Inertian keskusta

Keskus inertia esineen tai massakeskipiste , on piste avaruudessa jos vaikutukset inertia käytetään, eli vaihtelu vektori vauhtia . Jos massa järjestelmässä on vakio, joka oletamme yksinkertaisuuden myöhemmin, sitten , ollessa kiihtyvyys . Se on myös kohta, jossa käytetään harjoittelun kiihtyvyydestä johtuvaa vektorin hitausvoimaa muussa kuin Galilean vertailukehyksessä. ds→dt{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} {\ vec {p}}} {\ mathrm {d} t}}}ds→dt=mklo→{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} {\ vec {p}}} {\ mathrm {d} t}} = m {\ vec {a}}}klo→{\ displaystyle {\ vec {a}}}

Jos haluamme kiertää kohdetta tietyn suunnan akselin ympäri, akseli, jolle vähiten vaivaa on tarjottava, on inertian keskipisteen läpi kulkeva akseli. Jos pyörimisakseli ei kulje inertiakeskipisteen läpi, se aiheuttaa järjestelmässä tärinää; hän on "  epätasapainoinen  ".

Siinä tapauksessa, että voimme tarkastella yhtenäisen painopisteen kenttää , inertian keskusta sekoitetaan painopisteen kanssa . Merkitsemme sen G. g→{\ displaystyle {\ vec {g}}}

Historiallinen

Käsitteen merkitys

Kiihdytyksen kohteena olevan kallistaminen

Tarkastellaan ajoneuvoa, jossa on jousitukset - moottoripyörä, auto, bussi ... - joka jarruttaa. Ajoneuvon etuosa voidaan nähdä syöksyvän. Ja päinvastoin, vaikka se olisi vähemmän näkyvissä, ajoneuvon kiihtyessä lineaarisesti etu nousee, mikä antaa esimerkiksi kaksipyöräisille mahdollisuuden tehdä takapyöriä .

Mutkassa nelipyöräiset ajoneuvot kallistuvat mutkasta ulospäin; kaksipyöräisten on nojattava sisäänpäin putoamisen välttämiseksi.

Jos esine asetetaan ajoneuvon lattialle, mikä tahansa kiihtyvyys sanan laajassa merkityksessä - nopeuden lisääminen tai laskeminen, suunnan muuttaminen - voi aiheuttaa sen putoamisen.

Näiden vaikutusten kuvaamiseksi vuorotellen on välttämätöntä pystyä määrittelemään hitausvaikutusten sovelluskohta. Analyyttisessä staatiikassa pyörimisdynamiikan perusperiaate ilmaistaan ​​yleisesti massakeskipisteeseen verrattuna (koska jollakin on yleensä hitausmomentti verrattuna G: hen), tämä hitausvaikutus naamioidaan sen hetkestä lähtien tähän piste on nolla. Näin ei ole, jos tarkastelemme hetkeä suhteessa toiseen pisteeseen tai jos haluamme käyttää graafisia resoluutiomenetelmiä.

Lisäksi staattista tai dynaamista tutkimusta varten kaikki tasaisesti vaikuttavat tilavuusvoimat voidaan mallintaa voiman vektorilla, joka kohdistuu inertiakeskipisteeseen. Tässä tapauksessa, esimerkiksi, esineen, joka on valmistettu ferromagneettisesta materiaalista on yhtenäinen magneettikenttä .

Kierto kiinteän akselin ympäri

Tarkastellaan levyä, jota haluamme kiertää akselin Δ ympäri kohtisuorassa sen pintaan, joka on kiinnitetty Galilean vertailukehykseen. Annetun kulmakiihtyvyyden a luomiseksi aikaansaadava voima on pienempi, jos akseli A kulkee inertiakeskipisteen (vasen kuva) läpi kuin epäkeskeinen (oikea kuva). Tämän tuloksena saadaan Huygensin lause hitausmomentin laskemiseksi .

Toisaalta, jos pyörimisen aikana inertian keskipiste ei ole akselilla, se tarkoittaa, että akselin on kohdistettava voimaa levylle keskisuuntaisen keskikiihtyvyyden luomiseksi . Tämä kohteen kanssa pyörivä voima luo tärinää. Nämä värähtelyt voidaan luoda vapaaehtoisesti, esimerkiksi täryttimille , tai muuten olla tahattomia, jolloin ne ovat haitallisia: aiheuttavat melua, ennenaikaista kulumista, ruuvattujen elementtien löystymistä, väsymysilmiötä, joka voi johtaa akselin repeytymiseen , ...

Pyörivälle esineelle on siis välttämätöntä tuntea inertiakeskipisteen sijainti ihanteellisen pyörimisakselin määrittämiseksi, erityisesti korkeilla pyörimistaajuuksilla.

Hitauspisteen sijainnin määrittäminen

Jos järjestelmässä on n erillistä materiaalipistettä , joiden massa (M i , m i ) 1 ≤ i ≤ n  , inertian keskipiste on massojen barycenter

OG→=1m∑i=1eimiOM→i{\ displaystyle {\ overrightarrow {\ mathrm {OG}}} = {\ frac {1} {m}} \ summa _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} {\ overrightarrow {\ mathrm {OM} }} _ {i}}

jossa m = ∑ m i . Siksi sillä on kaikki barycenterin ominaisuudet, joilla on ehdottomasti positiiviset painotuskertoimet, ja erityisesti:

• kahden pisteen (M 1 , m 1 ) ja (M 2 , m 2 ) massan keskipiste on avoimen viivan segmentissä] M 1 M 2 [;
• anna kolmen materiaalipisteen (M i , m i ) 1 ≤ i ≤ 3 painopisteestä G; jos G 1, 2 on (M 1 , m 1 ) ja (M 2 , m 2 ) massakeskipiste, niin G on (G 1, 2 , m 1 + m 2 ) ja ( M 3 , m 3 ).

Jos merkitään ortonormaalissa koordinaatistossa suorakulmaisissa koordinaateissa pisteiden M i ( x i  , y i  , z i ) ja G ( x G , y G , z G ) koordinaatit , niin tämä antaa

{xG=∑miximyG=∑miyimzG=∑mizim{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} & x _ {\ mathrm {G}} = {\ frac {\ summa m_ {i} x_ {i}} {m}} \\ & y _ {\ mathrm {G}} = {\ frac {\ sum m_ {i} y_ {i}} {m}} \\ & z _ {\ mathrm {G}} = {\ frac {\ sum m_ {i} z_ { i}} {m}} \\\ end {matriisi}} \ oikea.}

Jatkuvalle tiheyden kohteelle, tasainen tai ei, ρ (M), meillä on Σ{\ displaystyle \ Sigma}

{xG=∫Σρ(M)xdVmyG=∫Σρ(M)ydVmzG=∫Σρ(M)zdVm{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} & x _ {\ mathrm {G}} = {\ frac {\ int _ {\ Sigma} \ rho (\ mathrm {M}) x \ mathrm {dV} } {m}} \\ & y _ {\ mathrm {G}} = {\ frac {\ int _ {\ Sigma} \ rho (\ mathrm {M}) y \ mathrm {dV}} {m}} \ \ & z _ {\ mathrm {G}} = {\ frac {\ int _ {\ Sigma} \ rho (\ mathrm {M}) z \ mathrm {dV}} {m}} \\\ end {matriisi} } \ oikea.}

kanssa . Jos tiheys ρ on tasainen, niin m=∫Σρ(M)dV {\ displaystyle m = \ int _ {\ Sigma} \ rho (\ mathrm {M}) \ mathrm {dV} ~}

{xG=∫ΣxdVVyG=∫ΣydVVzG=∫ΣzdVV{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} & x _ {\ mathrm {G}} = {\ frac {\ int _ {\ Sigma} x \ mathrm {dV}} {\ mathrm {V}}} \\ & y _ {\ mathrm {G}} = {\ frac {\ int _ {\ Sigma} y \ mathrm {dV}} {\ mathrm {V}}} \\ & z _ {\ mathrm {G} } = {\ frac {\ int _ {\ Sigma} z \ mathrm {dV}} {\ mathrm {V}}} \\\ end {matrix}} \ right.}

kanssa . Siksi inertian keskusta on "geometrinen keskusta", toisin sanoen barycenter, kun otetaan huomioon, että kohteen kaikilla pisteillä on sama painotus ( isobarycenter ). V=∫ΣdV {\ displaystyle \ mathrm {V} = \ int _ {\ Sigma} \ mathrm {dV} ~}

Jotkut 3D modeler- tyyppi tietokoneavusteinen piirustus ohjelmisto laskea keskelle inertia vedetyn esineen omasta olettaen tasainen tiheys. Esimerkiksi :

• vuonna SolidWorks 2008 painos, asema massakeskipisteen, nimeltään ”painopiste”, saadaan valikosta Outils > Propriétés de masse.

Määritysmenetelmät yksinkertaisissa tapauksissa sekä graafiset ja kokeelliset menetelmät on kuvattu artikkelissa Painopiste # Painopisteen määrittäminen , koska useimmissa tapauksissa inertiakeskus sekoitetaan painopisteeseen.

Dynaamiset ominaisuudet

Antaa olla järjestelmä, joka voi olla erillinen tai jatkuva, epämuodostuva tai deformoituva joukko. Tämän järjestelmän painopisteen G liikerata määritetään tarkastelemalla Σ: lle kohdistettuja ulkoisia voimia , toisin sanoen Σ: n ulkopuolisia voimia , jotka kohdistuvat each: n jokaiseen elementtiin. Järjestelmän elementtien väliset voimat eivät puutu. Joten meillä on

mklo→G=∑F→ext/Σ{\ displaystyle m {\ vec {a}} _ {\ mathrm {G}} = \ summa {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {\ mathrm {ext} / \ Sigma}}

missä m on Σ: n kokonaismassa.

Esimerkiksi, jos kuori räjähtää lennon aikana ja ilman kitkaa ei oteta huomioon, kaikkien fragmenttien painopisteen liikerata seuraa samaa reittiä kuin kuori olisi ehjä.

Esittelyt

Kahden olennaisen asian tapaus

Aineellisen pisteen tutkimus (G, m )

Asetamme itsellemme on Galilein viitekehyksen R g viite . Tarkastellaan kahta erillistä materiaalipistettä (M 1 , m 1 ) ja (M 2 , m 2 ). Kohta M 1 on altistuessaan voimille, joiden tuloksena - vektorin summa - on huomattava  ; ilmoita samalla tavalla M 2: n voimien tulos . Järjestelmä Σ on kahden aineellisen pisteen joukko: Σ = {(M 1 , m 1 ); (M 2 , m 2 )}; tämän järjestelmän ympäristö on merkitty Σ ("  täydentävä sigma"). (O,x→,y→,z→){\ displaystyle (\ mathrm {O}, {\ vec {x}}, {\ vec {y}}, {\ vec {z}})}F→1{\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {1}}F→2{\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {2}}

Oletetaan soveltaa perusperiaatetta dynamiikan kuhunkin aineellisesti:

{m1klo→1= F→1m2klo→2= F→2{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {aligned} m_ {1} {\ vec {a}} _ {1} = \ & {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {1} \\ m_ { 2} {\ vec {a}} _ {2} = \ & {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {2} \\\ end {tasattu}} \ oikea.}

Massakeskipisteen kiihtyvyys on

klo→G=d2dt2OG→=1md2dt2(m1OM→1+m2OM→2)=1m(m1klo→1+m2klo→2){\ displaystyle {\ vec {a}} _ {\ mathrm {G}} = {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2}} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} {\ overrightarrow { \ mathrm {OG}}} = {\ frac {1} {m}} {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2}} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} (m_ {1} {\ overrightarrow {\ mathrm {OM}}} _ {1} + m_ {2} {\ overrightarrow {\ mathrm {OM}}} _ {2}) = {\ frac {1} {m}} (m_ { 1} {\ vec {a}} _ {1} + m_ {2} {\ vec {a}} _ {2})}

On

mklo→G=m1klo→1+m2klo→2=F→1+F→2{\ displaystyle m {\ vec {a}} _ {\ mathrm {G}} = m_ {1} {\ vec {a}} _ {1} + m_ {2} {\ vec {a}} _ {2 } = {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {1} + {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {2}}.

Näin nähdään, että massakeskus käyttäytyy kuin materiaalipiste m = m 1 + m 2, joka joutuisi läpi kaikki järjestelmän materiaalipisteisiin kohdistuvat voimat Σ. Siksi inertiakeskus mahdollistaa järjestelmän tutkimuksen yksinkertaistamisen. F→1+F→2{\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {1} + {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {2}}

Tuloksena toimia, joita materiaaliin kohdistamaa M kohdan 1 voidaan eriteltynä  : F→1{\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {1}}F→1=F→ext/1+F→2/1{\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {1} = {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {\ mathrm {ext / 1}} + {\ vec {\ mathrm {F} }} _ {2/1}}

• F→ext/1{\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {\ mathrm {ext / 1}}}on seurausta toiminnoista, jotka järjestelmän outside ulkopuolella on tehty M 1: lle  ; on myös pantu merkille , tai  ;F→Σ¯/1{\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {\ mathrm {{\ bar {\ Sigma}} / 1}}}F→ext→1{\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {\ mathrm {ext \ - 1}}}F→Σ¯→1{\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {\ mathrm {{\ bar {\ Sigma}} \ - 1}}}
• F→2/1{\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {2/1}}on seurausta toimien M 2 M 1  ; se voi olla vetovoima, sähköstaattinen, kontakti toiminta (vetämällä kautta kaapelin, suoraan työntämällä tai kautta baari, ...); se on myös huomattava .F→2→1{\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {2 \ - 1}}

Samoin hajoamme . Mukaan periaate vastavuoroisia toimenpiteitä (Newtonin kolmannen lain), meillä on F→2=F→ext/2+F→1/2{\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {2} = {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {\ mathrm {ext / 2}} + {\ vec {\ mathrm {F} }} _ {1/2}}

F→2/1=-F→1/2{\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {2/1} = - {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {1/2}}.

Seuraa, että

F→1+F→2=F→ext/1+F→2/1+F→ext/2+F→1/2=F→ext/1+F→ext/2{\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {1} + {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {2} = {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {\ mathrm {ext / 1}} + {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {2/1} + {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {\ mathrm {ext / 2}} + {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {1/2} = {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {\ mathrm {ext / 1}} + {\ vec {\ mathrm {F}}} _ { \ mathrm {ext / 2}}}.

Σ: n painopisteeseen kohdistuvien toimintojen tulos supistuu ulkoisiin toimiin. Järjestelmän Σ sisäiset voimat, M 1: n ja M 2: n väliset toimet "katoavat taseesta"

Siksi voimme yksinkertaistaa tutkimusta tutkimalla aineellista pistettä (G, m ) joukon Σ = {(M 1 , m 1 ) korvikkeena ; (M 2 , m 2 )}. Mekaaniset vaikutukset, joihin kohdistuu (G, m ), ovat ulkoisia toimintoja, jotka kohdistuvat Σ: hen, toisin sanoen Σ : n toimet Σ : hen.

Laajennus n pisteen tapaukseen tapahtuu ottamalla huomioon barycenterin matemaattiset ominaisuudet.

Tutki massakeskipisteen viitekehyksen materiaalipisteitä (M 1 , m 1 ) ja (M 2 , m 2 )

Sijoita nyt itsemme massakeskipisteen R 'vertailukehykseen . Aineelliset kohdat ovat hitausvoimien ja . Aineellisen pisteen M 1 voimien tulos syntyy : (G,x→,y→,z→){\ displaystyle (\ mathrm {G}, {\ vec {x}}, {\ vec {y}}, {\ vec {z}})}F→Minä1=-m1klo→G{\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {\ mathrm {I1}} = - m_ {1} {\ vec {a}} _ {\ mathrm {G}}}F→Minä2=-m2klo→G{\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {\ mathrm {I2}} = - m_ {2} {\ vec {a}} _ {\ mathrm {G}}}

F→R1= F→1+F→Minä1= F→1-m1m(F→1+F→2)= 1m(mF→1-m1F→1-m1F→2)= 1m(m2F→1-m1F→2){\ displaystyle {\ begin {tasattu} {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {\ mathrm {R1}} = \ & {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {1} + {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {\ mathrm {I1}} \\ = \ & {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {1} - {\ frac {m_ {1}} {m}} ({\ vec {\ mathrm {F}}} _ {1} + {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {2}) \\ = \ & {\ frac {1} {m}} (m {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {1} -m_ {1} {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {1} -m_ {1} {\ vec {\ mathrm {F}} } _ {2}) \\ = \ & {\ frac {1} {m}} (m_ {2} {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {1} -m_ {1} {\ vec { \ mathrm {F}}} _ {2}) \\\ end {tasattu}}}.

Aineelliselle kohdalle M 2 , joka on kirjoitettu:

F→R2=1m(m1F→2-m2F→1){\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {\ mathrm {R2}} = {\ frac {1} {m}} (m_ {1} {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {2} -m_ {2} {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {1})}.

Näemme, että tässä viitteessä a priori, ei Galilean, aineelliset pisteet altistuvat vastakkaisille voimille ja niistä aiheutuu sama intensiteetti . F→R1=-F→R2{\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {\ mathrm {R1}} = - {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {\ mathrm {R2}}}

Huomaa, että tässä

F→R1=F→2/1+1m(m2F→ext/1-m1F→ext/2){\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {\ mathrm {R1}} = {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {2/1} + {\ frac {1} {m} } (m_ {2} {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {\ mathrm {ext / 1}} -m_ {1} {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {\ mathrm {ext / 2}})}}

kun tutkimme järjestelmän sisäpuolta Σ, on normaalia, että löydämme toiminnot sisäpuolelta Σ.

Deformoitumattoman kiinteän aineen tapaus

Jos aineelliset pisteet on liitetty muotoilemattomalla tankolla, jolla on merkityksetön massa - etäisyys M 1 M 2 on vakio -, niin Σ muodostaa sen, mitä kutsutaan "epämuodostuvaksi kiinteäksi aineeksi". Massakeskipisteen R 'vertailukehyksessä kiinteällä aineella Σ on pyörimisliike G: n läpi kulkevan hetkellisen akselin ympäri, koska etäisyydet GM 1 ja GM 2 ovat myös vakioita - akselin suunta voi vaihdella ajan myötä. Voidaan siis määritellä hetkellinen kulmanopeusvektori siten, että materiaalipisteiden nopeus R ': ssä on arvoltaan: ω→{\ displaystyle {\ vec {\ omega}}}

v′→1=M1G→∧ω→{\ displaystyle {\ vec {v '}} _ {1} = {\ overrightarrow {\ mathrm {M_ {1} G}}} \ wedge {\ vec {\ omega}}} v′→2=M2G→∧ω→{\ displaystyle {\ vec {v '}} _ {2} = {\ overrightarrow {\ mathrm {M_ {2} G}}} \ wedge {\ vec {\ omega}}}

ja vektorin hetkellinen kulmakiihtyvyys , kuten kiihtyvyydet, jotka on pienennetty tangentiaalikomponentteihin, aineellisista pisteistä R ': ssä on: a→{\ displaystyle {\ vec {\ alpha}}}

klo′→1= ddtv′→1= ddt(M1G→∧ω→)= ddt(M1G→)∧ω→+M1G→∧ddtω→= -v′→1∧ω→+M1G→∧a→= M1G→∧a→{\ displaystyle {\ begin {aligned} {\ vec {a '}} _ {1} = \ & {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ vec {v'} } _ {1} \\ = \ & {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} ({\ overrightarrow {\ mathrm {M_ {1} G}}} \ wedge {\ vec {\ omega}}) \\ = \ & {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} ({\ overrightarrow {\ mathrm {M_ {1} G}}}) \ wedge { \ vec {\ omega}} + {\ overrightarrow {\ mathrm {M_ {1} G}}} \ wedge {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ vec {\ omega }} \\ = \ & - {\ vec {v '}} _ {1} \ wedge {\ vec {\ omega}} + {\ overrightarrow {\ mathrm {M_ {1} G}}} \ wedge {\ vec {\ alpha}} \\ = \ & {\ overrightarrow {\ mathrm {M_ {1} G}}} \ wedge {\ vec {\ alpha}} \ end {tasattu}}}

ja sama

klo′→2=M2G→∧a→{\ displaystyle {\ vec {a '}} _ {2} = {\ overrightarrow {\ mathrm {M_ {2} G}}} \ wedge {\ vec {\ alpha}}}.

Voiman hetki suhteessa G: hen kirjoitetaan: F→R1{\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {\ mathrm {R1}}}

M→G(F→R1)= GM→1∧F→R1= m1GM→1∧klo′→1= m1GM→1∧(M1G→∧a→)= m1GM12asynti⁡(M1G→,a→)⋅u→= m1GM12synti⁡(M1M2→,a→)a⋅u→{\ displaystyle {\ begin {tasattu} {\ vec {\ mathcal {M}}} _ {\ mathrm {G}} ({\ vec {\ mathrm {F}}} _ {\ mathrm {R1}}) = \ & {\ overrightarrow {\ mathrm {GM}}} _ {1} \ wedge {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {\ mathrm {R1}} \\ = \ & m_ {1} {\ overrightarrow {\ mathrm {GM}}} _ {1} \ wedge {\ vec {a '}} _ {1} \\ = \ & m_ {1} {\ overrightarrow {\ mathrm {GM}}} _ {1} \ wedge ({\ overrightarrow {\ mathrm {M_ {1} G}}} \ wedge {\ vec {\ alpha}}) \\ = \ & m_ {1} \ mathrm {GM} _ {1} ^ {2 } \ alpha \ sin ({\ overrightarrow {\ mathrm {M_ {1} G}}}, {\ vec {\ alpha}}) \ cdot {\ vec {u}} \\ = \ & m_ {1} \ mathrm {GM} _ {1} ^ {2} \ sin ({\ overrightarrow {\ mathrm {M_ {1} M_ {2}}}}, {\ vec {\ alpha}}) \ alpha \ cdot {\ vec {u}} \ end {tasattu}}}

missä on momenttivektorin yhtenäinen suuntavektori. Jos merkitsemme R 1 = GM 1 ja R 2 = GM 2 , meillä on: u→{\ displaystyle {\ vec {u}}}

M→G(F→R1)=m1R12synti⁡(M1M2→,a→)a⋅u→{\ displaystyle {\ vec {\ mathcal {M}}} _ {\ mathrm {G}} ({\ vec {\ mathrm {F}}} _ {\ mathrm {R1}}) = m_ {1} \ mathrm {R} _ {1} ^ {2} \ sin ({\ overrightarrow {\ mathrm {M_ {1} M_ {2}}}}, {\ vec {\ alpha}}) \ alpha \ cdot {\ vec { u}}}

ja sama

M→G(F→R2)=m2R22synti⁡(M1M2→,a→)a⋅u→{\ displaystyle {\ vec {\ mathcal {M}}} _ {\ mathrm {G}} ({\ vec {\ mathrm {F}}} _ {\ mathrm {R2}}) = m_ {2} \ mathrm {R} _ {2} ^ {2} \ sin ({\ overrightarrow {\ mathrm {M_ {1} M_ {2}}}}, {\ vec {\ alpha}}) \ alpha \ cdot {\ vec { u}}}.

Kutsumme hitausmomenttia akselin suhteen (Δ) = suuruudet (G,u→){\ displaystyle (\ mathrm {G}, {\ vec {u}})}

J Δ1 = m 1 R 1 2 sin ((M 1 M 2 ), (Δ)) J Δ2 = m 2 R 2 2 sin ((M 1 M 2 ), (Δ))

ja niin meillä on

M→G(F→R1)=JΔ1a⋅u→{\ displaystyle {\ vec {\ mathcal {M}}} _ {\ mathrm {G}} ({\ vec {\ mathrm {F}}} _ {\ mathrm {R1}}) = \ mathrm {J} _ {\ Delta 1} \ alpha \ cdot {\ vec {u}}} M→G(F→R2)=JΔ2a⋅u→{\ displaystyle {\ vec {\ mathcal {M}}} _ {\ mathrm {G}} ({\ vec {\ mathrm {F}}} _ {\ mathrm {R2}}) = \ mathrm {J} _ {\ Delta 2} \ alpha \ cdot {\ vec {u}}}

Kahdella vektorilla on sama suunta, koska ja ovat kollineaarisia ja käänteisiä, ja ja ja ovat myös kollineaarisia ja käänteisiä. M1G→{\ displaystyle {\ overrightarrow {\ mathrm {M_ {1} G}}}}M2G→{\ displaystyle {\ overrightarrow {\ mathrm {M_ {2} G}}}}F→R1{\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {\ mathrm {R1}}}F→R2{\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {\ mathrm {R2}}}

Vertailukehyksessä R 'kiinteälle aineelle to kohdistuu kokonaismomentti

M→=M→G(F→R1)+M→G(F→R2)=(JΔ1+JΔ2)a⋅u→{\ displaystyle {\ vec {\ mathcal {M}}} = {\ vec {\ mathcal {M}}} _ {\ mathrm {G}} ({\ vec {\ mathrm {F}}} _ {\ mathrm {R1}}) + {\ vec {\ mathcal {M}}} _ {\ mathrm {G}} ({\ vec {\ mathrm {F}}} _ {\ mathrm {R2}}) = (\ mathrm {J} _ {\ Delta 1} + \ mathrm {J} _ {\ Delta 2}) \ alpha \ cdot {\ vec {u}}}.Johtopäätös

Aineellisten pisteiden (M 1 , m 1 ) ja (M 2 , m 2 ) järjestelmän dynamic dynaaminen tutkimus voidaan jakaa kahteen osaan:

• tutkimus materiaalin pisteen (G, m ) on galilealaisen viitekehyksen R g , alistettiin voimien resultantti ulkopuolisen Σ;
• materiaalipisteiden (M 1 , m 1 ) ja (M 2 , m 2 ) tutkimus massakeskipisteen R 'vertailukehyksessä;
• siinä tapauksessa, että Σ on epämuodostumaton kiinteä aine, voidaan määritellä hitausmomentti J Δ (kg⋅m 2 ) verrattuna hetkellisen kulmakiihtyvyyden akseliin Δ, joka kuvaa kohteen massan jakautumista akselin ympäri, ja joka tarjoaa rotaatiolle yhtälön, joka on samanlainen kuin translaatiodynamiikan perusperiaate: M→=JΔa→{\ displaystyle {\ vec {\ mathcal {M}}} = \ mathrm {J} _ {\ Delta} {\ vec {\ alpha}}}.

Esimerkkejä

Valaistaanpa yksinkertaistamista, jonka inertiakeskus on tuonut esiin kahdessa erityistapauksessa.

Ensimmäinen tapaus on järjestelmä (aurinko, maa, kuu) ( kolmen ruumiin ongelma ) heliosentrisessä viitekehyksessä: voimme pitää maata ja kuuta kahtena aineellisena pisteenä,

• maapallo altistuu auringon vetovoimalle ja kuun vetovoimalle  ;F→S/T{\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {\ mathrm {S / T}}}F→L/T{\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {\ mathrm {L / T}}}
• kuu on alttiina auringon vetovoimalle ja maapallon vetovoimalle .F→S/L{\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {\ mathrm {S / L}}}F→T/L{\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {\ mathrm {T / L}}}

Tutkimuksen yksinkertaistamiseksi pidämme {Maa, Kuu} -järjestelmää ikään kuin se olisi yksi esine. Järjestelmän {maa, kuu} hitauskeskipisteeseen kohdistuvien voimien tulos on siis arvoinen . F→S/T+F→S/L{\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {\ mathrm {S / T}} + {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {\ mathrm {S / L}}}

Toinen tapaus on kahden pallon {1; 2} yhdistettynä jäykällä tankolla, jonka massa on merkityksetön, maanpäällisessä viitekehyksessä.

• Pallo 1 altistuu painolleen ja tangon välittämän toisen pallon toiminnalle  ;P→1{\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {P}}} _ {1}}F→2/1{\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {2/1}}
• pallo 2 altistuu painolleen ja tangon välittämän toisen pallon toiminnalle .P→2{\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {P}}} _ {2}}F→1/2{\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {1/2}}

Tutkimuksen yksinkertaistamiseksi tarkastelemme järjestelmää {1; 2} ikään kuin se olisi yksi esine. Toiminnan tulos, joka kohdistuu painopisteeseen {1; 2} rajoittuu myös ulkoisiin toimiin . P→1+P→2{\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {P}}} _ {1} + {\ vec {\ mathrm {P}}} _ {2}}

Epämuodostumattoman jatkuvan kiinteän aineen tapaus

Jatkuva kiinteä aine Σ määritetään sen tiheydellä ρ (M), jossa M on point: n piste. Katsotaan äärettömän pienen tilavuuden dV elementti M: n ympärillä; se muodostaa olennaisen pisteen (M, ρ (M) dV). Σ: n inertiakeskipiste määritetään ottamalla pisteiden matemaattinen painopiste (M, ρ (M) dV), joka on barycenterin jatkuva versio:

OG→=1m∫Σρ(M)OM→⋅dV{\ displaystyle {\ overrightarrow {\ mathrm {OG}}} = {\ frac {1} {m}} \ int _ {\ Sigma} \ rho (\ mathrm {M}) {\ overrightarrow {\ mathrm {OM} }} \ cdot \ mathrm {dV}}

kanssa

m=∫Σρ(M)dV {\ displaystyle m = \ int _ {\ Sigma} \ rho (\ mathrm {M}) \ mathrm {dV} ~}.

Galilean viitekehyksessä R g olevan aineellisen pisteen (G, m ) käännöksen perusperiaate kirjoitetaan

F→ext/Σ=mklo→G{\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {\ mathrm {ext} / \ Sigma} = m {\ vec {a}} _ {\ mathrm {G}}}

missä on Σ: hen vaikuttavien ulkoisten voimien tulos. F→ext/Σ{\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {\ mathrm {ext} / \ Sigma}}

Katso myös

• Painovoiman keskipiste
• Painekeskus

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">