Bernoullin prosessi
In todennäköisyys ja tilastoja , eli Bernoulli prosessi on stokastista prosessia erillisiä , joka koostuu sekvenssin satunnaismuuttujia riippumaton , joiden arvot päässä kaksi merkkiä. Käytännössä Bernoulli-prosessi koostuu kolikon kääntämisestä useita kertoja peräkkäin, mahdollisesti väärennetyllä kolikolla. Tämän tyyppisessä sekvenssissä olevaa muuttujaa voidaan kutsua Bernoulli-muuttujaksi .
Bernoullin prosessi on Markov-ketju . Sen todennäköisyyspuu on binääripuu .
Määritelmä
Bernoulli-prosessi on erillinen stokastinen prosessi, joka koostuu rajallisesta tai äärettömästä sarjasta riippumattomia satunnaismuuttujia X 1 , X 2 , X 3 , kuten:
- mitä i arvo X i on joko 0 tai 1;
- kaikkien arvojen i , todennäköisyys, että X- i = 1 on sama numero s .
Toisin sanoen, Bernoullin prosessi on sarja itsenäisiä ja yhtä luotettavia Bernoulli-testejä . Kaksi mahdollista arvoa kullekin X i on usein nimitystä "menestys" ja "vika", ja niin, ilmaistuna 0 tai 1, arvo on kuvattu onnistumisten lukumäärä sen jälkeen, kun i : nnen "test" . Eri hyväksytty / hylätty-muuttujia X i kutsutaan myös Bernoulli-testeiksi.
Bernoullin testien riippumattomuus edellyttää muistin puuttumista: menneet testit eivät anna mitään tietoa tulevista tuloksista. Tulevat todisteet muodostavat mistä tahansa ajankohdasta myös Bernoullin prosessin, joka on riippumaton menneisyydestä (omaisuuden aloitus uusi).
Bernoulli-prosessiin liittyviä satunnaisia muuttujia ovat
- onnistumisten lukumäärä n ensimmäisen yrityksen aikana, joka noudattaa binomiikkaa ;
- negatiivisen binomijakauman seurauksena tarvittavien testien lukumäärä r- menestyksen saavuttamiseksi ;
- onnistumisen saavuttamiseksi tarvittavien testien määrä, joka noudattaa geometrista lakia , joka on negatiivisen binomilain erityistapaus.
Ongelma prosessin suorittamisesta vain rajallisella näytteellä Bernoulli-todisteista tunnetaan ongelmana tarkistaa, onko osa normaali .
Virallinen määritelmä
Bernoulli-prosessi voidaan virallistaa todennäköisyysvälien kielellä . Bernoulli-prosessi on todennäköisyys tila (Ω, Pr) , joka liittyy perheen satunnaismuuttujien riippumaton X i määritetään tämän tilan kanssa arvoja {0; 1} , ja niin, että jokaiselle i : lle meillä on
X i = 1 todennäköisyydellä p ja X i = 0 todennäköisyydellä 1 - p .
Bernoulli-sviitti
Annetaan Bernoulli-prosessi määritelty todennäköisyysavaruus (Q, Pr) , voidaan liittää kuhunkin co ∈ Q sekvenssin kokonaislukuja
nimeltään Bernoulli-sviitti . Esimerkiksi, jos ω edustaa sarjaa kolikonheittoja, niin Bernoulli-sekvenssi on luettelo kokonaisluvuista, joille olemme saaneet päät .
Lähes kaikki Bernoullin sviitit ovat ergodisia sviittejä .
Satunnainen uuttaminen
Kun otetaan huomioon Bernoulli-prosessi, jossa p ≠ 1/2 , voimme päätellä Bernoulli-prosessin, jossa p = 1/2, kiitos Von Neumannin uuttimen, vanhimman satunnaisen uuttimen .
Poimitaan 0: n ja alkuperäisen 1: n sekvenssistä uusi 0 ja 1: n sekvenssi ryhmittelemällä arvot peräkkäisten 0 ja 1 pareiksi. Näistä pareista päätellään uusi sekvenssi 0 ja 1 seuraavasti:
- jos arvot ovat samat, yhtään ei pidetä;
- jos arvot eivät ole samat, pidämme ensimmäisen kahdesta.
Muuntotaulukko on siis seuraava:
| Sisäänkäynti | poistua |
|---|---|
| 00 | ei mitään |
| 01 | 0 |
| 10 | 1 |
| 11 | ei mitään |
Koska yhden tai yhden arvon tuottamiseen tarvitaan kaksi tuloarvoa, lähtö on vähintään kaksi kertaa lyhyempi kuin tulo. Merkitsemällä q = 1 - p uuttolaite eliminoi keskimäärin p 2 + q 2 syöttötiedoista. Tämä arvo on pienin, kun p = 1/2 , jolloin se eliminoi puolet tulopareista, ja tässä tapauksessa lähtö on keskimäärin neljä kertaa lyhyempi kuin tulo.
Lähtödata sisältää yhtä monen luvun 0 ja 1, koska 10 ja 01 ovat yhtä todennäköisiä, koska molemmilla on todennäköisyys pq .
Bernoullin vaihto
Koska kukin testi on yksi kahden tuloksen, sekvenssi testejä voidaan esittää binaarinumerot on todellinen numero . Kun todennäköisyys p on 1/2, kaikki mahdolliset sekvenssit ovat yhtä todennäköisiä, minkä vuoksi toimenpide on heimon Bernoullin prosessi on sama kuin yhtenäisen toimenpiteen aikana yksikkö välin : toisin sanoen, todelliset luvut ovat tasaisesti jakautuneet yksikköväli.
Siirtyminen operaattori T, joka siirtyy seuraavalle satunnaismuuttuja,
vastaa sitten Bernoullin muutosta tai dyadista toimintaa
missä z ∈ [0; 1] edustaa annettua mittasarjaa ja missä E ( z ) on kokonaislukuosa , suurin kokonaisluku pienempi tai yhtä suuri kuin z . Puhekielen suhteen Bernoullin muutos "ohittaa" z: n binäärisen esityksen vasemmanpuoleisen numeron .
Bernoullin muutos on liukeneva malli tarkalleen deterministisestä kaaoksesta . Kehittyminen operaattori , jota kutsutaan myös Frobenius-Perron operaattori, Bernoulli muutos voidaan määrittää; sen ominaisarvot ovat 1/2: n voimia ja sen ominaisfunktiot ovat Bernoullin polynomit .
Bernoulli-järjestelmä
Ergodisessa teoriassa Bernoulli-prosessin yleistämistä kahteen tai useampaan tulokseen kutsutaan Bernoulli-kaavaksi .
Ranskan keskiasteen koulutuksessa Bernoullin kaavio parametreista n ja p osoittaa sarjan n riippumatonta Bernoulli-testiä samalla parametrilla p .
Huomautuksia ja viitteitä
Katso myös
Lähteet ja lähdeluettelo
- Carl W. Helstrom, Todennäköisyys ja stokastiset prosessit insinööreille , (1984) Macmillan Publishing Company, New York ( ISBN 0-02-353560-1 ) .
- Dimitri P. Bertsekas ja John N. Tsitsiklis , Johdatus todennäköisyyteen , (2002) Athena Scientific, Massachusetts ( ISBN 1-886529-40-X )
- Pierre Gaspard, "r-adic-yksiulotteiset kartat ja Eulerin summauskaava ", Journal of Physics A , 25 (kirje) L483-L485 (1992). (Kuvailee Bernoullin siirtymän evoluutiooperaattorin ominaisominaisuuksia)
- Dean J.Driebe, Täysin kaoottiset kartat ja rikkoutuneen ajan symmetria , (1999) Kluwer Academic Publishers, Dordrecht Netherlands ( ISBN 0-7923-5564-4 ) (luvuissa 2, 3 ja 4 tarkastellaan Ruellen resonansseja ja formalismin alidynamiikkaa ratkaisemaan Bernoullin muutos) .