle \ mathbf {V} _ {\ beta} \ rangle ^ {\ beta}}

Vauhdin säilymisen keskiarvon laskeminen, mikä on vaikeampaa, johtaa yhtälöön

{\ displaystyle - \ nabla \ langle p _ {\ beta} \ rangle ^ {\ beta} + \ mu _ {\ beta} \ nabla ^ {2} \ langle \ mathbf {V} _ {\ beta} \ rangle ^ {\ beta} + {\ frac {1} {{\ mathcal {V}} _ {\ beta}}} \ int _ {{\ mathcal {A}} _ {\ beta \ sigma}} {\ textbf {n }} _ {\ beta \ sigma} \ cdot {\ mathsf {T}} \ mathrm {d} A = 0}

missä on tensori, joka ilmaisee nesteen vuorovaikutuksen kiinteän väliaineen kanssa. ${\ displaystyle {\ mathsf {T}}}$

Esittely

Harmaa hajoaminen

Makroskooppisesta näkökulmasta minkä tahansa mikroskooppisen muuttuvan kentän voidaan nähdä olevan keskimääräisen kentän ja häiriön (tai tilan vaihtelun) vaikutus . Grayn hajoaminen (analoginen Reynoldsin hajoamisen kanssa ) on kirjoitettu ${\ displaystyle \ phi _ {\ beta}}$ ${\ displaystyle \ langle \ phi _ {\ beta} \ rangle ^ {\ beta}}$ ${\ displaystyle {\ tilde {\ phi}} _ {\ beta}}$

{\ displaystyle \ phi _ {\ beta} = \ langle \ phi _ {\ beta} \ rangle ^ {\ beta} + {\ tilde {\ phi}} _ {\ beta} \ ,, \ qquad \ langle {\ tilde {\ phi}} _ {\ beta} \ rangle ^ {\ beta} << \ langle \ phi _ {\ beta} \ rangle ^ {\ beta}}

Keskimääräinen paine-gradientti

Käyttämällä Grayn hajoamista ja sisäistä keskiarvoa

{\ displaystyle \ langle \ nabla p _ {\ beta} \ rangle = \ epsilon _ {\ beta} \ nabla \ langle p _ {\ beta} \ rangle ^ {\ beta} + \ langle p _ {\ beta} \ rangle ^ {\ beta} \ nabla \ epsilon _ {\ beta} + {\ frac {1} {\ mathcal {V}}} \ int _ {{\ mathcal {A}} _ {\ beta \ sigma}} \ langle p_ {\ beta} \ rangle ^ {\ beta} {\ textbf {n}} _ {\ beta \ sigma} \ mathrm {d} A + {\ frac {1} {\ mathcal {V}}} \ int _ {{\ mathcal {A}} _ {\ beta \ sigma}} {\ tilde {p}} _ {\ beta} {\ textbf {n}} _ {\ beta \ sigma} \ mathrm {d} A}

Kulta

{\ displaystyle {\ frac {1} {\ mathcal {V}}} \ int _ {{\ mathcal {A}} _ {\ beta \ sigma}} \ langle p _ {\ beta} \ rangle ^ {\ beta } {\ textbf {n}} _ {\ beta \ sigma} \ mathrm {d} A = {\ frac {\ langle p _ {\ beta} \ rangle ^ {\ beta}} {\ mathcal {V}}} \ int _ {{\ mathcal {A}} _ {\ beta \ sigma}} {\ textbf {n}} _ {\ beta \ sigma} \ mathrm {d} A = - \ langle p _ {\ beta} \ rangle ^ {\ beta} \ nabla \ epsilon _ {\ beta}}

Siksi

{\ displaystyle \ langle \ nabla p _ {\ beta} \ rangle = \ epsilon _ {\ beta} \ nabla \ langle p _ {\ beta} \ rangle ^ {\ beta} + {\ frac {1} {\ mathcal {V}}} \ int _ {{\ mathcal {A}} _ {\ beta \ sigma}} {\ tilde {p}} _ {\ beta} {\ textbf {n}} _ {\ beta \ sigma} \ mathrm {d} A}

Laplacian nopeuden keskiarvo

Soveltamalla menetelmää, jota käytetään paineen ja unohtamatta gradientti pienen mittakaavan se tulee ${\ displaystyle \ nabla \ langle \ mathbf {V} _ {\ beta} \ rangle ^ {\ beta}}$

{\ displaystyle {\ begin {array} {rcl} \ langle \ nabla \ cdot \ nabla \ mathbf {V} _ {\ beta} \ rangle & = & \ nabla \ cdot \ langle \ nabla \ mathbf {V} _ { \ beta} \ rangle - \ nabla \ epsilon _ {\ beta} \ cdot \ nabla \ langle \ mathbf {V} _ {\ beta} \ rangle ^ {\ beta} + {\ frac {1} {\ mathcal {V }}} \ int _ {{\ mathcal {A}} _ {\ beta \ sigma}} {\ textbf {n}} _ {\ beta \ sigma} \ cdot \ nabla {\ tilde {\ mathbf {V}} } _ {\ beta} \ mathrm {d} A \\ [0.5em] & = & \ nabla ^ {2} \ langle \ nabla \ mathbf {V} _ {\ beta} \ rangle + \ nabla \ cdot \ left ({\ frac {1} {\ mathcal {V}}} \ int _ {{\ mathcal {A}} _ {\ beta \ sigma}} {\ textbf {n}} _ {\ beta \ sigma} \ mathbf {V} _ {\ beta} \ mathrm {d} A \ oikea) - \ nabla \ epsilon _ {\ beta} \ cdot \ nabla \ langle \ mathbf {V} _ {\ beta} \ rangle ^ {\ beta} + {\ frac {1} {\ mathcal {V}}} \ int _ {{\ mathcal {A}} _ {\ beta \ sigma}} {\ textbf {n}} _ {\ beta \ sigma} \ cdot \ nabla {\ tilde {\ mathbf {V}}} _ {\ beta} \ mathrm {d} A \ end {array}}}

Ja ottaen huomioon neste-kiinteät aineet rajoittava tila

{\ displaystyle \ langle \ nabla \ cdot \ nabla \ mathbf {V} _ {\ beta} \ rangle = \ nabla ^ {2} \ langle \ nabla \ mathbf {V} _ {\ beta} \ rangle - \ nabla \ epsilon _ {\ beta} \ cdot \ nabla \ langle \ mathbf {V} _ {\ beta} \ rangle ^ {\ beta} + {\ frac {1} {\ mathcal {V}}} \ int _ {{\ mathcal {A}} _ {\ beta \ sigma}} {\ textbf {n}} _ {\ beta \ sigma} \ cdot \ nabla {\ tilde {\ mathbf {V}}} _ {\ beta} \ mathrm { d} A}

Vauhdin säilymisen keskiarvo

Tämä on kirjoitettu

{\ displaystyle - \ langle \ nabla p _ {\ beta} \ rangle + \ mu _ {\ beta} \ langle \ nabla \ cdot \ nabla \ mathbf {V} _ {\ beta} \ rangle = 0}

Joko lisäämällä keskimääräiset lausekkeet yllä

{\ displaystyle {\ begin {array} {rcl} 0 & = & - \ epsilon _ {\ beta} \ nabla \ langle p _ {\ beta} \ rangle ^ {\ beta} + \ mu _ {\ beta} \ vasen (\ nabla ^ {2} \ langle \ mathbf {V} _ {\ beta} \ rangle ^ {\ beta} - \ nabla \ epsilon _ {\ beta} \ cdot \ nabla \ langle \ mathbf {V} _ { \ beta} \ rangle ^ {\ beta} \ right) + {\ frac {1} {{\ mathcal {V}} _ {\ beta}}} \ int _ {{\ mathcal {A}} _ {\ beta \ sigma}} {\ textbf {n}} _ {\ beta \ sigma} \ cdot \ left (- {\ tilde {p}} _ {\ beta} {\ mathsf {I}} + \ mu _ {\ beta } \ nabla {\ tilde {V}} _ {\ beta} \ right) \ mathrm {d} A \\ [0.5em] & = & - \ nabla \ langle p _ {\ beta} \ rangle ^ {\ beta } + \ mu _ {\ beta} \ vasen (\ nabla ^ {2} \ langle \ mathbf {V} _ {\ beta} \ rangle ^ {\ beta} + {\ frac {1} {\ epsilon _ {\ beta}}} \ nabla \ epsilon _ {\ beta} \ cdot \ nabla \ langle \ mathbf {V} _ {\ beta} \ rangle ^ {\ beta} + {\ frac {1} {\ epsilon _ {\ beta }}} \ langle \ mathbf {V} _ {\ beta} \ rangle ^ {\ beta} \ nabla ^ {2} \ epsilon ^ {\ beta} \ right) + {\ frac {1} {{\ mathcal { V}} _ {\ beta}}} \ int _ {{\ mathcal {A}} _ {\ beta \ sigma}} {\ textbf {n}} _ {\ beta \ sigma} \ cdot \ left (- { \ tilde {p}} _ {\ beta} {\ mathsf {I}} + \ mu _ {\ beta} \ nabla {\ tilde {V}} _ {\ beta} \ right) \ mathrm {d} A \ end {array}}}

Oletetaan silloin huokoisuuden "hidas" tilavaihtelu

{\ displaystyle {\ frac {1} {\ epsilon _ {\ beta}}} \ nabla \ epsilon _ {\ beta} \ cdot \ nabla \ langle \ mathbf {V} _ {\ beta} \ rangle ^ {\ beta } << \ nabla ^ {2} \ langle \ mathbf {V} _ {\ beta} \ rangle ^ {\ beta} \ ,, \ quad {\ frac {1} {\ epsilon _ {\ beta}}} \ langle \ mathbf {V} _ {\ beta} \ rangle ^ {\ beta} \ nabla ^ {2} \ epsilon ^ {\ beta} << \ nabla ^ {2} \ langle \ mathbf {V} _ {\ beta } \ rangle ^ {\ beta}}

Vauhdin säilyttämistä yksinkertaistetaan

{\ displaystyle - \ nabla \ langle p _ {\ beta} \ rangle ^ {\ beta} + \ mu _ {\ beta} \ nabla ^ {2} \ langle \ mathbf {V} _ {\ beta} \ rangle ^ {\ beta} + {\ frac {1} {{\ mathcal {V}} _ {\ beta}}} \ int _ {{\ mathcal {A}} _ {\ beta \ sigma}} {\ textbf {n }} _ {\ beta \ sigma} \ cdot \ vasemmalle (- {\ tilde {p}} _ {\ beta} {\ mathsf {I}} + \ mu _ {\ beta} \ nabla {\ tilde {V} } _ {\ beta} \ oikea) \ mathrm {d} A = 0}

Yhtälön viimeinen termi on Brinkman-korjaus .

Tämä tensori voidaan ilmaista jaksollisen väliaineen tapauksessa

{\ displaystyle - \ nabla \ langle p _ {\ beta} \ rangle ^ {\ beta} + \ mu _ {\ beta} \ nabla ^ {2} \ langle \ mathbf {V} _ {\ beta} \ rangle ^ {\ beta} - \ mu _ {\ beta} \ epsilon _ {\ beta} {\ mathsf {K}} ^ {- 1} \ cdot \ langle \ mathbf {V} _ {\ beta} \ rangle ^ {\ beta} = 0}

missä on läpäisevyyssensori . ${\ displaystyle {\ mathsf {K}}}$

Esittely

Lisäämällä p: n ja V : n hajotukset liikemäärän säilyttämiseen saamme

{\ displaystyle - \ nabla \ langle {\ tilde {p}} _ {\ beta} \ rangle ^ {\ beta} + \ mu _ {\ beta} \ nabla ^ {2} \ langle {\ tilde {\ mathbf { V}}} _ {\ beta} \ rangle ^ {\ beta} - {\ frac {1} {{\ mathcal {V}} _ {\ beta}}} \ int _ {{\ mathcal {A}} _ {\ beta \ sigma}} {\ textbf {n}} _ {\ beta \ sigma} \ cdot \ left (- {\ tilde {p}} _ {\ beta} {\ mathsf {I}} + \ mu _ {\ beta} \ nabla {\ tilde {V}} _ {\ beta} \ oikea) \ mathrm {d} A = 0}

Pakkaamattomuus on kirjoitettu

{\ displaystyle \ nabla \ cdot {\ tilde {\ mathbf {V}}} _ {\ beta} = 0}

Ja rajaehto

{\ displaystyle {\ tilde {\ mathbf {V}}} _ {\ beta} = - \ mathbf {V} _ {\ beta} \ quad on \; {\ mathcal {A}} _ {\ beta \ sigma} }

Lisäksi oletetaan, että nopeuden vaihtelu on nollakeskiarvo

{\ displaystyle \ langle {\ tilde {\ mathbf {V}}} _ {\ beta} \ rangle ^ {\ beta} = 0}

Koon l i jaksollisuus on kirjoitettu

{\ displaystyle {\ tilde {p}} _ {\ beta} (x_ {i} + l_ {i}) = {\ tilde {p}} _ {\ beta} (x_ {i}) \ ,, \ qquad {\ tilde {\ mathbf {V}}} _ {\ beta} (x_ {i} + l_ {i}) = {\ tilde {\ mathbf {V}}} _ {\ beta} (x_ {i}) }

Annamme toisillemme seuraavat ansatz

{\ displaystyle {\ begin {array} {rcl} {\ tilde {p}} _ {\ beta} & = & \ mu _ {\ beta} \ mathbf {b} _ {\ beta} \ cdot \ langle \ mathbf {V} _ {\ beta} \ rangle ^ {\ beta} \\ [0.5em] {\ tilde {\ mathbf {V}}} _ {\ beta} & = & {\ mathsf {B}} _ {\ beta} \ cdot \ langle \ mathbf {V} _ {\ beta} \ rangle ^ {\ beta} \ end {array}}}

Voimme sitten kirjoittaa vauhdin säilyttämisen muodossa

{\ displaystyle - \ nabla \ langle p _ {\ beta} \ rangle ^ {\ beta} + \ mu _ {\ beta} \ nabla ^ {2} \ langle \ mathbf {V} _ {\ beta} \ rangle ^ {\ beta} + \ mu _ {\ beta} \, \ underbrace {{\ frac {1} {{\ mathcal {V}} _ {\ beta}}} \ int _ {{\ mathcal {A}} _ {\ beta \ sigma}} {\ textbf {n}} _ {\ beta \ sigma} \ cdot \ left (- \ mathbf {b} _ {\ beta} {\ mathsf {I}} + \ mu _ {\ beta} \ nabla {\ mathsf {B}} _ {\ beta} \ right) \ mathrm {d} A} _ {- \ epsilon _ {\ beta} {\ mathsf {K}} ^ {- 1}} \ cdot \ langle \ mathbf {V} _ {\ beta} \ rangle ^ {\ beta} = 0}

Voimme kirjoittaa tämän yhtälön uudestaan muodossa, jota kutsutaan Darcy-Brinkman-yhtälöksi

{\ displaystyle \ langle \ mathbf {V} _ {\ beta} \ rangle = \ epsilon _ {\ beta} \ langle \ mathbf {V} _ {\ beta} \ rangle ^ {\ beta} = - {\ frac { {\ mathsf {K}} _ {\ beta}} {\ mu _ {\ beta}}} \ cdot \ nabla \ langle p _ {\ beta} \ rangle ^ {\ beta} + {\ mathsf {K}} _ {\ beta} \ cdot \ nabla ^ {2} \ langle \ mathbf {V} _ {\ beta} \ rangle ^ {\ beta}}

kanssa

{\ displaystyle {\ mathsf {K}} _ {\ beta} \ cdot \ nabla ^ {2} \ langle \ mathbf {V} _ {\ beta} \ rangle ^ {\ beta} << \ langle \ mathbf {V } _ {\ beta} \ rangle}

Tämä termi voidaan siten jättää huomiotta: päädymme siten Darcyn lain kanssa anisotrooppiseen jaksolliseen väliaineeseen.

Viitteet

CM Marle, " Yksivaiheiset virtaukset huokoisessa väliaineessa ", Revue de l ' Institut français du petroleum , voi. 22, n ° 10,1967, s. 1471 - 1509
(vuonna) TB Anderson ja R. Jackson, " Fluid Mechanical Description of Fluidised Beds " , Industrial & Engineering Chemistry Fundamentals , voi. 6,1967, s. 527 - 538
(in) JC Slattery, " Viskoelastisten nesteiden virtaus huokoisen väliaineen läpi " , AIChE Journal , Voi. 13,1967, s. 1066-1071
(in) S. Whitaker, " levitys ja hajonta Porous Media " , AIChE Journal , Vol. 13,1967, s. 420-427
(en) Stephen Whitaker, The Method of Volume Averaging , Kluwer Academic Publishers ,2010, 471 Sivumäärä ( ISBN 978-3-642-05194-4 , lue verkossa )
(in) WG Grey, " Johdanto yhtälöistä monivaiheiselle kuljetukselle " , Chemical Engineering Science , Voi. 30,1975, s. 229 - 233
(in) HC Brinkman, " Virtaavan nesteen aiheuttaman viskoosivoiman laskeminen oli tiheä partikkelikoko " , Applied Scientific Research , Voi. A1,1949, s. 1-27