Kahden ruumiin ongelma

Kaksi laitoksen ongelma on tärkeä teoreettinen malli mekaniikka, onko klassista tai kvantti, jossa liikkeet kahden elimen rinnastettavissa materiaalia olevia keskinäiseen ( konservatiivinen ) vuorovaikutus tutkitaan , globaali järjestelmä voidaan katsoa olevan eristetty. Tässä artikkelissa lähestytään vain klassisen mekaniikan kahden kehon ongelmaa (katso esimerkiksi artikkelista vetyatomi esimerkkinä kvanttimekaniikasta ) ensin yleisesti houkuttelevan potentiaalin tapauksessa, sitten erittäin tärkeässä erityistapauksessa, jossa nämä kaksi kehoa ovat gravitaatiovaikutuksessa tai Keplerin liikkeessä , joka on tärkeä aihe taivaanmekaniikassa .

Tämän ongelman merkitys tulee ensinnäkin sen täsmälleen integroitavasta luonteesta poiketen ongelmasta, jossa on kolme ja enemmän ruumiita . Kahden ruumiin ongelma, jolla on etukäteen kuusi vapausastetta, voidaan todellakin supistaa ongelman ratkaisemiseen yhdellä elimellä, jolla on vain yksi vapausaste.

Lisäksi saatujen tulosten avulla on mahdollista ottaa huomioon aurinkokunnan planeettojen (heliosentrisessä viitekehyksessä) sekä niiden luonnollisten tai keinotekoisten satelliittien liikeradat ainakin ensimmäisenä likiarvona. Sitten löydetään Keplerin lait , jotka korostuvat analyysillä tähtitieteellisiä havaintoja XVII -  luvulta. Suunniteltu tilanne on siis kaukana puhtaasti akateemisesta. Ensimmäisen ongelman ratkaisun paljasti Newton , joka totesi klassisen mekaniikan perustavan lain: tulos ilmoitetaan hänen Principiansa ehdotuksissa 57-65 .

Tämän artikkelin tarkoituksena on kahden kehon ongelman esittely ja yleinen käsittely esittelemällä Keplerin lait ja yksityiskohtainen tutkimus erityyppisistä mahdollisista reiteistä. Kysymys määrittämiseen elementtien kiertoradalla kuin sekä yhtälöitä Kepler ja Barker ja niiden sovellukset ovat erillisiä artikkeleita (katso artikkelit Keplerin liike , Keplerin yhtälö ja kiertorata elementtejä ).

Suunniteltu tilanne ja luokitukset

Kahden kappaleen ongelma on se, että kahden kappaleen massa m 1 ja m 2 , rinnastetaan materiaalin pistettä M 1 ja M 2 , vastaavasti, vuorovaikutuksessa keskenään. Kohdistamaa voimaa M 1 on M 2 on peräisin houkuttelevan potentiaalin V ( r ) ja on huomattava : koska Newtonin kolmannesta laista (tai periaatteen vastavuoroisen toimet) on selvää, että . F12→{\ displaystyle {\ overrightarrow {F_ {12}}}}F21→=-F12→{\ displaystyle {\ overrightarrow {F_ {21}}} = - {\ overrightarrow {F_ {12}}}}

Koko järjestelmän katsotaan olevan eristetty, se on tutkia liikkeen M 1 ja M 2 suhteessa viitekehykseen ( R ) oletettu Galilealainen , rajamerkin liittyvä tila on peräisin O .

Seuraavat merkintöjä hyväksytään myöhemmin: , ja . r1→=OM1→{\ displaystyle {\ overrightarrow {r_ {1}}} = {\ overrightarrow {OM_ {1}}}}r2→=OM2→{\ displaystyle {\ overrightarrow {r_ {2}}} = {\ overrightarrow {OM_ {2}}}}r→=defr12→=M1M2→=r2→-r1→{\ displaystyle {\ overrightarrow {r}} {\ stackel {\ text {def}} {=}} {\ overrightarrow {r_ {12}}} = {\ overrightarrow {M_ {1} M_ {2}}} = {\ overrightarrow {r_ {2}}} - {\ overrightarrow {r_ {1}}}}

Kunkin kehon ( R ) liikkeen yhtälöt kirjoitetaan sitten käyttämällä dynamiikan perussuhdetta  :

{m1r1→¨=F21→=-F12→m2r2→¨=F12→{\ displaystyle {\ begin {cases} m_ {1} {\ ddot {\ overrightarrow {r_ {1}}}}} = {\ overrightarrow {F_ {21}}} = - {\ overrightarrow {F_ {12}}} \\ m_ {2} {\ ddot {\ overrightarrow {r_ {2}}}} = {\ overrightarrow {F_ {12}}} \ end {cases}}}, (1).

Strategia ongelman ratkaisemiseksi on tällöin seuraava: ensinnäkin tutkia yhden kappaleen liikettä ottamalla käyttöön fiktiivisen hiukkasen käsite  ; sitten tullut alas yksiulotteinen ongelma, joka on helppo ratkaista.

Pelkistyminen kehon ongelmaksi

Se, että järjestelmä on eristetty mahdollistaa erottaa triviaaleja liikettä sen keskustan hitaus kuin elin suhteessa muihin ja itse asiassa palata tutkimuksen liikkeen yhden hiukkasen, nimeltään kuvitteellisia .

Vauhdin säilyttäminen - baryentrinen viitekehys

Kahden liikkeen yhtälön lisääminen antaa välittömästi:

m1r1→¨+m2r2→¨=(m1+m2)RVS→¨=0→{\ displaystyle m_ {1} {\ ddot {\ overrightarrow {r_ {1}}}} + m_ {2} {\ ddot {\ overrightarrow {r_ {2}}}} = \ vasen (m_ {1} + m_ {2} \ oikea) {\ ddot {\ overrightarrow {R_ {C}}}} = {\ overrightarrow {0}}}, jossa järjestelmän massakeskipiste on C ja sijaintivektori .RVS→=OVS→=m1r1→+m2r2→m1+m2{\ displaystyle {\ overrightarrow {R_ {C}}} = {\ overrightarrow {OC}} = {\ frac {m_ {1} {\ overrightarrow {r_ {1}}} + m_ {2} {\ overrightarrow {r_ {2}}}} {m_ {1} + m_ {2}}}}

Näin ollen, ja kuten eristetylle järjestelmälle odotettiin, massakeskipisteen C liike ( R ): ssä on suoraviivainen ja tasainen (tai rajalla, levossa), ja on mahdollista sijoittaa itsensä massakeskipiste ( R c ) (joka on Galilean johtuen sen rungon suoraviivaisesta ja tasaisesta liikkeestä, johon se on kytketty, ( R ) oletetaan olevan Galilean), jota kutsutaan barysentriseksi , jotta voidaan kirjoittaa edelliset liikeyhtälöt.

Fiktiivisen hiukkasen käsitteen käyttöönotto

Poseeraamalla on mahdollista kirjoittaa: r→=defr2→-r1→{\ displaystyle {\ overrightarrow {r}} {\ stackrel {\ text {def}} {=}} {\ overrightarrow {r_ {2}}} - {\ overrightarrow {r_ {1}}}}

{r1→=R→VS-m2m1+m2r→r2→=R→VS+m1m1+m2r→{\ displaystyle {\ begin {cases} {\ overrightarrow {r_ {1}}} = {\ overrightarrow {R}} _ {C} - {\ frac {m_ {2}} {m_ {1} + m_ {2 }}} {{overrightarrow {r}} \\ {\ overrightarrow {r_ {2}}} = {\ overrightarrow {R}} _ {C} + {\ frac {m_ {1}} {m_ {1} + m_ {2}}} {\ ylisuuri {r}} \ loppu {tapaukset}}}, (2).

Riittää, kun otetaan huomioon kahden liikeyhtälön välinen ero (1) ja otetaan huomioon baryentrisen viitekehyksen galilealainen luonne , jotta saadaan: R→vs.¨=0→{\ displaystyle {\ ddot {{\ vec {R}} _ {c}}} = {\ vec {0}}}

r→¨=(1m1+1m2)F→12=(m1+m2m1m2)F12→{\ displaystyle {\ ddot {\ vec {r}}} = \ vasen ({\ frac {1} {m_ {1}}} + {\ frac {1} {m_ {2}}} \ oikea) {\ vec {F}} _ {12} = \ vasen ({\ frac {m_ {1} + m_ {2}} {m_ {1} m_ {2}}} \ oikea) {\ ylisuuri {F_ {12}} }}.

Tämä yhtälö on itse asiassa yhden kappaleen liike, jolla on kolme vapausastetta:

μr→¨=F→{\ displaystyle \ mu {\ ddot {\ overrightarrow {r}}} = {\ overrightarrow {F}}},

kanssa , redusoitu massa järjestelmän, ja . μ=defm1m2m1+m2{\ displaystyle \ mu {\ stackrel {\ text {def}} {=}} {\ frac {m_ {1} m_ {2}} {m_ {1} + m_ {2}}}}F→=F12→{\ displaystyle {\ overrightarrow {F}} = {\ overrightarrow {F_ {12}}}}

Kun barycentric viitekehys ongelma on siis alennetaan liikkeen ns kuvitteellisia hiukkanen , jonka massa on μ ja säde-vektori , lentoradat elinten M 1 ja M 2 on pääteltävissä homothety, mukaan edellisen kaavat päällä . r→{\ displaystyle {\ overrightarrow {r}}}r→1,2{\ displaystyle {\ vec {r}} _ {1,2}}

On huomattava, että erityisessä tärkeässä tapauksessa, jossa toisen ruumiin massa on paljon suurempi kuin toisen (keskirunko, yleensä tähti tai "iso" planeetta), esimerkiksi jos järjestelmän massakeskus on käytännössä sulautettiin tämän keskeisen elimen, ja pienempi paino on käytännössä sama kuin toisen kappaleen ,. Huomaa kuitenkin, että kuun liikkeelle , jolla aurinkokunnassa on suurin satelliitin suhteellinen massa planeetalleen (1/81 Mt), tämä likiarvo on suhteellisen epätarkka. m1≫m2{\ displaystyle m_ {1} \ gg m_ {2}}μ≃m2{\ displaystyle \ mu \ simeq m_ {2}}

Kulmamomentin pääintegraali - liikeradan tasaisuus - Alueiden laki

Erittäin tärkeässä tapauksessa keskitetyn voiman, olemme kanssa , lause on liikemäärämomentin keskellä voiman huomattava O on kirjoitettu: F→=F(r)er→{\ displaystyle {\ overrightarrow {F}} = F (r) {\ overrightarrow {e_ {r}}}}er→=defr→r{\ displaystyle {\ overrightarrow {e_ {r}}} {\ stackrel {\ text {def}} {=}} {\ dfrac {\ overrightarrow {r}} {r}}}

L→˙=r→×F→=0→{\ displaystyle {\ dot {\ overrightarrow {L}}} = {\ overrightarrow {r}} \ kertaa {\ overrightarrow {F}} = {\ overrightarrow {0}}},

mikä merkitsee . L→=r→×(μr→˙)=vs.te→{\ displaystyle {\ overrightarrow {L}} = {\ overrightarrow {r}} \ kertaa \ vasen (\ mu {\ dot {\ overrightarrow {r}}} \ right) = {\ overrightarrow {\ mathrm {cte}} }}

Fyysisesti tämä edellyttää, että kuvitteellisen hiukkasen sijaintivektori ja nopeusvektori ovat aina kohtisuorassa vakiovektoriin nähden: M : n lentorata on siis tasainen , ongelma on siis kahdella vapausasteella.

Tasossa liikeradan, määritellään, että syntyy ja se on järkevä sijoittaa itsensä lieriömäis-polaarikoordinaatit akselin suuntaan Oz on , jossa θ välinen kulma ja se tulee: r→(t=0)=r→0{\ displaystyle {\ overrightarrow {r}} \ left (t = 0 \ right) = {\ overrightarrow {r}} _ {0}}r→˙(t=0)=v→0{\ displaystyle {\ dot {\ overrightarrow {r}}} \ left (t = 0 \ right) = {\ overrightarrow {v}} _ {0}}L→=Lez→{\ displaystyle {\ overrightarrow {L}} = L {\ overrightarrow {e_ {z}}}}r→0{\ displaystyle {\ overrightarrow {r}} _ {0}}r→{\ displaystyle {\ overrightarrow {r}}}

L→=(rer→)×μ(r˙er→+(rθ˙)eθ→)=μr2θ˙ez→{\ displaystyle {\ overrightarrow {L}} = \ left (r {\ overrightarrow {e_ {r}}} \ right) \ times \ mu \ left ({\ dot {r}} {\ overrightarrow {e_ {r} }} + \ vasen (r {\ dot {\ theta}} \ oikea) {\ overrightarrow {e _ {\ theta}}} \ oikea) = \ mu r ^ {2} {\ dot {\ theta}} { \ overrightarrow {e_ {z}}}},

tuloksena:

μr2θ˙=L=vs.te{\ displaystyle \ mu r ^ {2} {\ dot {\ theta}} = L = \ mathrm {cte}}(3).

Nyt sädevektorin pyyhkäisemä ala-alue d t: n perusteella saadaan: r→{\ displaystyle {\ overrightarrow {r}}}

dAT=12r2dθ{\ displaystyle \ mathrm {d} {\ mathcal {A}} = {\ dfrac {1} {2}} r ^ {2} \ mathrm {d} \ theta}.

Areolaarinen nopeus on siis vakio kuvitteellisia hiukkasten (se on sama, jonka homothety todellista elinten):

AT˙=dATdt=12VS=vs.te{\ displaystyle {\ dot {\ mathcal {A}}} = {\ frac {\ mathrm {d} {\ mathcal {A}}} {\ mathrm {d} t}} = {\ frac {1} {2 }} C = \ mathrm {cte}},

kanssa , alue vakiona . VS=defLμ{\ displaystyle C {\ stackel {\ text {def}} {=}} {\ frac {L} {\ mu}}}

Seurauksena on, että kunkin hiukkasen vektorisäde pyyhkäisee yhtäläiset alueet yhtä suurina aikoina. Tämä ominaisuus on itse asiassa voimassa mihin tahansa keskusvoimalla tapahtuvaan liikkeeseen. C: n lausekkeesta on helppo nähdä, että kuvitteellisen hiukkasen kulmanopeus on kääntäen verrannollinen etäisyyteen r ja on siten suurin, kun jälkimmäinen on pienin , ts . Periastronin kohdalla Keplerin liikkeessä - vrt. infra.

Huomautuksia:

• Yhtenäinen pyöreä liike on yksinkertainen tapa, jolla liike noudattaa alueiden lakia;
• L: n lauseke tarkoittaa, että hetkellinen kulmanopeus ei koskaan muuta merkkiä liikeradalla: tavallaan fiktiivinen partikkeli ja siten kaksi "todellista" runkoa "kääntyvät" aina "samaan suuntaan" polkuillaan;θ˙{\ displaystyle {\ piste {\ theta}}}
• Jos L = 0, liike on suoraviivainen: tämä erityistapaus (kutsutaan degeneraatiksi) suljetaan pois myöhemmin.

Energiatehokkaan potentiaalin ensisijainen osa

Liike on konservatiivinen, koska voima saadaan potentiaalienergiasta V ( r ), kokonaisenergia on liikkeen ensimmäinen integraali:

H=12μr→˙2+V(r)=vs.te{\ displaystyle H = {\ frac {1} {2}} \ mu {\ dot {\ overrightarrow {r}}} ^ {2} + V (r) = \ mathrm {cte}}, tai tai käyttämällä kulmamomentin L ilmaisua  :r→˙2=r˙2+r2θ˙2{\ displaystyle {\ dot {\ overrightarrow {r}}} ^ {2} = {\ dot {r}} ^ {2} + r ^ {2} {\ dot {\ theta}} ^ {2}} H=12μr˙2+Ueff(r){\ displaystyle H = {\ frac {1} {2}} \ mu {\ dot {r}} ^ {2} + U _ {\ text {eff}} \ left (r \ right)}, (4),

kanssa tehokkaan potentiaalia . Ueff(r)=defL22μr2+V(r){\ displaystyle U _ {\ text {eff}} \ left (r \ right) {\ stackel {\ text {def}} {=}} {\ frac {L ^ {2}} {2 \ mu r ^ { 2}}} + V (r)}

Lopuksi ongelma tulee yksittäisen kehon liikkeen tutkimiseen yhdellä vapausasteella r . Tämä pätee aina kahden kehon ongelman tapauksessa vuorovaikutuspotentiaalin luonteesta riippumatta.

Analyyttinen resoluutio

Mukaan (4), on mahdollista ilmaista säteen nopeus , siitä seuraa, että: . r˙{\ displaystyle {\ piste {r}}}r˙=drdt=2μ(H-V(r))-L2μ2r2{\ displaystyle {\ dot {r}} = {\ frac {\ mathrm {d} r} {\ mathrm {d} t}} = {\ sqrt {{\ frac {2} {\ mu}} \ vasen ( HV (r) \ oikea) - {\ frac {L ^ {2}} {\ mu ^ {2} r ^ {2}}}}}}}

Sitten on mahdollista erottaa muuttujat ja integroida kahden hetken t 0 ja t , jotka vastaavat radiaaliasemia r 0 ja r , välillä saadakseen:

t-t0=∫r0rdr′2μ(H-V(r′))-L2μ2r′2{\ displaystyle t-t_ {0} = \ int _ {r_ {0}} ^ {r} {\ frac {\ mathrm {d} r '} {\ sqrt {{\ frac {2} {\ mu}} \ vasen (HV (r ') \ oikea) - {\ frac {L ^ {2}} {\ mu ^ {2} r' ^ {2}}}}}}}, (4bis).

Tämä vastaa implisiittisesti tunneyhtälöä r ( t ).

Kun otetaan huomioon (4), on sitten mahdollista saada samanlainen lauseke θ  :

θ-θ0=∫r0rLr′2dr′2μ(H-V(r′))-L2r′2{\ displaystyle \ theta - \ theta _ {0} = \ int _ {r_ {0}} ^ {r} {\ frac {{\ frac {L} {r '^ {2}}} \ mathrm {d} r '} {\ sqrt {2 \ mu \ vasen (HV (r') \ oikea) - {\ frac {L ^ {2}} {r '^ {2}}}}}}}}, (4 ter).

Näitä kahta ilmaisua on käytännössä vaikea käyttää. Ne mahdollistavat kuitenkin laadullisen keskustelun mahdollisten liikkeiden luonteesta.

Laadullinen tutkimus mahdollisista liikkeistä

Ilmaisussa termi aina positiivinen vastaa keskipakoista estettä . Oletettu potentiaali V ( r ): Ueff(r){\ displaystyle U _ {\ text {eff}} \ vasen (r \ oikea)}L22μr2{\ displaystyle {\ frac {L ^ {2}} {2 \ mu r ^ {2}}}}

• houkutteleva  : Siksi V ( r ) kasvaa monotonisesti kaikille r: lle  ;
• säännöllinen origossa: toisin sanoen , ja siksi termiä 1 / r 2 dominoi kun .limr→0+r2|V(r)|=0{\ displaystyle \ lim _ {r \ - 0 ^ {+}} r ^ {2} \ vasen | V (r) \ oikea | = 0}r→0+{\ displaystyle r \ - 0 ^ {+}}

Vaikka se ei ole välttämätöntä jälkimmäisessä, myös V ( r ) oletetaan rajoittuneen äärettömyyteen joko harkitusti valittaessa potentiaalien alkuperää . Sopimuksella V ( r ) <0. limr→∞V(r)=0+{\ displaystyle \ lim _ {r \ to \ infty} V (r) = 0 ^ {+}}

Näiden ehtojen, voimassa tavalliset fysikaaliset mahdollisuudet, tehokas potentiaalinen esittelee ainutlaatuinen absoluuttinen minimi, huomattava varten siten, että , ja sen vuoksi on mahdollinen altaan (vertaa kuvio vastapäätä, jossa on Newtonin potentiaali). -Umin<0{\ displaystyle -U _ {\ min} <0}r=rm{\ displaystyle r = r_ {m}}dUeffdr|r=rm=0{\ displaystyle \ left. {\ frac {\ mathrm {d} U _ {\ text {eff}}} {\ mathrm {d} r}} \ right | _ {r = r_ {m}} = 0}

Lisäksi H  : n lausekkeen mukaan r : n arvojen annettiin olla samanlaisia . H-Ueff(r)=12μr˙2⩾0{\ displaystyle H-U _ {\ text {eff}} (r) = {\ frac {1} {2}} \ mu {\ dot {r}} ^ {2} \ geqslant 0}Ueff(r)⩽H{\ displaystyle U _ {\ text {eff}} (r) \ leqslant H}

Siksi on mahdollista tarkastella laadullisesti seuraavia tapauksia ( L ei ole nolla):

• Kokonaisenergia H > 0: alkaen , kun tämä ehto täyttyy tahansa arvon kanssa r min Vähimmäisturvaetäisyyttä siten, että . Kuvitteellinen hiukkanen voi siis mennä äärettömään positiivinen säteittäinen nopeus, yhtä kuin .Ueff(r)⟶0-{\ displaystyle U _ {\ text {eff}} \ vasen (r \ oikea) \ longrightarrow 0 ^ {-}}r→∞{\ displaystyle r \ to \ infty}r⩾rmin{\ displaystyle r \ geqslant r _ {\ min}}Ueff(rmin)=H{\ displaystyle U _ {\ text {eff}} \ vasen (r _ {\ min} \ oikea) = H}r˙mklox=2Hμ{\ displaystyle {\ dot {r}} _ {max} = {\ sqrt {\ dfrac {2H} {\ mu}}}}

• Kokonaisenergia H = 0: rajoitetaan silloin, kun hiukkanen voi mennä äärettömään, mutta nolla säteen nopeus, mukaan edellisessä kaavassa, Vähimmäisturvaetäisyyttä on sellainen, että , ts .Ueff(rmin)=0{\ displaystyle U _ {\ text {eff}} \ vasen (r _ {\ min} \ oikea) = 0}V(rmin)=-L22μrmiei2{\ displaystyle V \ left (r _ {\ min} \ right) = - {\ frac {L ^ {2}} {2 \ mu r_ {min} ^ {2}}}}

• Kokonaisenergia  : tässä tapauksessa hiukkanen on rajattu tarkalle avaruusalueelle kahden r: n arvon , kuten (pysäytyspisteet), väliin. Säteissuuntainen nopeus peruutetaan jokaisessa näistä pisteistä, mutta näin ei ole hetkellisen kulmanopeuden kanssa (vrt. H: n ilmaisu ja huomautukset siitä).0>H>-Umin{\ displaystyle 0> H> -U _ {\ min}}Ueff(rmin,enint)=H<0{\ displaystyle U _ {\ text {eff}} \ vasen (r _ {\ min, \ max} \ oikea) = H <0}

Koska synnytyksen liikkeen kesto Δ t ja r vaihtelevat r min ja r max voidaan helposti saada käyttämällä kiinteä ilmaisu antaa t . Koska Hamiltonin aikavaihtelu tarkoittaa, että tämä kesto on sama siirtyäkseen r max: sta r min: iin , säteittäinen liike on siten jaksollinen jakson T kanssa : T=2∫rminrenintdr2μ(H-V(r))-L2μ2r2{\ displaystyle T = 2 \ int _ {r _ {\ min}} ^ {r _ {\ max}} {\ frac {\ mathrm {d} r} {\ sqrt {{\ frac {2} {\ mu }} \ vasen (HV (r) \ oikea) - {\ frac {L ^ {2}} {\ mu ^ {2} r ^ {2}}}}}}} ja radiaalijaksolla, jossa kulma θ vaihtelee suuruuden Δ θ perusteella , joka saadaan θ  : n integraalilausekkeella : Δθ=2∫rminrenintLr2dr2μ(H-V(r))-L2r2{\ displaystyle \ Delta \ theta = 2 \ int _ {r _ {\ text {min}}} ^ {r _ {\ text {max}}} {\ frac {{\ frac {L} {r ^ {2 }}} \ mathrm {d} r} {\ sqrt {2 \ mu \ left (HV (r) \ right) - {\ frac {L ^ {2}} {r ^ {2}}}}}}}. On kuitenkin tärkeää korostaa, että liikkeen rajoittaminen ei tarkoita millään tavalla, että matkaviestimen liikerata on suljettu käyrä . Tätä varten olisi todella tarpeen vain , jossa m ja n kokonaislukuja. Tässä tapauksessa ja vain tässä tapauksessa vektorisäde palaa alkuperäiseen arvoonsa n "säteittäisen" jakson T jälkeen , koska se on sitten "kiertynyt" 2 mp  : nT on itse asiassa liikkeen ja toiminnon. θ ( t ). Tällainen tilanne vastaa säteen ja kulma-aikoja, jotka ovat teismitallisia , ja se on välttämätön ja riittävä ehto sille, rajoitetun liikkeen tapahtua mukaan suljetun käyrän. Tämä ehto täyttyy vain Newtonin potentiaalilla nopeudella 1 / r ja isotrooppisella spatiaalisella harmonisella potentiaalilla V ( r ) = kr 2 (tätä viimeistä tapausta ei käsitellä tarkemmin): tämä tulos muodostaa Bertrandin lauseen .Δθ=2πmei{\ displaystyle \ Delta \ theta = {\ frac {2 \ pi m} {n}}}r→{\ displaystyle {\ overrightarrow {r}}}

• Kokonaisenergia  : tämä on rajatapa, jossa r: n ainoa sallittu arvo on r m , ja tässä tapauksessa lentorata on tämän säteen ympyrä .H=-Umin<0{\ displaystyle H = -U _ {\ min} <0}

• Kokonaisenergia  : nämä r- arvot ovat kiellettyjä eivätkä vastaa mitään fyysistä.H<-Umin{\ displaystyle H <-U _ {\ min}}

Seuraavassa osoitetaan, että kukin näistä tapauksista vastaa Keplerin liikkeen erityisiä liikeratojen muotoja, nimittäin hyperbolaa, parabolaa, ellipsiä ja ympyrää. Edellinen keskustelu voidaan tiivistää graafisesti vastakkaisessa kuvassa.

Liikkeen rappeutuminen

Edellinen tutkimus tehtiin olettaen . Jos L = 0, meillä on yksinkertaisesti milloin tahansa, ja liike on puhtaasti säteittäinen  : sen sanotaan rappeutuneen. Edellinen keskustelu on yksinkertaistettu, edellinen ehto (4bis) supistuu ja varmistetaan kaikissa tapauksissa, jos . Muuten on helppo varmistaa, että hiukkanen "putoaa" voimakeskipisteeseen. L≠0{\ displaystyle L \ neq 0}θ˙=0{\ displaystyle {\ dot {\ theta}} = 0}V(r)⩽H{\ displaystyle V (r) \ leqslant H}H⩾0{\ displaystyle H \ geqslant 0}

Kepleriläisen liikkeen tapaus

Keplerin liike vastaa tapausta, jossa nämä kaksi elintä ovat gravitaatiovuorovaikutuksessa, toisin sanoen vuorovaikutuspotentiaalin ja siten järjestelmän kokonaismassan kanssa. Kaikki tapahtuu sitten ikään kuin fiktiivinen partikkeli M olisi altistunut kehon gravitaatiovuorovaikutukselle, johon vaikuttaa sädevektorin alkupäähän O sijoitetun järjestelmän kokonaismassa . Jos edelliset yleiset tulokset, jotka pätevät lisäksi konservatiivisen keskuspotentiaalin V ( r ) mihin tahansa liikkeeseen , antaisivat jo meille mahdollisuuden määrittää r = r ( t ) tuntikaava , Newtonin potentiaalilla on pääintegraali, Runge- Lenz-vektori, jonka avulla saadaan yksinkertainen tapa lentoradan yhtälö. V(r)=-Gm1m2r{\ displaystyle V (r) = - {\ frac {Gm_ {1} m_ {2}} {r}}}F→=-Gm1m2r2er→=-GμMTr2er→{\ displaystyle {\ overrightarrow {F}} = - G {\ frac {m_ {1} m_ {2}} {r ^ {2}}} {\ overrightarrow {e_ {r}}} = - G {\ frac {\ mu M_ {T}} {r ^ {2}}} {\ overrightarrow {e_ {r}}}}MT=defm1+m2{\ displaystyle M_ {T} {\ stackel {\ text {def}} {=}} m_ {1} + m_ {2}}

Runge-Lenzin invariantti - lentoradan yhtälöt

Ensimmäisen ylimääräisen integraalin olemassaolo

Newtonin potentiaalille on tunnusomaista erityisen muuttujan, Runge-Lenzin invariantin , olemassaolo, jonka antaa: 1/r{\ displaystyle 1 / r}

e→=(r→˙×L→)GMTμ-er→{\ displaystyle {\ overrightarrow {e}} = {\ frac {\ left ({\ dot {\ overrightarrow {r}}} \ kertaa {\ overrightarrow {L}} \ right)} {GM_ {T} \ mu} } - {\ ylisuuri {e_ {r}}}}, (5) Esittely r→¨×L→=d(r→˙×L→)dt=r→¨×[r→×(μr→˙)]{\ displaystyle {\ ddot {\ overrightarrow {r}}} \ kertaa {\ overrightarrow {L}} = {\ frac {d \ left ({\ dot {\ overrightarrow {r}}}} kertaa {\ overrightarrow {L }} \ oikea)} {\ mathrm {d} t}} = {\ ddot {\ overrightarrow {r}}} \ kertaa \ vasen [{\ overrightarrow {r}} \ kertaa \ left (\ mu {\ dot { \ overrightarrow {r}}} \ right) \ right]}, jossa se on otettu huomioon , mikä antaa:L→=vs.te→{\ displaystyle {\ overrightarrow {L}} = {\ overrightarrow {\ mathrm {cte}}}} d(r→˙×L→)dt=-GMTer→r2×(μr2θ˙ez→)=GMTμθ˙eθ→{\ displaystyle {\ frac {d \ left ({\ dot {\ overrightarrow {r}}} \ times {\ overrightarrow {L}} \ right)} {\ mathrm {d} t}} = - {\ frac { GM_ {T} {\ overrightarrow {e_ {r}}}} {r ^ {2}}} \ kertaa \ vasen (\ mu r ^ {2} {\ dot {\ theta}} {\ overrightarrow {e_ {z }}} \ oikea) = GM_ {T} \ mu {\ dot {\ theta}} {\ ylisuuri {e _ {\ theta}}}}, jossa liikeradan tasaisuus on otettu huomioon, mutta seuraavat seikat seuraavat välittömästi:θ˙eθ→=er→˙{\ displaystyle {\ dot {\ theta}} {\ overrightarrow {e _ {\ theta}}} = {\ dot {\ overrightarrow {e_ {r}}}}} ddt((r→˙×L→)GMTμ-er→)=0→{\ displaystyle {\ frac {d} {\ mathrm {d} t}} \ vasen ({\ frac {\ left ({\ dot {\ overrightarrow {r}}} \ kertaa {\ overrightarrow {L}} \ right )} {GM_ {T} \ mu}} - {\ overrightarrow {e_ {r}}} \ right) = {\ overrightarrow {0}}}, joten tulos. Kuvitteellisen hiukkasen liikeradan yhtälö

On selvää, että näin ollen sisältyy liikkeen tason. Näin ollen on mahdollista ottaa koska polaarikulman kulma w välillä ja , jossa tietenkin , ja toteamalla e normi on helppo tarkistaa: L→⋅e→=0{\ displaystyle {\ overrightarrow {L}} \ cdot {\ overrightarrow {e}} = 0}e→{\ displaystyle {\ overrightarrow {e}}}e→{\ displaystyle {\ overrightarrow {e}}}r→{\ displaystyle {\ overrightarrow {r}}}θ˙=w˙{\ displaystyle {\ dot {\ theta}} = {\ dot {w}}}e→{\ displaystyle {\ overrightarrow {e}}}

r→⋅e→=recos⁡w=r→⋅(r→˙×L→)GMTμ-r{\ displaystyle {\ overrightarrow {r}} \ cdot {\ overrightarrow {e}} = re \ cos {w} = {\ frac {{{\ overrightarrow {r}} \ cdot \ left ({\ dot {\ overrightarrow {r}}} kertaa {\ ylisuuri {L}} \ oikea)} {GM_ {T} \ mu}} - r}tai ottamalla huomioon henkilöllisyys r→⋅(r→˙×L→)=L→⋅(r→×r→˙)=L2μ{\ displaystyle {\ overrightarrow {r}} \ cdot \ left ({\ dot {\ overrightarrow {r}}} \ kertaa {\ overrightarrow {L}} \ right) = {\ overrightarrow {L}} \ cdot \ left ({\ overrightarrow {r}} \ kertaa {\ dot {\ overrightarrow {r}}} \ right) = {\ frac {L ^ {2}} {\ mu}}} : r(1+ecos⁡w)=s{\ displaystyle r \ left (1 + e \ cos {w} \ right) = p}, kanssa .s=defL2GMTμ2{\ displaystyle p {\ stackrel {\ text {def}} {=}} {\ frac {L ^ {2}} {GM_ {T} \ mu ^ {2}}}}

Fyysisesti p = r m , r : n arvo, jolle U eff ( r ) on minimaalinen. Itse asiassa siitä johtuen se johtuu helposti joko r m = p . Ueff(r)=L22μr2-GMTμr{\ displaystyle U _ {\ text {eff}} (r) = {\ frac {L ^ {2}} {2 \ mu r ^ {2}}} - {\ frac {GM_ {T} \ mu} { r}}}L2μrm=GMTμ{\ displaystyle {\ frac {L ^ {2}} {\ mu r_ {m}}} = GM_ {T} \ mu}

Saadun liikeradan yhtälö on siis epäkeskisyyden e ja parametrin p kartiomainen  :

r=s(1+ecos⁡w){\ displaystyle r = {\ frac {p} {\ vasen (1 + e \ cos {w} \ oikea)}}}, (6),

jonka voimakeskus on yksi painopisteistä. Siksi vektori on suunnattu kohti vähimmäisetäisyyden (tai periapiksen ) pistettä , jonka etäisyyttä merkitään q: llä , joka vastaa w = 0. Tässä kohdassa kiertoradan kulmanopeus on suurin. Kulmaa w kutsutaan astronomian todelliseksi poikkeamaksi . e→{\ displaystyle {\ overrightarrow {e}}}q=s/(1+e){\ displaystyle q = p / \ vasen (1 + e \ oikea)}w0˙=θ0˙{\ displaystyle {\ dot {w_ {0}}} = {\ dot {\ theta _ {0}}}}

Homoteettisesti kukin todellinen runko kuvaa barysentrisessä viitekehyksessä kartion, jonka massakeskus on yksi polttopisteistä. E- arvo määrää kartion luonteen:

• Jos e > 1, polku on hyperboli  : tässä tapauksessa taivaankappaleet eivät ole yhteydessä toisiinsa ja voivat mennä äärettömyyteen;

• Jos e = 1, liikerata on paraboli  ;

• Jos 0 < e <1, polku on ellipsi . Tämä pätee planeetoihin ja suurimpaan osaan muita aurinkokunnan kappaleita, joissa lisäksi massakeskus sekoitetaan käytännössä auringon asentoon, mikä tekee mahdolliseksi löytää Keplerin ensimmäinen laki (1609): “Au Auringon ympärillä liikkumisensa aikana planeetat kuvaavat ellipsejä, joissa aurinko on yksi painopisteistä ”. Toinen laki (myös 1609) seuraa suoraan alueen nopeuden pysyvyydestä, ja siinä on alueiden lain nimi: "Auringon ja planeetan yhdistävä sädevektori pyyhkii yhtä suuret alueet yhtä suurina aikoina".

• Jos e = 0, polku on pyöreä.

Huomautus Newtonin kentän erityismerkistä

Suljettujen reittien saaminen Newtonin kentille on huomattavaa ja johtuu itse asiassa tietystä symmetriasta. Noetherin lauseen mukaan säilyttämislait liittyvätkin ongelman erityisen symmetrian olemassaoloon.

Siten kahden kehon globaalin järjestelmän translaatioinvarianssi (joka liittyy järjestelmän oletetusti eristettyyn luonteeseen) johtaa globaalin järjestelmän impulssin säilymiseen, kun taas keskuskentän rotaatio-invariance (isotropia) johtaa siihen, että kulmamomentti ja muuttumattomuus muuntamalla aika (mikä edellyttää "kitkan" puuttumista) kokonaisenergian säilymiseen. Näiden ensimmäisten integraalien olemassaolo antaa mahdollisuuden siirtyä peräkkäin välillä 6-3, sitten 2 ja lopulta jonkin verran vapautta. Jopa rajallisen liikkeen suhteen näillä kahdella kappaleella ei ole syytä kuvata suljettuja käyriä, ja siihen johtaa vain lisäsymmetria, joka johtaa kentän tietyn ensimmäisen integraalin 1 / r 2: ssa , Runge- Lenz-vektori (tai vastaavasti epäkeskovektori).

Edeltävistä seikoista on selvää, että liikeradan yhtälö saadaan yksinkertaisesti projisoimalla säde-vektori tälle erityiselle vakiovektorille, joka määrittelee tietyn avaruuden suunnan, käytännössä kartion akselin. Tämän tyyppinen symmetria voidaan kuitenkin tulkita oikein vain neljässä ulottuvuudessa, vrt. tietty kohde .

Kvanttimekaniikassa tämä havaittavissa oleva lisä löytyy vetyatomin tutkimuksesta, joka vastaa kahden kvanttikappaleen ongelmaa, ja tämä johtaa elektronin energiatasojen "vahingossa tapahtuvaan" rappeutumiseen. kiertomomenttiin liittyvä kiertoradan kvanttiluku l . Tässäkin tapauksessa Coulomb-kentälle ominainen ja vain 4 ulottuvuudessa tulkittava lisäsymmetria selittää tämän ilmiön.

Onttoon nämä näkökohdat osoittavat, että jos muiden taivaankappaleiden aiheuttamat häiriöt otetaan huomioon, potentiaalinen kokenut potentiaali ei enää ole 1 / r 2: ssa eikä Runge-Lenz-vektori ole enää tiukasti liike. Reitit eivät enää ole tiukasti kartioleikkauksia, suljettuja käyriä (0 < e <1). Tätä todellisuudessa havaitaan elliptisillä kiertoradoilla, jotka "pyörivät" avaruudessa hitaasti, ilmiö perihelionin etenemisestä , jota tulkitaan tarkasti yleisen suhteellisuusteorian puitteissa .

Suhde epäkeskisyyden ja liikkeen tärkeimpien integraalien välillä

Kiinteässä avaruuskehyksessä Oxyz, joka on kytketty ( R c ): een, kartiomaisen akselin Ox , joka on suunnattu vähimmäisetäisyyden pisteeseen yksikkövektorin fokusointiin , Oz kulmamomentin suuntaan , samoin kuin periastronissa ja r = q , energian ensimmäinen integraali voidaan ilmaista tämän vähimmäisetäisyyden funktiona, se tulee: ex→{\ displaystyle {\ overrightarrow {e_ {x}}}}L→{\ displaystyle {\ overrightarrow {L}}}r˙=0{\ displaystyle {\ piste {r}} = 0}

H=L22μq2-GMTμq{\ displaystyle H = {\ frac {L ^ {2}} {2 \ mu q ^ {2}}} - {\ frac {GM_ {T} \ mu} {q}}},

mikä merkitsee . L2=2μq2H+2GMTμ2q{\ displaystyle L ^ {2} = 2 \ mu q ^ {2} H + 2GM_ {T} \ mu ^ {2} q}

Samoin on mahdollista ilmaista epäkeskovektori yksinkertaisella tavalla:

e→=(L2GMTμ2q-1)ex→{\ displaystyle {\ overrightarrow {e}} = \ vasen ({\ frac {L ^ {2}} {GM_ {T} \ mu ^ {2} q}} - 1 \ oikea) {\ overrightarrow {e_ {x }}}}. Esittely

e→=(qθ0˙ey→)×(Lez→)GMTμ-ex→=(rmieiθ0˙LGMTμ-1)ex→{\ displaystyle {\ overrightarrow {e}} = {\ frac {\ left (q {\ dot {\ theta _ {0}}} {\ overrightarrow {e_ {y}}} \ right) \ kertaa \ vasen (L {\ overrightarrow {e_ {z}}} \ right)} {GM_ {T} \ mu}} - {\ overrightarrow {e_ {x}}} = \ left ({\ frac {r_ {min} {\ dot { \ theta _ {0}}} L} {GM_ {T} \ mu}} - 1 \ oikea) {\ overrightarrow {e_ {x}}}}tai siitä lähtien , siis tulos. qθ0˙=Lμq{\ displaystyle q {\ dot {\ theta _ {0}}} = {\ frac {L} {\ mu q}}}

Korvaamalla tällä ilmaisulla yksi saatu L 2 , ilmentyminen epäkeskisyys kartiomainen laitetaan muodossa:

e=1+2qHGMTμ{\ displaystyle e = 1 + {\ frac {2qH} {GM_ {T} \ mu}}}.

Sitten on mahdollista eliminoida minimietäisyys q annetussa lausekkeessa ja saada yhteys epäkeskisyyden e ja kahden ensimmäisen integraalin H ja L välille . Se tulee korvaamaan edellinen eksentrisyyden ilmaisu: q=s1+e=L2G2MT2μ3(1+e){\ displaystyle q = {\ frac {p} {1 + e}} = {\ frac {L ^ {2}} {G ^ {2} M_ {T} ^ {2} \ mu ^ {3} (1 + e)}}}

(e+1)(e-1)=2L2HG2MT2μ3{\ displaystyle (e + 1) (e-1) = {\ frac {2L ^ {2} H} {G ^ {2} M_ {T} ^ {2} \ mu ^ {3}}}}Tai lopulta: .e=1+2L2HG2MT2μ3{\ displaystyle e = {\ sqrt {1 + {\ frac {2L ^ {2} H} {G ^ {2} M_ {T} ^ {2} \ mu ^ {3}}}}}}

Näillä kahdella viimeisellä ilmaisulla on tietysti fyysinen merkitys vain , jos ja ne mahdollistavat yllä olevien tapausten löytämisen: e⩾0{\ displaystyle e \ geqslant 0}

• Tapauksessa hyperbolisen lentoradan: e > 1, joka merkitsee sitä, H > 0, kun se on ollut sanoi, kuvitteellinen mobiili voi mennä äärettömään, jossa on puhtaasti ei-nolla säteen nopeus, annetaan  ;r˙mklox=2Hμ{\ displaystyle {\ dot {r}} _ {max} = {\ sqrt {\ dfrac {2H} {\ mu}}}}

• Parabolisen liikeradan tapaus: e = 1 merkitsee H = 0, jälleen mobiili voi mennä äärettömään nollanopeudella.

• Elliptisen liikeradan tapaus: 0 < e <1 tarkoittaa, että meillä on .-GMTμ2q<H<0{\ displaystyle - {\ frac {GM_ {T} \ mu} {2q}} <H <0}

• Pyöreän radan tapaus: e = 0 .H=-GMTμ2q=-G2MT2μ32L2{\ displaystyle H = - {\ frac {GM_ {T} \ mu} {2q}} = - {\ frac {G ^ {2} M_ {T} ^ {2} \ mu ^ {3}} {2L ^ {2}}}}

Huomaa: kiertoradalla olevan avaruusaluksen, joka kykenee muuttamaan kineettistä energiaansa ja siten H: tä ja L: tä , edellinen e- lauseke osoittaa, että korjaavan impulssin oikein "valitsemisella" on mahdollista muuttaa epäkeskisyyden arvoa e radan: tätä käytetään yleisesti satelliittien viemiseen haluttuille kiertoradoille käyttämällä sopivia " siirtoratoja ". On jopa mahdollista välttää maapallon vetovoima, esimerkiksi planeettojen välisten koettimien kohdalla.

Elliptisen liikkeen tapaus

Elliptinen Keplerin liike on erittäin tärkeä tähtitieteen kannalta (esimerkiksi aurinkokunnan planeettojen kiertoradat, keinotekoiset satelliitit). Joka tapauksessa se toimii lähtökohtana edistyneemmille laskelmille, kun otetaan huomioon muiden taivaankappaleiden vaikutus tai muut tekijät, jotka useimmiten vaikuttavat tämän "ihanteellisen" liikkeen häiriöksi.

Tien pääparametrit

Ellipsin voidaan määritellä uraa pisteiden M siten, että summa etäisyydet kahden kiinteän pistettä kutsutaan pesäkkeitä merkitty F 1 ja F 2 on vakio: , on ollessa osittain pääakseli ellipsin, joka on - eli puolet etäisyydestä kahden pisteiden välillä, jotka ovat radalla periastroni P ja apoaster A , piste, joka on kauimpana kiertoradan voimakeskipisteestä (joka vie yhden polttopisteistä) (vrt. kuva). d(F1,M)+d(F2,M)=2klo{\ displaystyle d (F_ {1}, M) + d (F_ {2}, M) = 2a}

Merkitsemällä Q etäisyyden tämän viimeisen pisteen kohdistuspisteeseen, joka vastaa , se tulee :, ja päätämme siitä . Ellipsillä on symmetriakeskus O keskipisteessä polttopisteistä, jonka läpi kulkevat sen kaksi kohtisuoraa symmetria-akselia, joita kutsutaan pää- ja sivuakseleiksi. w=π{\ displaystyle w = \ pi}Q=s/(1-e){\ displaystyle Q = p / \ vasen (1-e \ oikea)}klo=s/(1-e2){\ displaystyle a = p / \ left (1-e ^ {2} \ oikea)}

Ellipsin parametri p vastaa r : n arvoa w = p / 2.

Puolietäisyys tarkennukseen merkitään c , joka meillä ilmeisesti on . Me päätellä osittain pienempi akseli , merkitty b  : . Voidaan eliminoida e yhtälöiden a ja b väliltä , se on ellipsin parametrin lauseke . vs.=klo-q=es1-e2=eklo{\ displaystyle c = aq = e {\ frac {p} {1-e ^ {2}}} = ea}b=klo2-vs.2=klo1-e2{\ displaystyle b = {\ sqrt {a ^ {2} -c ^ {2}}} = a {\ sqrt {1-e ^ {2}}}}s=b2/klo{\ displaystyle p = b ^ {2} / a}

Yhdistämällä nämä kaavat saadaan vastaavasti periapsi q: lle ja apoastro Q  : lle ja . q=klo(1-e){\ displaystyle q = a (1-e)}Q=klo(1+e){\ displaystyle Q = a (1 + e)}

Energianäkökohdat - Elävien voimien yhtälö

Saadaksemme yhtälön, joka saa nimensä "  elävät voimat  ", Leibnizin voimakäsitteestä , korvataan etäisyys periastroniin suhteessa (9) eksentrisyys-energia, se tulee: q=klo(1-e){\ displaystyle q = a \ vasen (1-e \ oikea)}

1-e=-2qHGMTμ=-2Hklo(1-e)GMTμ{\ displaystyle 1-e = - {\ frac {2qH} {GM_ {T} \ mu}} = - {\ frac {2Ha \ vasen (1-e \ oikea)} {GM_ {T} \ mu}}}, josta saadaan mekaanisen kokonaisenergian ilmaisu puoli-akselin a arvon mukaan  : H=-GMTμ2klo{\ displaystyle H = - {\ frac {GM_ {T} \ mu} {2a}}}(10 bis).

Siksi kokonaisenergia on yhtä suuri kuin puolet potentiaalisesta gravitaatioenergiasta r = a: lle . Kun H = cte, se tulee:

H=-GMTμ2klo=12μv2-GMTμr{\ displaystyle H = - {\ frac {GM_ {T} \ mu} {2a}} = {\ frac {1} {2}} \ mu v ^ {2} - {\ frac {GM_ {T} \ mu } {r}}}, josta johdetaan ilmaisu hiukkasen nopeuden v arvolle radalla r: n ja a: n funktiona , joka tunnetaan elävän voiman yhtälönä  : v=GMT(2r-1klo){\ displaystyle v = {\ sqrt {GM_ {T} \ vasen ({\ frac {2} {r}} - {\ frac {1} {a}} \ oikea)}}}, (10 ter).

Tätä yhtälöä käytetään usein astronautiassa. Siksi huomaamme , että puoli-pääakselin mittaus liittyy suoraan fiktiivisen hiukkasen kokonaisenergiaan ja että jos meillä on , kuten meidän pitäisi odottaa, koska elliptinen liikerata on sitten kohti parabolista liikerataa. |H|→0{\ displaystyle \ vasen | H \ oikea | \ to 0}klo→∞{\ displaystyle a \ to \ infty}

Keplerin kolmas laki

Elliptinen liike on rajallinen, ja se on jaksollista jakson T kanssa , jota kutsutaan vallankumousjaksoksi tai kiertorajajaksoksi , fyysisten lakien ollessa muuttumattomia ajassa kääntämällä. Tämä jakso on kuitenkin helppo mitata taivaankappaleelle, jonka tähtitieteelliset havainnot antavat, samoin kuin puoli-pääakselin a arvo . Vallankumouksen ja puoli-akselin välillä on kuitenkin yksinkertainen suhde, jonka Kepler osoitti kokeellisesti ensimmäistä kertaa vuonna 1618.

Pinta-alan nopeus, joka on vakio , saadaan integroimalla liikkeen jakson T aikana ellipsin kokonaispinta-ala, mikä on sama kuin identiteetti , joka antaa , missä sitä käytettiin . AT˙=L2μ{\ displaystyle {\ dot {\ mathcal {A}}} = {\ frac {L} {2 \ mu}}}πklob{\ displaystyle \ pi ab}πklob=LT2μ{\ displaystyle \ pi ab = {\ frac {LT} {2 \ mu}}}L2=4π2μ2klo2b2T2=4π2μ2sklo3T2{\ displaystyle L ^ {2} = {\ frac {4 \ pi ^ {2} \ mu ^ {2} a ^ {2} b ^ {2}} {T ^ {2}}} = 4 \ pi ^ {2} \ mu ^ {2} p {\ frac {a ^ {3}} {T ^ {2}}}}s=b2/klo{\ displaystyle p = b ^ {2} / a}

Mutta määritelmän mukaan mikä lopulta antaa eliminoimalla vauhtia perustavanlaatuinen suhde: . s=L2GMTμ2{\ displaystyle p = {\ frac {L ^ {2}} {GM_ {T} \ mu ^ {2}}}}klo3T2=GMT4π2{\ displaystyle {\ frac {a ^ {3}} {T ^ {2}}} = {\ frac {GM_ {T}} {4 \ pi ^ {2}}}}

Toisin sanoen: kiertoradan puoli-suuriakselien kuutiot ovat verrannollisia kierrosjaksojen neliöihin .

Kun kyseessä on planeetta aurinkokunnan Auringon massa on käytännössä yhtä kokonaismassaan järjestelmän, ja me kirjoitamme , jossa Gaussin jatkuvasti . klo3T2=k4π2{\ displaystyle {\ frac {a ^ {3}} {T ^ {2}}} = {\ frac {k} {4 \ pi ^ {2}}}}k=defGMS{\ displaystyle k {\ stackrel {\ text {def}} {=}} GM_ {S}}

Tekemällä tämän likiarvon voimme kirjoittaa mille tahansa kahdelle aurinkokunnan planeetalle ilmeisillä merkinnöillä:

klo13T12=klo23T22{\ displaystyle {\ frac {a_ {1} ^ {3}} {T_ {1} ^ {2}}} = {\ frac {a_ {2} ^ {3}} {T_ {2} ^ {2} }}}.

Siten tieto planeetan puoli-suuremmasta akselista (esimerkiksi maapallosta, joka voidaan mitata erittäin tarkasti astrometrisillä menetelmillä ) ja kiertoradoista (havaintojen avulla) voidaan määrittää kaikkien suurten akselien puoliakselit aurinkokunnan planeetat. Voidaan edetä samalla tavalla kaikkien muiden "järjestelmien" (esim. Tähti ja sen planeetat, planeetta ja sen satelliitit ...) kohdalla, joissa voidaan jättää huomiotta tietyn ruumiin massa "keskuksen" massan edessä keho (tähti, planeetta).

Kutsumme keskimääräistä liikettä , jota merkitään n , taivaankappaleen keskimääräisellä kulmanopeudella sen kiertoradalla: meillä on siis Keplerin kolmannen lain mukaan: ei=def2πT{\ displaystyle n {\ stackel {\ text {def}} {=}} {\ frac {2 \ pi} {T}}}

ei=GMTklo3{\ displaystyle n = {\ sqrt {\ frac {GM_ {T}} {a ^ {3}}}}}.Pyöreän radan raja-arvo - kiertoradan vähimmäisnopeus

Kun e = 0, ellipsi on degeneroitunut ja tulee alas ympyrään, jonka säde R = p ja keskipiste O , samaan aikaan kahden polttopisteen kanssa. Mikä tahansa keskuksen läpi kulkeva akseli on liikeradan symmetria-akseli. Kohdan (3) mukaan kulmanopeus on vakio (löydämme siis triviaalin "alueiden lain"). θ˙=L/μs2{\ displaystyle {\ dot {\ theta}} = L / \ mu p ^ {2}}

Energia-tasolla, mukaan kaavan (10) ja se on mainittu aiemmin (katso osa 3,1-4 , tämä vastaa fyysistä vähintään kokonaisenergian H kanssa , siksi nolla säteen kineettinen energia . Tehokas potentiaalienergia on siis minimaalinen, mikä vastaa fyysisesti sitä kohtaa, jossa keskipakoputken esteet 1 / r 2: ssa ja houkutteleva potentiaali "keskipitkä" 1 / r: ssä ovat tasapainossa. H=-GMTμ2R=-G2MT2μ32L2{\ displaystyle H = - {\ frac {GM_ {T} \ mu} {2R}} = - {\ frac {G ^ {2} M_ {T} ^ {2} \ mu ^ {3}} {2L ^ {2}}}}12μr˙2{\ displaystyle {\ dfrac {1} {2}} \ mu {\ dot {r}} ^ {2}}Ueff(r){\ displaystyle U _ {\ text {eff}} (r)}

Vain tämän vähäisen mekaanisen energian kohdalla voidaan kiertää kuvitteellinen mobiili voimakeskipään ympärillä etäisyydellä R (ja siten myös "todellisen" rungon ympärillä toisen ympärillä), pienempi arvo johtaa "laskeutumiseen". kuvitteellisen hiukkasen voiman keskellä. Tämä pienin mekaaninen energia vastaa tiettyä nopeuden v arvoa, jota kutsutaan pienimmäksi kiertonopeudeksi tai “ensimmäiseksi kosmiseksi nopeudeksi”. Elävien voimien (10ter) yhtälön mukaan yhdellä pyörän liikeradalla, jonka säde R =, on puhtaasti ortodadiaalinen nopeus ja vakioarvo, jonka antaa:

v1=GMTR{\ displaystyle v_ {1} = {\ sqrt {\ frac {GM_ {T}} {R}}}}(11).

Sovelluksissa (astronautia) tämä nopeus on itse asiassa riippumaton "satelliitin" rungon massasta, koska kokonaismassa on sitten "keskitähden" massan vastainen.

Esimerkki: Maapallolle meillä on vähintään R = 6400  km (maan pinta), mikä antaa noin v 1 ≈ 7,9  km s −1 .

Parabolisen liikkeen tapaus

Parabolinen liike on rajatapaus elliptinen liike, kun epäkeskisyys e pyrkii kohti 1. Intuitiivisesti tämä vastaa yhä pitkänomainen ellipsin, periastron P lähestyy painopiste F 1 , muut painopiste F 2 on löydetty häntä "ennustettu" tarkemmin ja edelleen . Viime kädessä se hylätään äärettömään aivan kuten apoastro A , ja ellipsi "avautuu" pisteessä A , jolloin saadaan paraboli.

Tien pääparametrit

Tässä tapauksessa vastaa e = 1, ja polaarinen kotona liikeradan yhtälö on sitten: . Periapsis P vastaa w = 0 ja sijaitsee etäisyydellä q = p / 2 polttopisteestä F , ja meillä on varten . Suunta ( FP ) on käyrän symmetria-akseli, eikä äärellisellä etäisyydellä ole apokeskusta. r=s1+cos⁡w{\ displaystyle r = {\ frac {p} {1+ \ cos w}}}r→+∞{\ displaystyle r \ - + \ infty}w→π{\ displaystyle w \ to \ pi}

Vastakkaisessa kuvassa on yhteenveto liikeradan pääominaisuudet.

Energianäkökulma - vapautumisnopeus

Suhteen (10) mukaan ja kuten aiemmin on osoitettu, tämä rajoitustapaus vastaa arvoa H = 0. Tällöin kineettinen kokonaisenergia on aina yhtä suuri kuin potentiaalinen gravitaatioenergia, toisin sanoen annettuna r: llä: seuraa välittömästi yksinkertainen nopeuden ilmaisu radalla missä tahansa r: ssä , mikä vastaa voimien yhtälöä eloisa paraboliselle Keplerian-liikkeelle :, (12). 12μv2=GMTμr{\ displaystyle {\ frac {1} {2}} \ mu v ^ {2} = {\ frac {GM_ {T} \ mu} {r}}}v=2GMTr{\ displaystyle v = {\ sqrt {\ frac {2GM_ {T}} {r}}}}

Tämä suhde vastaa niin sanottua elävien voimien yhtälöä, joka löydettiin elliptiselle liikkeelle, suhde (10ter), kanssa . klo→∞{\ displaystyle a \ to \ infty}

Tämä nopeuden arvo on suurin periastronissa, joka sijaitsee etäisyydellä r = q , missä nopeus on puhtaasti ortoradiaalinen. Vapautuminen nopeus tai ”toinen kosminen nopeus” on siis määritelty tietyn etäisyyden R kuten . v2=2GMTR=2v1{\ displaystyle v_ {2} = {\ sqrt {\ frac {2GM_ {T}} {R}}} = {\ sqrt {2}} v_ {1}}

Tämä on silloin vähimmäisnopeus, joka on annettava (kohtisuoraan) fiktiiviselle hiukkaselle, joka on asetettu tietylle etäisyydelle R voiman keskipisteestä, jotta se voi "paeta" sen aiheuttamasta painovoimasta. Tässä antamalla sen mennä ääretön, seuraten parabolista liikerataa.

Esimerkki: Maapallon pinnalta on v 2 ≈ 11,2  km s −1 .

Konkreettisesti on mahdollista antaa esineelle, kuten avaruuskoettimelle, parabolinen polku, jossa keskitytään tietyn tähden keskipisteeseen C (kuten Maan) ja jossa kärjellä on tietty piste M avaruudessa siten, että R = CM kommunikoimalla koneella nopeuden arvo, joka on yhtä suuri kuin R: n vapautumisnopeus ja suunnattu kohtisuoraan säteen suuntaan ( CM ). Tämä voidaan tehdä erinomaisesti alkupisteen kiertoradalta alkaen periastronista: itse asiassa koneen nopeus on tässä kohtisuorassa ja sillä on maksimiarvo, vaikka vapautumisnopeus periastronissa on suurempi kuin apoaster.

Hyperbolisen liikkeen tapaus

Tien pääparametrit

Jos e > 1, r: n arvo pyrkii näiden kahden suunnan äärettömyyteen ja määrittää symmetrisesti pääakseliin ( FP ) nähden asymptootit liikeradan käyrällä. W: n arvot , jotka vastaavat r : n negatiivisia arvoja : se on itse asiassa hyperbolan toinen haara, joka kulkisi vastenmielisen kentän tapauksessa (vrt. Rutherfordin diffuusio ). Fyysisesti koski vain haara on lähimpänä kotiin F . w∞=arccos⁡(-1e){\ displaystyle w _ {\ infty} = \ arccos {\ vasen (- {\ frac {1} {e}} \ oikea)}}w=w∞{\ displaystyle w = w _ {\ infty}}w=2π-w∞{\ displaystyle w = 2 \ pi -w _ {\ infty}}w∞<w<2π-w∞{\ displaystyle w _ {\ infty} <w <2 \ pi -w _ {\ infty}}

Hyperbolan kaksi asymptoottia leikkaavat pääakselin pisteessä O , koko matemaattisen käyrän symmetriakeskipiste, kahdella haaralla. Voidaan määritellä piste F ', joka on symmetrinen F : n suhteen O : n suhteen, joka on hyperbolan toisen haaran keskipiste. Kuten kaikkien kartiokartioiden kohdalla, periastroni P sijaitsee etäisyydellä kohdennuksesta ja muodostaa liikeradan kärjen. Voimme määritellä "apoastro" A: n, joka vastaa w = p ja vastaa toisen haaran yläosaa. Tämä piste sijaitsee etäisyydellä tarkennuksesta, P: n ja A: n vastaavan etäisyyden ollessa . Tämä arvo on "semi-pääakselin" avulla se voidaan kirjoittaa , ja etäisyys keskustasta symmetria O on keskipiste on ae . q=s1+e{\ displaystyle q = {\ frac {p} {1 + e}}}Q=s|1-e|=se-1{\ displaystyle Q = {\ frac {p} {\ vasen | 1-e \ oikea |}} = {\ frac {p} {e-1}}}2klo=defQ-q=2se2-1{\ displaystyle 2a {\ stackel {\ text {def}} {=}} Qq = 2 {\ frac {p} {e ^ {2} -1}}}s=klo(e2-1){\ displaystyle p = a (e ^ {2} -1)}q=klo(e-1){\ displaystyle q = a (e-1)}Q=klo(e+1){\ displaystyle Q = a (e + 1)}

Vastakkaisessa käyrässä esitetään yhteenveto liikeradan ominaisuuksista osoittamalla kaksi esimerkkiä hyperboloista, joilla on sama parametri, toisessa e = 2 ja toisessa e = 5.

Energianäkökohdat - elävien voimien yhtälö

Kuten elliptisen liikeradan tapauksessa, on mahdollista osoittaa suhde H: n ja edellä määritellyn hyperbolan puoli-pääakselin a välillä. Todellakin periapsissa P, jossa r = q = a ( e –-1), nopeus on puhtaasti ortoradiaalinen ja mekaaninen energia H ilmaistaan ​​muodossa :, mutta meillä on , mikä antaa korvaamalla edellisen yhtälön: H=12μv2-GMTμq=L22μklo2(e-1)2-GMTμklo(e-1){\ displaystyle H = {\ frac {1} {2}} \ mu v ^ {2} - {\ frac {GM_ {T} \ mu} {q}} = {\ frac {L ^ {2}} { 2 \ mu a ^ {2} (e-1) ^ {2}}} - {\ frac {GM_ {T} \ mu} {a (e-1)}}}L2=GMTμ2s=GMTμ2klo(e2-1){\ displaystyle L ^ {2} = GM_ {T} \ mu ^ {2} p = GM_ {T} \ mu ^ {2} a (e ^ {2} -1)}

H=GMTμklo(e-1)(e-1)2-1){\ displaystyle H = {\ frac {GM_ {T} \ mu} {a (e-1)}} \ vasen ({\ frac {e-1)} {2}} - 1 \ oikea)}tai lopuksi suhde :, (13).H=GMTμ2klo{\ displaystyle H = {\ frac {GM_ {T} \ mu} {2a}}}

Tämä suhde on identtinen suhteeseen, joka saadaan elliptiselle liikkeelle muuttamalla a - a: ksi . Saamme sitten, toimimalla samalla tavalla kuin elliptisen tapauksen kohdalla, elävien voimien yhtälö hyperboliselle liikkeelle:

v=GMT(2r+1klo){\ displaystyle v = {\ sqrt {GM_ {T} \ vasen ({\ frac {2} {r}} + {\ frac {1} {a}} \ oikea)}}}(14).

Vektorikuvat

Joitakin animaatioita, jotka edustavat kahden kappaleen kiertorataa (valkoiset levyt) barycenterin (punainen risti) ympärillä.

Viitteet

1. Tämä pätee, jos näiden kahden rungon mitat ovat hyvin pienet verrattuna niiden etäisyyteen liikkeen aikana.
2. Tämä likiarvo merkitsee muiden elinten vaikutuksen laiminlyöntiä, kun otetaan huomioon niiden toimien suhteellinen merkitys molemmille elimille. Esimerkiksi planeetan liikkumiselle auringon ympäri hallitseva vuorovaikutus on tietysti planeetan tähden vuorovaikutus, voimme ainakin jättää ensimmäisessä arvioinnissa huomiotta aurinkokunnan muiden kappaleiden vuorovaikutusten vaikutukset sekä kuin aurinko katsotulla planeetalla. Se olisi kuitenkin otettava huomioon häiriintyneellä tavalla täydellisemmän kuvauksen tekemiseksi.
3. Itse asiassa kaksi itsenäistä yksirunkoista ongelmaa, mutta inertiakeskipisteen liike on triviaali.
4. Vuoteen homothety, on tietenkin sama kuin todellisia hiukkasia M1 ja M2 .
5. Jos liikkeen sanotaan kuitenkin heikentyneen ja se supistetaan suoraksi, liikeradan tasaisuuden käsitteellä ei ole merkitystäL→=0→{\ displaystyle {\ overrightarrow {L}} = {\ overrightarrow {0}}}
6. Tämä viimeinen ehto ei ole ehdottoman välttämätöntä, voimme myös saada altaan mahdollisten varmasti ääretön , jossa harmoninen alueellinen potentiaali lomakkeen kanssa k > 0, mutta tämä esimerkki ei oteta huomioon seuraavassa.V(r)=12kr2{\ displaystyle V (r) = {\ dfrac {1} {2}} kr ^ {2}}
7. Tämä pienin lähestymisetäisyys vastaa nollasäteistä radiaalinopeutta rajallisella etäisyydellä.
8. Vuonna ääretön, nopeus on puhtaasti radiaalinen: todellakin, orthoradial termi on, että 1 / r 2 , ja sen vuoksi pyrkii kohti 0 suurelle etäisyydelle.
9. Tarkkaan ottaen Runge-Lenz-vektori määritetään klassisesti .s→×L→-GMTμ2er→{\ displaystyle {\ overrightarrow {p}} \ kertaa {\ overrightarrow {L}} - GM_ {T} \ mu ^ {2} {\ overrightarrow {e_ {r}}}}
10. Tämä tarkoittaa alkuperän muutosta, joka ei kyseenalaista aikaisempia tuloksia, etenkään sitä, että L = cte, koska tämä riippuu vain kulmanopeuden arvosta .θ˙=w˙{\ displaystyle {\ dot {\ theta}} = {\ dot {w}}}
11. Meillä voi myös olla L = 0 mille tahansa H: lle , mutta parametri p on silloin nolla, emmekä enää saa parabolaa, vaan yksinkertaisesti oikealla rappeutunutta "kartiota": katso yllä oleva huomautus liikkeen rappeutumisesta. Tätä triviaalia tapausta ei käsitellä myöhemmin.
12. Tässä sekoitetaan tähden keskipiste ja {koetin - tähti} -järjestelmän massakeskus, kun otetaan huomioon kahden objektin massojen väliset suhteet.

Hyödyllisiä kirjoja:

• Dumoulin ja Parisot, käytännön tähtitiede ja tietojenkäsittelytiede , Masson, Pariisi, 1987.
• Perez fysiikan kurssit: mekaaninen - 4 th  edition, Masson, Pariisi, 2001.
• Landau ja Lifchitz, Cours de physique - Tome I: Mécanique , Ellipses - Marketing, Pariisi, 1994.

Internetissä :

• Luc Duriez, Klassisen taivaanmekaniikan kurssi , University Lille-I / IMCCE, 2002, erittäin täydellinen, saatavana seuraavasta osoitteesta pdf-muodossa: http://www.imcce.fr/fr/formations/cours/CoursMC_Duriez/mc/ CoursMCecr_Duriez. pdf .

Aiheeseen liittyvät artikkelit

• N kehon ongelma
• Keskushallinnon liike
• Kinematiikka> elliptinen liike
• Keplerin lait

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">