Hitausmomentti

Halaaen kätensä kyljelleen, tämä luistelija vähentää hitausmomenttiaan ja lisää pyörimisnopeuttaan, koska kulmamomentti säilyy. Avaintiedot

SI-yksiköt	kg m 2
Ulottuvuus	M · L 2
Luonto	Koko tensori laaja
Tavallinen symboli	I , J Δ
Linkki muihin kokoihin	$I = \ sum_i m_ {i} r_ {i} ^ 2$

Hitausmomentti on fysikaalinen suure , joka on tunnusomaista geometria massojen kiinteä, eli jakelun aineen sisällä. Se määrittelee myös vastustuskyvyn kiintoaineen kiertonopeudelle (tai yleisemmin kulmakiihtyvyydelle ), ja sillä on mitta M · L 2 (massan ja neliön tulo, joka ilmaistaan kg m 2 on SI ). Se on analoginen kiinteään ja inertiamassan , joka puolestaan mittaa vastus kehon suoritettiin lineaarinen kiihtyvyys .

Yksinkertaisessa tapauksessa, kun massa pyörii kiinteän akselin ympäri, hitausmomentti tämän akselin suhteen on skalaarinen määrä, joka näkyy tämän akselin kulmamomentin ja kineettisen pyörimisenergian ilmaisuissa . Kuitenkin yleisessä pyörimisen tapauksessa akselin ympäri, jonka suunta vaihtelee ajan myötä, on tarpeen ottaa käyttöön toisen asteen symmetrinen tensori , hitausjännite. Akselijärjestelmä, joka tunnetaan päähitausakselina, on aina mahdollista valita siten, että tämän tensorin edustava matriisi on diagonaalinen. Kolme vastaavaa momenttia ovat pääasiallisia hitausmomentteja . Homogeenisen kiinteän aineen erityistapauksessa ne riippuvat vain tämän geometrisestä muodosta.

In materiaali mekaniikka nimi "hitausmomentti" käytetään joskus määrittämään stressiä palkin altistetaan taivutus . Kyse on sitten toisesta fyysisestä käsitteestä, jota kutsutaan myös toisen asteen hetkeksi ja jolla on fysikaaliselle määrälle L 4 (pituuden neljäs voima, ilmaistuna m 4 : nä SI: ssä).

Empiirinen lähestymistapa

Liikkeen vastustuskyky

Hitausmomentti on kiertoliikkeen analogi massan varten etenevän liikkeen : se heijastaa "vastus", joka elin vastustaa sen käynnistämistä varten.

Tämä vaikeus on sitä suurempi, kun kiintoaine pyörii, koska sen sisällä olevat massat ovat kaukana pyörimisakselista. Joten esimerkiksi luuta, joka on otettu käteen kahvan keskelle ( katso vastakkainen kuva), on helpompi saada se kääntymään kahvan akselin ympäri ( tapaus 1 ) kuin ilmoitetun poikittaisen akselin ympäri ( tapaus 2 ). Viimeksi mainitussa tapauksessa harja, jonka suhteellinen massa kahvaan nähden on tärkeä, sijaitsee kauempana pyörimisakselista kuin ensimmäisessä tapauksessa (massojen jakautumisessa pyörimisakselin ympäri on myös epäsymmetria ). Pyörivän kiinteän aineen kohdalla pisteen lineaarinen nopeus kasvaa suhteessa tähän etäisyyteen, on välttämätöntä, että tasaisella kulmanopeudella välitetään suurempi kineettinen energia kaukaisiin pisteisiin. Siksi harjan suurempi vastus kiertää poikittaisen akselin ympäri kuin kahvan akselin ympäri.

Liikkumiseen tarvittava energia

Tässä analogiassa liikkeen käynnistämiseen tarvittava energia muuttuu (tavalla tai toisella) kineettiseksi energiaksi . Kun kyseessä on etenemisliikkeen , kineettinen energia pisteen massa m on kaavasta . Kun kiintoaine pyörii kiinteän akselin ympäri, on mahdollista osoittaa, että kokonaiskineettinen energia on muodossa , jossa termi on tarkalleen hitausmomentti pyörimisakseliin nähden, ts. muodon, joka on samanlainen kuin käännösliikkeen kineettisen energian . Hitausmomentti näyttää siis kiinteän aineen (inertin) massan analogina siirtymäliikkeen ollessa kyseessä, ja liittyy siten jälkimmäisen "vastukseen", kun sitä "pyöritetään". Itse asiassa selitys empiiriselle ilmiölle, joka sisältää suuremman harjan "kääntyvyyden" riippuen siitä, onko aksiaalisen vai poikittaisen pyörimisakselin valinta yhteydessä siihen, että jälkimmäisessä tapauksessa hitausmomentti akseliin nähden on suurempi kuin ensimmäisessä. $E_k = \ frac {1} {2} mv ^ 2$ ${\ displaystyle E_ {k} = {\ frac {1} {2}} J _ {\ Delta} \, \ omega ^ {2}}$ ${\ displaystyle J _ {\ Delta}}$

Hitaushetken tunnistaminen ja määrittely

Antaa olla kiinteä , katsotaan koostuvan useista aineellisista massapisteistä , joiden keskinäiset etäisyydet ovat kiinteät. Tämä järjestelmä on pyörimisliikkeessä tutkimuksen vertailukehykseen kiinnitetyn akselin ympäri kulmanopeudella , joka on sama (tietyllä hetkellä) kaikille järjestelmän pisteille. Hitausmomentti akselin ympäri ilmestyy sitten luonnollisesti tarkasteltavan kiinteän aineen kineettisen energian ja kulmamomentin ilmaisuissa . $Puolivälissä}$ $puolivälissä}$ $\Delta$ $\ omega$ $\Delta$

Kineettinen pyörimisenergia

Kineettinen energia on suuri määrä , toisin sanoen sen arvo monimutkaisessa järjestelmässä on alkuaineiden arvojen summa, tarkasteltavan kiinteän aineen koko kineettinen energia ilmaistaan siis muodossa:

{\ displaystyle E_ {k} = \ summa _ {i} {\ tfrac {1} {2}} m_ {i} v_ {i} ^ {2} = \ summa _ {i} {\ tfrac {1} { 2}} m_ {i} (\ omega r_ {i}) ^ {2} = {\ tfrac {1} {2}} \ omega ^ {2} \ summa _ {i} m_ {i} r_ {i} ^ {2} \ {\ overset {\ mathrm {def}} {=}} \ {\ tfrac {1} {2}} J _ {\ Delta}. \ Omega ^ {2}}

kanssa:

${\ displaystyle r_ {i} = \ mathrm {H} _ {i} \ mathrm {M} _ {i}}$ , Etäisyys pisteen ja pyörimisakselin ( ilmaiseva projektio on ); ${\ displaystyle \ mathrm {M} _ {i}}$ $\Delta$ ${\ displaystyle \ mathrm {H} _ {i}}$ ${\ displaystyle \ mathrm {M} _ {i}}$ $\Delta$
${\ displaystyle J _ {\ Delta} = \ summa _ {i} m_ {i} r_ {i} ^ {2}}$ .

Tällä lausekkeella on ilmeinen analogia kineettisen energian kanssa aineellisen pisteen (tai kiinteän aineen suhteen), johon se on kirjoitettu . Pyörimisen tapauksessa kulmanopeus ω on lineaarisen nopeuden v homologi ja hitausmomentti massan m homologina . Hitausmomentti riippuu kuitenkin myös massojen jakautumisesta akselin ympäri ja sen arvo riippuu siten jälkimmäisen valinnasta. ${\ displaystyle E_ {k} = {\ tfrac {1} {2}} mv ^ {2}}$ $J_ \ Delta$ $\Delta$

Tämä (inertin) kiertomassan vastineena tämä termi heijastaa kiinteän aineen "vastustuskykyä" sen pyörimiselle, kuten edellisessä empiirisessä lähestymistavassa on osoitettu.

Kiintoaineen kineettinen pyörimismomentti

Samalla tavalla kuin kineettisellä energialla, ja tämän määrän suuresta luonteesta johtuen kiinteän aineen kulmamomentti suhteessa mihin tahansa akselin pisteeseen ilmaistaan muodossa, käyttäen samoja merkintöjä kuin aiemmin: ${\ displaystyle \ mathrm {O}}$

{\ displaystyle {\ vec {L}} _ {\ mathrm {O}} = \ sum _ {i} m_ {i} {\ overrightarrow {\ mathrm {OM} _ {i}}} \ wedge {\ vec { v}} _ {i} = \ summa _ {i} m_ {i} ({\ overrightarrow {\ mathrm {OH} _ {i}}} + {\ vec {r}} _ {i}) \ kiila { \ vec {v}} _ {i}}

Kun pisteen nopeus on annettu , kulmamomentin komponentti, joka on kolineaarinen pyörimisakselin kanssa, vastaa summan toista termiä ja on muodossa: ${\ displaystyle \ mathrm {M} _ {i}}$ $\ vec {v} _i = \ vec {\ omega} \ kiila \ vec {r} _i$ $\Delta$

{\ displaystyle {\ vec {L}} _ {\ Delta} = \ summa _ {i} m_ {i} {\ vec {r}} _ {i} \ kiila {\ vec {v}} _ {i} = \ summa _ {i} m_ {i} {\ vec {r}} _ {i} \ kiila \ vasen ({\ vec {\ omega}} \ kiila {\ vec {r}} _ {i} \ oikea ) = \ summa _ {i} m_ {i} \ vasemmalle (r_ {i} ^ {2} {\ vec {\ omega}} - ({\ vec {\ omega}} \ cdot {\ vec {r}} _ {i}) {\ vec {r}} _ {i} \ right) = \ left (\ sum _ {i} m_ {i} r_ {i} ^ {2} \ right) {\ vec {\ omega }} = J _ {\ Delta} {\ vec {\ omega}}}

, koska hypoteesin perusteella.

\ vec {\ omega} \ cdot \ vec {r} _i = 0

Molemmissa tapauksissa esiintyy ominaismäärä, joka riippuu vain kiinteän aineen massojen geometriasta, jota kutsutaan hitausmomentiksi akselin suhteen : $J_ \ Delta$ $\Delta$

J_ \ Delta = \ sum_i m_i r_i ^ 2

Huomaa : On huomattava, että kiintoaineen kulmamomentti pyörimisakselin pisteessä ei yleensä ole kolineaarinen tämän akselin kanssa. Vasta jos pyörimisakseli osuu kiinteän aineen päähitausakseliin, mikä pätee erityisesti, jos se on kiinteän aineen symmetria-akseli, toisin sanoen sekä geometrinen symmetria-akseli että kaikkien symmetrinen pistepari toiseen nähden , joka on kolineaarinen pyörimisakselin kanssa. Itse asiassa olemme sitten verranneet mihin tahansa pisteeseen, joka sijaitsee pyörimisakselilla. ${\ displaystyle {\ vec {L}} _ {\ mathrm {O}}}$ ${\ displaystyle \ mathrm {O}}$ ${\ displaystyle (\ mathrm {M} _ {i}, \ mathrm {M} _ {j})}$ ${\ displaystyle m_ {i} = m_ {j}}$ ${\ displaystyle {\ vec {L}} _ {\ mathrm {O}}}$ ${\ displaystyle {\ vec {L}} _ {\ mathrm {O}} = J _ {\ Delta} {\ vec {\ omega}}}$ ${\ displaystyle \ mathrm {O}}$

Hitausyksiköiden hetki

Määritelmänsä vuoksi hitausmomentilla on massan mitat neliön pituudella tai M · L 2 . Sen yksikkö kansainvälisessä yksikköjärjestelmässä voitaisiin siten luonnollisesti ilmaista kg ⋅ m 2 , yksikkönä, jolla ei ole oikeaa nimeä.

Voidaan kuitenkin huomata, että on suhteessa The pyörimisnopeus ω ei ilmaistu s -1 , mutta rad ⋅ s -1 . Kuitenkin, on määritelty suhde kahden pituuden, radiaani, katsotaan, joka on peräisin kansainvälisen järjestelmän koska 20 th General Conference BIPM on dimensioton seurauksena se ei vaikuta homogeenisuus yhtälön mitat ilmentymisen kineettisen energian . Ei kuitenkaan ole väärin, jos hitausmomentti ilmaistaan kg ⋅ m 2 ⋅ rad −2: na , mutta tämä valinta säilyy harvoin käytännössä. Sen ainoa mielenkiinto olisi muistuttaa, että se on yksikkö, joka on kiinnitetty nimenomaan pyörimisliikkeeseen , kuten kaikki yksiköt, joissa radiaani esiintyy. ${\ displaystyle E = {\ frac {1} {2}} J _ {\ Delta}. \ omega ^ {2}}$

Yleistys mihin tahansa kiinteään aineeseen

Jatkona kiinteässä aineessa, jota pidetään yhtenäisenä aineellisten pisteiden joukkona, johon tiheys vaikuttaa , hitausmomentti kirjoitetaan: $x$ $\ rho$

{\ displaystyle J _ {\ Delta} \ {\ overset {\ mathrm {def}} {=}} \ \ iiint d (x, \ Delta) ^ {2} \; \ mathrm {d} m = \ iiint d (x, \ Delta) ^ {2} \, \ rho \; \ mathrm {d} V}

tai

$d (x, \ Delta)$ on pisteen ja A-akselin välinen etäisyys ; $x$
$\ mathrm dV$ on alkeis tilavuus noin ; $x$
$\ mathrm dm$ on tämän perustilavuuden massa;
$\ rho$ on tiheys ympärillä . $x$

Tämä määritelmä voi olla myös vektorimuodossa :

{\ displaystyle J _ {\ Delta} \ {\ overset {\ mathrm {def}} {=}} \ \ iiint {\ bigl \ |} {\ vec {e}} _ {\ Delta} \ wedge {\ overrightarrow {\ mathrm {OM}}} {\ bigr \ |} ^ {2} \ mathrm {d} m = \ iiint {\ bigl \ |} {\ vec {e}} _ {\ Delta} \ wedge {\ overrightarrow {\ mathrm {OM}}} {\ bigr \ |} ^ {2} \, \ rho \; \ mathrm {d} V}

tai

${\ displaystyle \ mathrm {O}}$ on piste akselilla ; $\Delta$
${\ displaystyle \ mathrm {M}}$ on tarkasteltavan kiinteän aineen piste;
$\ vec {e} _ \ Delta$ on akselin yksikkövektori ; $\Delta$
$\ kiila$ tarkoittaa ristitulo ja euklidinen normi . ${\ displaystyle \ | \, \ |}$

Yleistäminen mihin tahansa järjestelmään

Tarkkaan ottaen hitausmomentin käsite määritellään vain, jos määrä voidaan eristää kineettisen energian tai kiertomomentin ilmaisuista, toisin sanoen sikäli kuin kulmanopeus on sama tietyllä hetkellä. Tämä pätee vain deformoitumattoman kiinteän aineen malliin. $\ sum_ {i} m_ir_i ^ 2$

Edellä oleva määritelmä voi kuitenkin ulottua deformoituvaan järjestelmään, koska siinä ei esiinny erilaista kiertymistä tai että tämän järjestelmän vaikutus voidaan jättää huomioimatta, jotta voidaan ajatella, että järjestelmän kaikilla pisteillä on tiettynä ajankohtana sama kulmanopeus. Esimerkiksi nivelletty järjestelmä, joka koostuu useista kiinteistä aineista, jotka on linkitetty toisiinsa linkkien avulla, kiertäen kiinteän akselin ympäri, jos eri osien väliset pyörimisnopeudet ovat pienet verrattuna "globaaliin" kiertonopeuteen. Deformoituvassa järjestelmässä hitausmomentti ei kuitenkaan ole enää vakio ajan myötä.

Hitausmomentti ja kulmamomentti

Vertailussa välisen kiertoliikkeen ja etenevän liikkeen , impulssimomentti on homologi liikkeen määrä , ja eristetyn järjestelmä on konservatiivinen suuruus.

Kuten aiemmin todettiin, hitausmomentin määritelmästä seuraa, että mitä enemmän kiinteän aineen muodostavat massat jakautuvat kauas pyörimisakselista, sitä suurempi on sen hitausmomentti tähän akseliin nähden. Koska kulmamomentin aksiaalikomponentti on yhtä suuri kuin hitausmomentti kerrottuna sen kulman pyörimisnopeudella, ja konservatiivisen luonteensa vuoksi, jos järjestelmän hitausmomentti pienenee sen geometrian sisäisen vaihtelun vuoksi, pyörimisnopeuden täytyy kasvaa (ja päinvastoin).

Täten luistelija tuo kätensä lähemmäksi vartaloaan piruetin aikana . Tämä vähentää sen hitausmomenttia, mikä kulmamomentin säilyttämisen myötä tarkoittaa suurempaa pyörimisnopeutta.

Samoin lapset, jotka pelaavat pyörivää pyöröporttia juoksemalla sen rinnalla, saavuttavat pyörimisnopeuden, jonka heidän lyönninsä rajoittaa. Sitten he voivat hypätä liikkuvan kääntöportin päälle ja sitten sijoittua sen keskelle, mikä lisää merkittävästi alun perin saavutettua pyörimisnopeutta .

Yleistapaus: hitausjännite

Hitausmomentin käsite on osoitettu kiertoliikkeestä kiinteän aineen kiinteän akselin ympäri. Kiinteän aineen yleinen liike mihin tahansa viitekehykseen (R) nähden voidaan kuitenkin jakaa sen inertian keskipisteeseen C (vaikuttaa järjestelmän kokonaismassaan) ja oikeaan kiertoliikkeeseen kehän C ympärillä viittaus liittyy tähän pisteeseen, on käännös suhteessa (R) , jota kutsutaan barycentric viitekehyksen (huomattava (R * ) )

Sitten on mahdollista ilmaista aikaisemmin systeemille ominainen kulmamomentti ja kineettinen energia, toisin sanoen arvioitu (R * ) , merkitään vastaavasti ja mikä myös antaa mahdollisuuden korostaa vain neometriasta riippuva määrä ne kiinteän aineen massoista ja yleistämällä edellisen käsityksen, jota ei enää supisteta skalaarimääräksi, mutta jota edustaa tensori , inertiatensori (jota kutsutaan myös operaattoriksi tai inertiamatriisiksi). $\ vec {L} ^ *$ $E_c ^ *$

Inertiatensorin tunnistaminen ja määrittely

Kiinteän aineen oikea kulmamomentti hetkellisen pyörimisvektorin kanssa kirjoitetaan: $\ vec {L} ^ *$ $\ vec {\ omega} (t)$

\ vec {L} ^ * = \ summa_ {i} m_i \ vec {r} _i \ kiila \ vec {v} _i ^ * = \ summa_ {i} m_i \ vec {r} _i \ kiila \ vasen (\ vec {\ omega} \ wedge \ vec {r} _i \ right) = \ sum_ {i} m_i \ left (r_i ^ 2 \ vec {\ omega} - \ left (\ vec {\ omega} \ cdot \ vec {r } _i \ oikea) \ vec {r} _i \ oikea)

On mahdollista ilmaista esimerkiksi seuraava komponentti x suorakulmaisissa koordinaateissa, mikä antaa:

{\ displaystyle L_ {x} ^ {*} = \ summa _ {i} m_ {i} r_ {i} ^ {2} \ omega _ {x} - \ summa _ {i} m_ {i} \ vasemmalle ( x_ {i} \ omega _ {x} + y_ {i} \ omega _ {y} + z_ {i} \ omega _ {z} \ oikea) x_ {i} = \ vasen (\ summa _ {i} m_ {i} \ vasen (y_ {i} ^ {2} + z_ {i} ^ {2} \ oikea) \ oikea) \ omega _ {x} - \ vasen (\ summa _ {i} m_ {i} x_ {i} y_ {i} \ oikea) \ omega _ {y} - \ vasen (\ sum _ {i} m_ {i} x_ {i} z_ {i} \ oikea) \ omega _ {z}}

Tässä ilmaisu, tekijät suluissa edustavat vastaavasti hitausmomentti kiinteän suhteen akselin O x , huomattava , ja kahta homogeenista ehdoin hitausmomentti, kutsutaan tuotteet inertia , huomattava ja . On mahdollista kirjoittaa muodossa: ${\ displaystyle I _ {\ mathrm {O} x}}$ $I_ {xy}$ $I_ {xz}$ $L_x$

{\ displaystyle L_ {x} = {\ aloita {bmatrix} I _ {\ mathrm {O} x} & - I_ {xy} & - I_ {xz} \ end {bmatrix}} {\ vec {\ omega}} }

ja toimimalla samalla tavalla muiden komponenttien kohdalla, se tulee lopulta oikean kulmamomentin ilmaisuksi muodossa:

\ vec {L} ^ * = \ bar {\ bar {I}} \ vec {\ omega}

kanssa tensor (tai operaattori) inertia, joka on määritelty: $\ bar {\ bar {I}}$

{\ displaystyle {\ bar {\ bar {I}}} = {\ begin {bmatrix} I _ {\ mathrm {O} x} & - I_ {xy} & - I_ {xz} \\ - I_ {xy} & I_ {\ mathrm {O} y} & - I_ {yz} \\ - I_ {xz} & - I_ {yz} & I _ {\ mathrm {O} z} \ end {bmatrix}} = {\ alkaa {bmatrix} \ summa _ {i} m_ {i} (y_ {i} ^ {2} + z_ {i} ^ {2}) & - \ summa _ {i} m_ {i} x_ {i} y_ { i} & - \ summa _ {i} m_ {i} x_ {i} z_ {i} \\ - \ summa _ {i} m_ {i} x_ {i} y_ {i} & \ summa _ {i} m_ {i} (x_ {i} ^ {2} + z_ {i} ^ {2}) & - \ summa _ {i} m_ {i} y_ {i} z_ {i} \\ - \ summa _ { i} m_ {i} x_ {i} z_ {i} & - \ summa _ {i} m_ {i} y_ {i} z_ {i} & \ summa _ {i} m_ {i} (x_ {i} ^ {2} + y_ {i} ^ {2}) \ end {bmatrix}}}

ilmaisu, jossa diagonaaliset elementit ovat kiinteän aineen hitausmomentteja eri akseleiden suhteen, ja ei-diagonaaliset elementit ovat inertian tuotteita . Vastaavasti oma kineettinen energia voidaan kirjoittaa . $E_c ^ * = \ tfrac {1} {2} \ vec {\ omega} \ cdot (\ bar {\ bar {I}} \ vec {\ omega})$

On selvää, että se riippuu vain kiinteän aineen massojen geometriasta. Edeltävistä suhteista seuraa, että yleisessä tapauksessa järjestelmän oma kulmamomentti ei ole kolineaarinen hetkellisen pyörimisakselin kanssa, edelliset suhteet yleistävät ne, jotka saadaan kiinteän akselin ympäri kiertämisen yhteydessä. $\ bar {\ bar {I}}$

Hitausmomentti määrittelemättömän akselin suhteen yksikkövektorin antamaan suuntaan saadaan sitten . ${\ vec {n}}$ $I = \ vec {n} \ cdot (\ bar {\ bar {I}} \ vec {n})$

Tensorimerkki - Päähitausakselit $\ bar {\ bar {I}}$

Tensorin yleinen ilmentymä

\ bar {\ bar {I}}

On helppo osoittaa, että tensori on. Todellakin, hyväksymällä merkintä on mahdollista ilmoittaa, että komponentti on laitetaan seuraavassa muodossa: $\ bar {\ bar {I}}$ $x_ {i, 1} = x_i, x_ {i, 2} = y_i, x_ {i, 3} = z_i$ $Minä _ {\ alfa \ beta}$ $\ bar {\ bar {I}}$

I _ {\ alpha \ beta} = \ vasen (\ sum_ {i} m_ir_i ^ 2 \ oikea) \ delta _ {\ alpha \ beta} - \ sum_ {i} m_ix_ {i, \ alpha} x_ {i, \ beeta}

Ensimmäinen termi on skalaarin (hitausmomentti pisteeseen O verrattuna ) tulos tensorilla ( Kronecker-tensori ). Toinen termi vastaa summa, jossa kukin termi vastaa tuotteen skalaari (massa m i ) mukaan . Nämä ovat kuitenkin tensorin komponentit, jotka johtuvat itse vektorin tensorituotteesta , siis tensorin komponentit. Näin ollen se on todellakin kahden järjestyksen tensori: tämä oli välttämätöntä, jotta varmistettaisiin muuttumattomuus muuttamalla edellisten lausekkeiden ja . Tämä tensori on ilmeisesti symmetrinen. $\ sum_ {i} m_ir_i ^ 2$ $\ delta_ {ij}$ $T_ {i, \ alpha \ beta} = x_ {i, \ alpha} x_ {i, \ beta}$ $\ vec {r} _i$ $\ bar {\ bar {I}}$ $\ vec {L} ^ *$ $E_c ^ *$

Kiinteän aineen päähitausakselit ja materiaalisymmetriaelementit

Symmetrisen luonteensa vuoksi on aina mahdollista valita akselijärjestelmä siten, että edustava matriisi on lävistäjä. Tällaisia akseleita kutsutaan päähitausakseleiksi . Vastaavia hitausmomentteja kutsutaan päähitausmomenteiksi , ja ne huomioidaan . Niiden arvot riippuvat kiinteän aineen geometrisesta muodosta ja massan jakautumisesta sen sisällä, siis ilmaisusta, jonka sen tiheys saa kiinteän aineen kussakin kohdassa. Homogeeniselle kiinteälle aineelle ρ on vakio, ja päähitausmomentit riippuvat sitten vain kiinteän aineen geometrisesta muodosta. $\ bar {\ bar {I}}$ $I_1, I_2, I_3$ $\ rho (\ vec {r})$

Yleensä kaikilla kiinteillä aineilla on kolme erilaista päähitausmomenttia, sitä kutsutaan epäsymmetriseksi kiekkoa . Jos esimerkiksi kaksi päähitausmomenttia ovat yhtä suuret, runkoa kutsutaan symmetriseksi yläosaksi ja jos kaikki päämomentit ovat samat, pallomaiseksi yläosaksi . Esimerkiksi mikä tahansa homogeeninen suuntaissärmiö on epäsymmetrinen yläosa, kartio tai homogeeninen sylinteri symmetrinen yläosa ja homogeeninen pallo pallomainen yläosa. Maata pidetään myös pylväissä tasaantumisensa vuoksi yleensä symmetrisenä yläosana. $I_1 = I_2 \ neq I_3$

Materiaalien symmetriaelementtien läsnäolo yksinkertaistaa suuresti hitausakselien etsimistä. Tällaisten alkuaineiden läsnä ollessa tietyt hitausominaisuudet, jotka ovat luonteeltaan parittomia heijastuksilla, kumoavat toisensa, mikä mahdollistaa edustavan matriisin diagonaalisuuden helposti . $\ bar {\ bar {I}}$

Symmetriaelementin (piste, viiva, taso) materiaali ei ole vain elementti, jota vastaan kiinteä aine on geometrisesti symmetrinen, vaan myös sen tiheys, jolla on sama symmetria. Homogeenisella sylinterillä on siis materiaalisymmetrinen akseli (sen akseli), jonka läpi kulkee materiaalien symmetriatasojen ääretön raja, samoin kuin toinen materiaalisymmetriataso, joka on kohtisuorassa akseliinsa nähden ja joka kulkee sylinterin keskiosan läpi. Toisaalta, jos sylinteri koostuu kahdesta puolisylinteristä, jotka ovat molemmat homogeenisia, mutta eri tiheyksiä, vierekkäin tasossaan, joka sisältää niiden akselit, sylinterillä on edelleen edellinen materiaalinen symmetriataso, mutta sen akseli ei ole enää akseli aineellisen symmetrian. Toisaalta kahden puolisylinterin yhteinen symmetriataso on aina järjestelmän materiaalinen symmetriataso.

Inertiatuotteiden aiemmat lausekkeet huomioon ottaen on mahdollista osoittaa seuraavat ominaisuudet:

Mikä tahansa aineellinen symmetria-akseli on päähitausakseli;
Mikä tahansa materiaalin symmetriatasoon kohtisuorassa oleva akseli on päähitausakseli;

Täten homogeenisen sylinterin päähitausakselina on sen akseli samoin kuin minkä tahansa siihen kohtisuoran akselin, joka kulkee sen keskipisteen läpi. Näin ollen kaksi päähitausmomenttia ovat yhtä suuret ja hitausjännityksen tensori on tässä muodossa seuraava:

\ bar {\ bar {I}} = \ begin {bmatrix} I_1 & 0 & 0 \\ 0 & I_1 & 0 \\ 0 & 0 & I_3 \ end {bmatrix}

. Siksi se on symmetrinen yläosa. Suhde massajakauman kvadrupolimomenttiin

Painovoiman potentiaali luomien materiaalin jakeluun olevia massoja ei ole yleensä pienenee muotoon saadaan tapauksessa massan jakautuminen pallomainen symmetria. Useimmilla taivaankappaleilla (tähdet, planeetat jne.) On kuitenkin suunnilleen tämä symmetria ja poikkeamat pallomaisuudesta ovat edelleen pieniä. Nämä vaihtelut liittyvät ilmeisesti aineen jakautumiseen massajakauman sisällä, ja siksi niiden on oltava (ainakin ensimmäisten korjausten osalta) suhteessa jakauman hitausjännitystensoriin (rinnastettu täydelliseen kiinteään aineeseen jatko-osassa): itse asiassa on helppo osoittaa, että pallomaisen potentiaalin ensimmäiseen nollasta poikkeavaan korjaukseen liittyy tensorimäärä, massajakauman kvadrupolimomenttensori , jonka komponentit ilmaistaan yksinkertaisella tavalla inertiatensorin komponenttien mukaisesti. $Puolivälissä}$ $puolivälissä}$

Yleensä suurella etäisyydellä massajakaumasta syntyvä potentiaali voi olla moninapainen kehitys : kukin materiaalipiste, joka muodostaa jakauman (kokonaismassan ), jonka vektori tunnistaa alkuperän O suhteen, tuottaa potentiaalissa $\ sum_i m_i = M$ $\ vec {r} _i = \ ylisuuri {OM_i}$ $\ vec {r} = \ ylisuuri {OM}$

\ phi_i (\ vec {r}) = - \ frac {Gm_i} {r} \ sum_ {k = 0} ^ {\ infty} \ vasen (\ frac {r_i} {r} \ oikea) ^ k P_k (\ cos \ theta_i)

jossa on välinen kulma ja ja on Legendren polynomi järjestyksessä k . $\ theta_i$ $\ vec {r}$ $\ vec {r} _i$ $P_k (z)$

Kuten r >> r i, on mahdollista rajoittua kolmelle ensimmäiselle termille, mikä antaa:

\ phi_i (\ vec {r}) \ approx - \ frac {Gm_i} {r} \ vasen (1+ \ frac {r_i \ cos \ theta_i} {r} + \ frac {r_i ^ 2 (3 \ cos ^ 2 \ theta_i-1)} {2r ^ 2} \ oikea)

josta otetaan huomioon : $\ cos \ theta_i = \ frac {\ vec {r} _i \ cdot \ vec {r}} {rr_i}$

\ phi_i (\ vec {r}) \ approx - \ frac {Gm_i} {r} \ vasen (1+ \ frac {\ vec {r} \ cdot \ vec {r} _i} {r ^ 2} + \ frac {(3 (\ vec {r} \ cdot \ vec {r} _i) ^ 2-r ^ 2r_i ^ 2)} {2r ^ 4} \ oikea)

M- jakauman tuottama potentiaali on yhtä suuri kuin potentiaalien summa , ja jokainen kolmesta termistä laitetaan sitten muotoon: $\ phi_i (\ vec {r})$

aikavälin järjestyksen 0 tai Polar : . Se on pallom symmetrinen potentiaali, jonka syntyy pistemassan M alkupisteessä O ; $\ Phi ^ {(0)} (\ vec {r}) = - \ frac {GM} {r}$
järjestysluku 1 tai dipoli : kulta, jonka lähtökohtana on järjestelmän massakeskus, ja termi dipoli on nolla; $\ Phi ^ {(1)} (\ vec {r}) = - \ frac {G \ vec {r}} {r ^ 3} \ cdot (\ sum_i m_i \ vec {r} _i)$ $\ sum_i m_i \ vec {r} _i = \ vec {0}$
aikavälin järjestyksen 2 tai quadrupolimassaspektrometria : . $\ Phi ^ {(2)} (\ vec {r}) = - \ frac {G} {2r ^ 5} \ sum_ {i} m_i \ left [3 \ left (\ vec {r} \ cdot \ vec { r} _i \ oikea) ^ 2-r ^ 2r_i ^ 2 \ oikea]$

Tämä viimeinen termi on siis ensimmäinen korjaus, a priori nollasta poikkeava, mikä heijastaa massajakauman aikaansaaman gravitaatiopotentiaalin pitkän matkan ei-pallomaisuutta. Siinä näkyvä summa yli i voidaan kirjoittaa uudelleen seuraavasti:

\ sum_ {i} m_i \ left [3 \ left (\ vec {r} \ cdot \ vec {r} _i \ right) ^ 2-r ^ 2r_i ^ 2 \ right] = \ vec {r} \ cdot (\ palkki {\ bar {Q}} \ vec {r})

missä on massajakauman kvadrupolimomentti : $\ bar {\ bar {Q}}$

\ bar {\ bar {Q}} = \ begin {bmatrix} 3 \ sum_i m_ix_i ^ 2- \ sum_i m_ir_i ^ 2 & 3 \ sum_i m_ix_iy_i & 3 \ sum_i m_i x_iz_i \\ 3 \ sum_i m_i x_iy_i & 3 \ sum_i m_iy_i ^ 2 - \ sum_i m_ir_i ^ 2 & 3 \ sum_i m_i y_iz_i \\ 3 \ sum_i m_ix_iz_i & 3 \ sum_i m_iy_iz_i & 3 \ sum_i m_i z_i ^ 2- \ sum_i m_i r_i ^ 2 \ end {bmatrix}

, Tämän tensorin kukin komponentti on näin muotoiltu: ja kun otetaan huomioon voimakkaan inertiatensorin komponenttien yleinen ilmaisu , lopulta yleinen lauseke ,

Q _ {\ alpha \ beta} = 3 \ sum_i m_i x_ {i, \ alpha} x_ {i, \ beta} - \ delta _ {\ alpha \ beta} \ sum_i m_i r_i ^ 2

I _ {\ alpha \ beta} = \ vasen (\ sum_ {i} m_ir_i ^ 2 \ oikea) \ delta _ {\ alpha \ beta} - \ sum_ {i} m_ix_ {i, \ alpha} x_ {i, \ beeta}

Q _ {\ alpha \ beta} = \ mathrm {Tr} (\ bar {\ bar {I}}) \ delta _ {\ alpha \ beta} -3I _ {\ alpha \ beta}

missä osoittaa matriisin jäljen, joka edustaa hitausjännityksen tenoriaa, ts. sen diagonaalitermien summaa.

\ mathrm {Tr} (\ bar {\ bar {I}})

Päähitausakselit, joille edustamatriisi on diagonaalinen, muodostavat myös pohjan, joka on myös diagonaalinen, ja jälkimmäisen komponentit saavat siitä lausekkeen . $\ bar {\ bar {I}}$ $\ bar {\ bar {Q}}$ $Q_ \ alpha = (I_1 + I_2 + I_3) -3I_ \ alfa$

Siinä tapauksessa, että massajakauma on pallosymmetrinen, kaikki päähitausmomentit ovat samat ja niin edelleen . Tämä tulos on fyysisesti ilmeinen, ja itse asiassa tässä tapauksessa kaikki edellisen moninapaisen kehityksen korkeamman asteen ehdot ovat myös nollia. $\ bar {\ bar {Q}} = 0$

Planeetta kuin Maan käyttäytyy kuin symmetrinen yläosa, jonka pääakseli inertia pitkin Oz käytännössä vastaa sen pyörimisakselin. Tässä tapauksessa edellisten kaavojen mukaan suurella etäisyydellä oleva painovoimapotentiaali asetetaan muotoon: $I_1 = I_2 <I_3$

\ Phi (\ vec {r}) \ approx \ frac {-Gm} {r} + \ frac {GM_T (I_3-I_1)} {r ^ 3} \ vasen [3 \ cos ^ 2 \ theta-1 \ oikea ]

, missä on Oz: n inertia-pääakselin suunnan ja pääkulman välinen kulma .

\ theta

\ vec {r}

Ellipsoidi hitaus

Minkä tahansa kiinteän hitausmomentti inertiatensorilla minkä tahansa akselin suhteen, jonka suunnan yksikkövektori antaa, saadaan: $\ bar {\ bar {I}}$ ${\ vec {n}}$

{\ displaystyle I = {\ vec {n}} \ cdot ({\ bar {\ bar {I}}} {\ vec {n}})}

asettamalla tämä suhde voidaan esittää muodossa: $\ vec {\ rho} = \ frac {\ vec {n}} {\ sqrt {I}}$

{\ displaystyle {\ vec {\ rho}} \ cdot ({\ bar {\ bar {I}}} {\ vec {\ rho}}) = 1}

selittämällä tämän vektorin komponenteilla saadaan ellipsoidin yhtälö : $(\ rho_x, \ rho_y, \ rho_z)$

{\ displaystyle I _ {\ mathrm {O} x} \ rho _ {1} ^ {2} + I _ {\ mathrm {O} y} \ rho _ {2} ^ {2} + I _ {\ mathrm {O} z} \ rho _ {3} ^ {2} + 2I_ {xy} \ rho _ {1} \ rho _ {2} + 2I_ {xz} \ rho _ {1} \ rho _ {3} + 2I_ {yz} \ rho _ {2} \ rho _ {3} = 1}

joka muodostaa päähitausakselit erityisen yksinkertaisessa muodossa:

I_1 \ rho_1 ^ 2 + I_2 \ rho_2 ^ 2 + I_3 \ rho_3 ^ 2 = 1

Tätä ellipsoidia kutsutaan inertia-ellipsoidiksi . Symmetrisen yläosan tapauksessa se on vallankumouksen ellipsoidi ja pallomaisen yläosan tapauksessa pallon. Tällä käsitteellä on nykyään yleensä vain historiallinen mielenkiinto, mutta on mielenkiintoista huomata, että päähitausakselit ovat inertian ellipsoidin pääakselit.

Erityiset hitaushetket

Seuraavissa esimerkeissä tarkastellaan homogeenista ( vakio) ja massamassaa . $\ rho$ $M$

Pallo

Jotta homogeeninen pallo , jonka säde on ja keskustan , jäyhyysmomentit keskellä pallon suhteen kolmen akselin ovat yhtä suuret. Siksi voimme kirjoittaa: $R$ $O$

{\ displaystyle J _ {\ Delta} = {\ frac {1} {3}} (J _ {\ mathrm {O} x} + J _ {\ mathrm {O} y} + J _ {\ mathrm {O } z}) = {\ frac {1} {3}} \ int _ {V} [(y ^ {2} + z ^ {2}) + (z ^ {2} + x ^ {2}) + (x ^ {2} + y ^ {2})] \, \ mathrm {d} m = {\ frac {2} {3}} \ int _ {V} (x ^ {2} + y ^ {2 } + z ^ {2}) \, \ mathrm {d} m = {\ frac {2} {3}} \ int _ {V} r ^ {2} \, \ mathrm {d} m}

Merkitsemällä tiheydellä siis: $\ rho$ ${\ displaystyle \ mathrm {d} m = \ rho \, 4 \ pi r ^ {2} \ mathrm {d} r}$

{\ displaystyle J _ {\ Delta} = {\ frac {2} {3}} \ int _ {0} ^ {R} r ^ {2} (\ rho \, 4 \ pi r ^ {2} \ mathrm {d} r) = {\ frac {8} {15}} \ pi R ^ {5} \ rho}

Kun pallon massa on , saamme: ${\ displaystyle M = {\ frac {4} {3}} \ pi R ^ {3} \ rho}$

{\ displaystyle J _ {\ Delta} = {\ frac {2} {5}} M \, R ^ {2}}

Pallo (ontto)

Jos pallo (suluissa pallo on pinta, siis ontto), kuten pallo, Hitausmomenttien kulkee sen keskusta ovat yhtä suuret. Tässä tapauksessa, jos sen säde on , meillä on: $R$

{\ displaystyle J _ {\ Delta} = {\ frac {2} {3}} MR ^ {2}}

Suljettu

Jos poikkileikkauksen ja pituuden tanko on merkityksetön , hitausmomentti tankoon kohtisuoraa akselia pitkin on sen keskellä: $L$

J_ \ Delta = \ int _ {- L / 2} ^ {+ L / 2} x ^ 2 \ rho \, \ mathrm dx = \ frac {1} {12} \ rho L ^ 3 = \ frac {1} {12} ML ^ 2

, (kanssa )

M = \ rho L

Tässä, ilmentävät lineaarinen tiheys (massa pituusyksikköä kohden). $\ rho$

Tämä pätee, jos pyörimisakseli kulkee tangon keskiosan läpi. Kaava on erilainen, jos pyörimisakseli kulkee päänsä läpi.

Neliö

Sivun neliön kohdalla hitausmomentti neliön tasoon nähden kohtisuoraa akselia pitkin on sen keskellä: $klo$

{\ displaystyle J _ {\ Delta} = \ int _ {- a / 2} ^ {+ a / 2} \ int _ {- a / 2} ^ {+ a / 2} (x ^ {2} + y ^ {2}) \ rho \, \ mathrm {d} x \ mathrm {d} y = {\ frac {\ rho} {6}} a ^ {4} = {\ frac {1} {6}} Ma ^ {2}}

, (kanssa )

M = \ rho a ^ 2

Tässä, ilmentävät pinta massa (massa pinta-alayksikköä kohti). $\ rho$

Suorakulmio

Suorakulmion, jolla on pitkä ja lyhyt sivu , hitausmomentti suorakulmion tasoon nähden kohtisuoraa akselia pitkin (tässä akseli Oz ) on sen keskellä: $b$ $vs.$

{\ displaystyle J _ {\ Delta} = \ int _ {- b / 2} ^ {+ b / 2} \ int _ {- c / 2} ^ {+ c / 2} (x ^ {2} + y ^ {2}) \ rho (x, y) \, {\ mathrm {d}} x {\ mathrm {d}} y = {\ frac {\ rho} {12}} bc ^ {3} + {\ frac {\ rho} {12}} cb ^ {3} = {\ frac {1} {12}} M (b ^ {2} + c ^ {2})}

, (kanssa )

M = \ rho bc

Tässä, ilmentävät pinta massa (massa pinta-alayksikköä kohti) on homogeeninen pinta, joten se ei ole riippuvainen x ja y . Huomaa, että jos palaamme takaisin neliön tapaukseen. $\ rho$ ${\ displaystyle b = c}$

Suuntaissärmiö

Tapauksessa suuntaissärmiö korkeus , pitkän sivun ja lyhyen sivun , hitausmomentti pitkin akselia pitkin sen korkeus ja sen keskellä on sama kuin suorakulmio. Toisin sanoen suuntaissärmiön korkeudella ei ole mitään merkitystä: $h$ $b$ $vs.$

{\ displaystyle J _ {\ Delta} = {\ frac {1} {12}} M (b ^ {2} + c ^ {2})}

Täysi sylinteri

Sylinterimäinen koordinaatit käytetään laskennan yksinkertaistamiseksi. Säteen ja korkeuden sylinterin tapauksessa hitausmomentti sylinterin kierrosakselia Oz pitkin on: $R$ $h$

{\ displaystyle {J _ {\ Delta}} _ {z} = \ int _ {0} ^ {R} r ^ {2} \ rho 2 \ pi rh \, \ mathrm {d} r = {\ frac { 1} {2}} \ rho \ pi R ^ {4} h = {\ frac {1} {2}} MR ^ {2}}

, (kanssa )

M = \ rho \ pi R ^ 2 h

Tässä, ilmentävät tiheys (massa tilavuusyksikköä kohti). $\ rho$

On myös mahdollista määrittää hitausmomentti mitä tahansa akselia Ox pitkin kohtisuorassa sylinterin pyörimisakseliin Oz. Se kannattaa:

{\ displaystyle {J _ {\ Delta}} _ {x} = {\ frac {MR ^ {2}} {4}} + {\ frac {Mh ^ {2}} {12}}}

Ontto sylinteri

Ontto sylinteri, jolla on sisä- ja ulkosäteet ja korkeus , on hitausmomentti sylinterin akselilla: $R_1$ $R_2$ $h$

{\ displaystyle J _ {\ Delta} = \ int _ {R_ {1}} ^ {R_ {2}} r ^ {2} (\ rho 2 \ pi rh \, \ mathrm {d} r) = 2 \ rho \ pi h \ left [{\ frac {r ^ {4}} {4}} \ right] _ {R_ {1}} ^ {R_ {2}} = {\ frac {1} {2}} \ rho \ pi h (R_ {2} ^ {4} -R_ {1} ^ {4}) = {\ frac {1} {2}} M (R_ {2} ^ {2} + R_ {1} ^ {2})}

(missä sylinterin massa )

M = \ rho \ pi h (R_2 ^ 2 - R_1 ^ 2)

Tässä, ilmentävät tiheys (massa tilavuusyksikköä kohti). $\ rho$

Kartio

Kartion (kiinteän) kartion, jonka pohjan säde on , sen hitausmomentti korkeudeltaan on: $R$

{\ displaystyle J _ {\ Delta} = {\ frac {3} {10}} MR ^ {2}}

, kanssa .

{\ displaystyle M = \ rho \, {\ frac {\ pi R ^ {2} h} {3}}}

Huomaa, että hitausmomentin ilmaisu sen massan ja pohjan säteen funktiona ei riipu kartion korkeudesta.

Torus

Jos torus parametreilla ja , sen hitausmomentti pitkin sen pyörähdysakselin on: $R$ $r$

{\ displaystyle J _ {\ Delta} = M \ vasen (R ^ {2} + {\ frac {3} {4}} r ^ {2} \ oikea)}

Ohut rengas

Säteen ja lineaarisen tiheyden (massa / pituusyksikkö) ohuelle renkaalle (jonka paksuus on merkityksetön) kaikki elementit ovat samalla etäisyydellä akselista: $R$ $\ mu$

{\ displaystyle J _ {\ Delta} = M \, R ^ {2} = (\ mu \, 2 \ pi R) R ^ {2} = 2 \ pi R ^ {3} \ mu}

Kuljetuslause (tai Huygens-Steiner-lause)

Anna akseli kulkevat massakeskipisteen esineen massa , ja akselin suuntaisesti ja kaukana . Laskettaessa kuten ennen hitausmomenttia, on Christian Huygensin vahvistama suhde, joka tunnetaan nimellä kuljetuslause tai lause Huygens tai lause Steiner tai yhdensuuntaisen akselin lause antaa hitausmomentin funktiona : $\Delta$ $M$ $\Delta'$ $\Delta$ $d$ $J _ {\ Delta '}$ $J_ \ Delta$

{\ displaystyle J _ {\ Delta '} = J _ {\ Delta} + M \, d ^ {2}}

Rungolle ominaiseen liike-energiaan lisätään sen massakeskipisteen ympyränmuotoinen "käännös", johon kiinteän aineen kokonaismassa on osoitettu.

Huygensin lauseen välitön seuraus on, että kehoa on halvempaa kiertää massan keskipisteen läpi kulkevan akselin ympäri.

Huomautuksia ja viitteitä

Todellakin on välttämättä kohtisuora , joka itse on kolineaarinen akselin kanssa , O on tällä akselilla. $\ overrightarrow {OH_ {i}} \ wedge {\ vec {vb}} _ {i}$ $\ overrightarrow {OH_ {i}}$ $\Delta$
Resoluutio 8 20 : nnen CGPM (1995) , bipm.org.
Tämä on muodonmuutosjärjestelmä, mutta jonka osalta voidaan katsoa, että pyörimisnopeus kulloinkin tietyllä hetkellä on sama kaikille järjestelmän pisteille, vrt. edellinen huomautus.
luistelija kuluttaa niin paljon energiaa.
Katso erityisesti Perez, mekaniikka , 6 th edition, Masson, Pariisi, 2001. jakautumista liikkeen ja hitaus viran keskus barycentric viittaus on yleinen mille tahansa järjestelmälle materiaalia pisteitä, jotka on ilmaistu kahden teoreemojen Koenig varten liikemäärämomentti ja kineettinen energia. Kiinteän aineen liikkeelle on ominaista, että tietyllä hetkellä kaikilla sen pisteillä on sama pyörimisvektori . Tällä hetkellisellä rotaatiovektorilla on "absoluuttinen" luonne: se voidaan tulkita kiintovektoriksi kiinteään kiinteään kiinteään viitekehykseen ja baryentriseen viitekehykseen, mutta sitä ei muuteta, jos tarkastellaan toista viitekehystä, joka ei ole liittyy kiinteään aineeseen: katso tältä osin Lev Landau ja Evgueni Lifchits , Physique theorique , t. 1: Mekaniikka [ yksityiskohdat painoksista ] $\ vec {\ omega} (t)$ kappale 31 §.
Nämä kaksi määrät on kirjoitettu ja , jossa nopeus vektori pisteen suhteen barycentric viitekehys (R * ) . On helppo osoittaa, että oikea kulmamomentti ei riipu alkuperäksi valitusta pisteestä. Todellakin, anna minkään kahden pisteen O ja P , se tulee välittömästi sen jälkeen ominaisuuksien mukaan keskustan inertia , C ollessa paikallaan (R * ) . $\ vec {L} ^ * = \ summa_ {i} m_i \ vec {r} _i \ kiila \ vec {v} _i ^ *$ $E_c ^ * = \ tfrac {1} {2} \ sum_ {i} m_iv_i ^ {* 2}$ $\ vec {vb} _i ^ *$ $Puolivälissä}$ $\ vec {L} _O ^ * = \ sum_ {i} m_i \ overrightarrow {OM_i} \ wedge \ vec {v} _i ^ * = \ sum_ {i} m_i (\ overrightarrow {OP} + \ overrightarrow {PM_i}) \ wedge \ vec {v} _i ^ * = \ overrightrow {OP} \ wedge \ left (\ sum_i m_i \ vec {v} _i ^ * \ right) + \ vec {L} _P ^ * = \ vec {L} _P ^ *$ $\ sum_i m_i \ vec {v} _i ^ * = (\ sum_i m_i) \ vec {v} _c ^ * = \ vec {0}$
On helppo varmistaa, että jos pitää kiinteän suunnan avaruudessa, esimerkiksi jos edelliset lausekkeet pienenevät ja . ${\ vec {\ omega}}$ $\ vec {\ omega} = \ omega (t) \ vec {e} _z$ ${\ displaystyle {\ vec {L}} ^ {*} = I _ {\ mathrm {O} z} \ omega {\ vec {e}} _ {z} = I _ {\ mathrm {O} z} { \ vec {\ omega}}}$ ${\ displaystyle E_ {c} ^ {*} = {\ tfrac {1} {2}} I _ {\ mathrm {O} z} \ omega ^ {2}}$
Katso esimerkiksi Lev Landau ja Evgueni Lifchits , teoreettinen fysiikka , t. 1: Mekaniikka [ yksityiskohdat painoksista ], §32 ja Herbert Goldstein, Charles P. Poole Jr. ja John L. Safko, Klassinen mekaniikka [ yksityiskohdat painoksista ], luku 5.
ei tehty eroa kovensorisen tai ristiriitaisen tensorin komponentin välillä, sikäli kuin yksi toimii yleensä ortonormaalissa koordinaattijärjestelmässä.
Tällöin erotetaan tässä vuoksi tiukasti välillä tensor , abstrakti matemaattinen objekti, ja 3x3 matriisi, joka vastaa sen kirjallisesti annettuna, samalla tavalla, että on tarpeen erottaa vektorin sen osien tietyssä tukikohdassa, jonka arvot riippuvat tämän perustan valinnasta. $\ bar {\ bar {I}}$
Katso näistä nimityksistä Landau, op. cit. ja Goldstein, op. cit. .
Katso esimerkiksi Perez, op. cit. , luku 17.
Tämä tilanne eroaa suuresti latausjakaumasta, jossa etumerkkierojen takia positiiviset ja negatiiviset "latauskeskukset" eivät aina osu yhteen, ja siksi dipolaarista termiä ei voida eliminoida yksinkertaisella alkuperän valinnalla.
Vrt. Lev Landau ja Evgueni Lifchits , teoreettinen fysiikka , t. 2: Kenttäteoria [ yksityiskohtia painoksista ], luku 12 , §99.
Tämä voidaan kirjoittaa myös käyttämällä Einsteinin toistettujen indeksien summausmenettelyä, se koskee hitausjännityksen supistumista, luonnostaan invarianttia. $Minä _ {\ gamma \ gamma}$
Tämä on pyörivä yläosa, joka on "tasoitettu pylväissä", joten materiaali on "kauempana" Oz- akselista kuin kahdesta muusta hitausakselista , kohtisuorassa sitä ekvatoriaalitasossa, josta suurempi päähitausmomentti mukaan Oz . Ero on kuitenkin suuruusluokkaa vain 0,3%.
Vrt. Goldstein, op. cit. , luku 5 .
Gieck ja Gieck 1997 , M3 (m23).
Romandesin matematiikan, fysiikan ja kemian toimikunta, lomakkeet ja taulukot: matematiikka, fysiikka, kemia , Éditions G d'Encre,maaliskuu 2015, 290 Sivumäärä ( ISBN 978-2-940501-41-0 ) , s. 140
Gieck ja Gieck 1997 , I18 (I215).
Gieck ja Gieck 1997 , M3 (m17a).
Gieck ja Gieck 1997 , M3 (m17b).
Gieck ja Gieck 1997 , M3 (m19).
Gieck ja Gieck 1997 , M3 (m25).
Liègen yliopiston ammattikorkeakoulun tarina, Materiaalien kestävyys ja kiinteiden harjoitusten mekaniikka, 1999, Pro. S. Cescotto (kohta 3.B.)

Katso myös

Bibliografia

Perez fysiikan kurssit: mekaaninen - 6 th edition, Masson, Pariisi, 2001, luku 17 ;
Herbert Goldstein, Charles P. Poole Jr. ja John L. Safko, Klassinen mekaniikka [ yksityiskohdat painoksista ], luku 5 ;
K. Gieck ja R. Gieck ( käännös G. Bendit), tekninen muoto , Gieck Verlag,1997;
Lev Landau ja Evgueni Lifchits , teoreettinen fysiikka , t. 1: Mekaniikka [ yksityiskohdat painoksista ], luku 6 .

Aiheeseen liittyvät artikkelit

Hitausmomentti

Empiirinen lähestymistapa

Liikkeen vastustuskyky

Liikkumiseen tarvittava energia

Hitaushetken tunnistaminen ja määrittely

Kineettinen pyörimisenergia

Kiintoaineen kineettinen pyörimismomentti

Hitausyksiköiden hetki

Yleistys mihin tahansa kiinteään aineeseen

Yleistäminen mihin tahansa järjestelmään

Hitausmomentti ja kulmamomentti

Yleistapaus: hitausjännite

Inertiatensorin tunnistaminen ja määrittely

Tensorimerkki - PäähitausakselitMinä¯¯{\ displaystyle {\ bar {\ bar {I}}}}

Ellipsoidi hitaus

Erityiset hitaushetket

Pallo

Pallo (ontto)

Suljettu

Neliö

Suorakulmio

Suuntaissärmiö

Täysi sylinteri

Ontto sylinteri

Kartio

Torus

Ohut rengas

Kuljetuslause (tai Huygens-Steiner-lause)

Huomautuksia ja viitteitä

Katso myös

Bibliografia

Aiheeseen liittyvät artikkelit

Tensorimerkki - Päähitausakselit $\ bar {\ bar {I}}$