Toda-verkko
In solid-state fysiikan , Toda ristikko , käyttöön Morikazu Toda (in) vuonna 1967, on yksinkertainen malli yksiulotteinen kide.
Malli
Sen antaa hiukkasketju, jonka vuorovaikutuksen lähimmän naapurin kanssa kuvailee Hamiltonin operaattori
H(s,q)=Σei∈z(s(ei,t)22+V(q(ei+1,t)-q(ei,t)){\ displaystyle {\ begin {aligned} H (p, q) & = \ Sigma _ {n \ in \ mathbb {z}} ({\ frac {p (n, t) ^ {2}} {2}} + V (q (n + 1, t) -q (n, t)) \ loppu {tasattu}}}![{\ displaystyle {\ begin {aligned} H (p, q) & = \ Sigma _ {n \ in \ mathbb {z}} ({\ frac {p (n, t) ^ {2}} {2}} + V (q (n + 1, t) -q (n, t)) \ loppu {tasattu}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cccfe9f3322a8a462efbe9eb0f1c97c5f27cdc06)
ja liikkeen yhtälöt
ddts(ei,t)=-∂H(s,q)∂q(ei,t)=e-(q(ei,t)-q(ei-1,t))-e-(q(ei+1,t)-q(ei,t)),ddtq(ei,t)=∂H(s,q)∂s(ei,t)=s(ei,t),{\ displaystyle {\ begin {tasattu} {\ frac {d} {dt}} p (n, t) & = - {\ frac {\ osittainen H (p, q)} {\ osittainen q (n, t) }} = e ^ {- (q (n, t) -q (n-1, t))} - e ^ {- (q (n + 1, t) -q (n, t))}, \ \ {\ frac {d} {dt}} q (n, t) & = {\ frac {\ osittainen H (p, q)} {\ osittainen p (n, t)}} = p (n, t) , \ end {tasattu}}}![{\ displaystyle {\ begin {tasattu} {\ frac {d} {dt}} p (n, t) & = - {\ frac {\ osittainen H (p, q)} {\ osittainen q (n, t) }} = e ^ {- (q (n, t) -q (n-1, t))} - e ^ {- (q (n + 1, t) -q (n, t))}, \ \ {\ frac {d} {dt}} q (n, t) & = {\ frac {\ osittainen H (p, q)} {\ osittainen p (n, t)}} = p (n, t) , \ end {tasattu}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/769ce56b13c72565b3bd4240d7ad5cb8cde9e8dc)
missä on kolmannen hiukkasen siirtymä tasapainotilasta, on sen liikemäärä (massa ) ja Toda-potentiaali.
q(ei,t){\ displaystyle q (n, t)}
ei{\ displaystyle n}
s(ei,t){\ displaystyle p (n, t)}
m=1{\ displaystyle m = 1}
V(r)=e-r+r-1{\ displaystyle V (r) = e ^ {- r} + r-1}![{\ displaystyle V (r) = e ^ {- r} + r-1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72df2dc5dd8ec9f56922f0b694bcb6ff8089d938)
Soliton-ratkaisut
Soliton- ratkaisut ovat yksinäisiä aaltoja, jotka etenevät ajan myötä muuttamatta niiden muotoa ja kokoa ja ovat vuorovaikutuksessa toistensa kanssa kuin hiukkaset. Yhtälön yleinen N-soliton-ratkaisu on
qEI(ei,t)=q++log(det(Minä+VSEI(ei,t))det(Minä+VSEI(ei+1,t))),{\ displaystyle {\ begin {tasattu} q_ {N} (n, t) = q _ {+} + loki ({\ frac {det (\ mathbb {I} + C_ {N} (n, t))} {det (\ mathbb {I} + C_ {N} (n + 1, t))}}), \ loppu {tasattu}}}![{\ displaystyle {\ begin {tasattu} q_ {N} (n, t) = q _ {+} + loki ({\ frac {det (\ mathbb {I} + C_ {N} (n, t))} {det (\ mathbb {I} + C_ {N} (n + 1, t))}}), \ loppu {tasattu}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11c3e23945bc42a8a9c40bbb60fcc7490a6575d6)
tai
VSEI(ei,t)=(yi(ei,t)yj(ei,t)1-eκi+κj)1<i,j<EI,yj(ei,t)=yje-2κjei-2σjsieih(κj),{\ displaystyle {\ begin {tasattu} C_ {N} (n, t) = {\ Bigg (} {\ frac {\ sqrt {\ gamma _ {i} (n, t) \ gamma _ {j} (n , t)}} {1-e ^ {\ kappa _ {i} + \ kappa _ {j}}}} {\ Bigg)} _ {1 <i, j <N}, \ gamma _ {j} ( n, t) = \ gamma _ {j} e ^ {- 2 \ kappa _ {j} n-2 \ sigma _ {j} sinh (\ kappa _ {j})}, \ end {tasattu}}}![{\ displaystyle {\ begin {tasattu} C_ {N} (n, t) = {\ Bigg (} {\ frac {\ sqrt {\ gamma _ {i} (n, t) \ gamma _ {j} (n , t)}} {1-e ^ {\ kappa _ {i} + \ kappa _ {j}}}} {\ Bigg)} _ {1 <i, j <N}, \ gamma _ {j} ( n, t) = \ gamma _ {j} e ^ {- 2 \ kappa _ {j} n-2 \ sigma _ {j} sinh (\ kappa _ {j})}, \ end {tasattu}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1bfa32eb2d85eb0bbb03cdac3ff2780ec66f05dc)
kanssa ja .
κj,yj>0{\ displaystyle \ kappa _ {j}, \ gamma _ {j}> 0}
σj∈{±1}{\ displaystyle \ sigma _ {j} \ sisään \ {\ pm 1 \}}![{\ displaystyle \ sigma _ {j} \ sisään \ {\ pm 1 \}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5af5a746599b118ce0fdbbcbadf3e51e825b8a50)
Integroitavuus
Toda-verkko on prototyyppinen esimerkki täysin integroitavasta järjestelmästä . Tämän nähdäksesi käytämme Flaschkan muuttujia
klo(ei,t)=12e-(q(ei+1,t)-q(ei,t))/2,b(ei,t)=-12s(ei,t){\ displaystyle a (n, t) = {\ frac {1} {2}} {\ rm {e}} ^ {- (q (n + 1, t) -q (n, t)) / 2} , \ qquad b (n, t) = - {\ frac {1} {2}} p (n, t)}![{\ displaystyle a (n, t) = {\ frac {1} {2}} {\ rm {e}} ^ {- (q (n + 1, t) -q (n, t)) / 2} , \ qquad b (n, t) = - {\ frac {1} {2}} p (n, t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74fd473a05b4af109fed9b908a84cc7e93b8f813)
;
Toda-cd-verkko on sitten muoto
klo˙(ei,t)=klo(ei,t)(b(ei+1,t)-b(ei,t)),b˙(ei,t)=2(klo(ei,t)2-klo(ei-1,t)2).{\ displaystyle {\ alkaa {tasattu} {\ piste {a}} (n, t) & = a (n, t) {\ iso (} b (n + 1, t) -b (n, t) { \ Big)}, \\ {\ piste {b}} (n, t) & = 2 {\ Big (} a (n, t) ^ {2} -a (n-1, t) ^ {2} {\ Iso)}. \ Loppu {tasattu}}}![{\ displaystyle {\ alkaa {tasattu} {\ piste {a}} (n, t) & = a (n, t) {\ iso (} b (n + 1, t) -b (n, t) { \ Big)}, \\ {\ piste {b}} (n, t) & = 2 {\ Big (} a (n, t) ^ {2} -a (n-1, t) ^ {2} {\ Iso)}. \ Loppu {tasattu}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1774eaadd2dd669d4c8b2c815728c8806fef05f)
Osoittaa, että järjestelmä on täysin integroituva, on riittävää löytää pari Lax, eli kaksi operaattoria L (t) ja P (t) on Hilbertin avaruus sekvenssien neliöt summable siten kuin Lax yhtälö
ℓ2(Z){\ displaystyle \ ell ^ {2} (\ mathbb {Z})}![{\ displaystyle \ ell ^ {2} (\ mathbb {Z})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2c6c1a10e78acb22d6137ef1fad2dec4c15ac01)
ddtL(t)=[P(t),L(t)]{\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} L (t) = [P (t), L (t)]}![{\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} L (t) = [P (t), L (t)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/279edf5b96d9f52dc353d48628d214e6c9e1b3a8)
(missä on kahden operaattorin Lie-koukku ) vastaa Flaschka-muuttujien aikajohdannaista. Valinta
[P(t),L(t)]=LP-PL{\ displaystyle [P (t), L (t)] = LP-PL}![{\ displaystyle [P (t), L (t)] = LP-PL}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/326e999e45062a85a9b460291e07d6eb13207d95)
L(t)f(ei)=klo(ei,t)f(ei+1)+klo(ei-1,t)f(ei-1)+b(ei,t)f(ei),P(t)f(ei)=klo(ei,t)f(ei+1)-klo(ei-1,t)f(ei-1).{\ displaystyle {\ begin {tasattu} L (t) f (n) & = a (n, t) f (n + 1) + a (n-1, t) f (n-1) + b (n , t) f (n), \\ P (t) f (n) & = a (n, t) f (n + 1) -a (n-1, t) f (n-1). {tasattu}}}![{\ displaystyle {\ begin {tasattu} L (t) f (n) & = a (n, t) f (n + 1) + a (n-1, t) f (n-1) + b (n , t) f (n), \\ P (t) f (n) & = a (n, t) f (n + 1) -a (n-1, t) f (n-1). {tasattu}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dfb1d6340fe50750810e553092e4597559453d8a)
missä f (n + 1) ja f (n-1) ovat siirtooperaattoreita, tarkoittaa, että operaattorit L (t) eri t: lle ovat yksitellen ekvivalentit.
Matriisilla on ominaisuus, että sen ominaisarvot ovat muuttumattomia ajan myötä. Nämä ominaisarvot ovat integraaleja, jotka ovat riippumattomia liikkumisesta, joten Toda-verkko on täysin integroitava. Erityisesti Toda-verkko voidaan ratkaista käänteisellä diffuusiokäsittelyllä (in) operaattorilta Jacobi L: lle . Päätulos merkitsee sitä, että mielivaltaisen hajoamisen alkuolosuhteet (riittävän nopeasti) jakautuvat asymptoottisesti t isolle solitonien ja dispergoituvan osan summana.
L(t){\ displaystyle L (t)}
Huomautuksia ja viitteitä
-
Helge Krüger ja Gerald Teschl , " Toda-ristikon pitkäaikaiset oireettomuudet alkutietojen pilaantumisen tarkistamiseksi ", Rev. Matematiikka. Phys. , voi. 21, n o 1,2009, s. 61-109 ( matemaattiset arvostelut 2493113 , arXiv 0804.4693 ).
- Gerald Teschl , Jacobi-operaattorit ja täysin integroituvat epälineaariset ristikot , Amer. Matematiikka. Soc., Coll. "Matemaattinen Surveys ja Monographs" ( n o 72)2000, 351 Sivumäärä ( ISBN 978-0-8218-1940-1 , Math Reviews 1711536 , lue verkossa )
- Gerald Teschl , " Lähes kaikki mitä aina halusit tietää Toda-yhtälöstä ", Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung , voi. 103, n ° 4,2001, s. 149–162 ( Matemaattiarvostelut 1879178 , lue verkossa )
-
Eugene Gutkin , " Integroituvat hamiltonilaiset, joilla on eksponentiaalinen potentiaali ", Physica D: Ei-lineaariset ilmiöt , voi. 16, n ° 3,1985, s. 398–404 ( ISSN 0167-2789 , DOI 10.1016 / 0167-2789 (85) 90017-X ).
-
Morikazu Toda , " Ketjun tärinä epälineaarisella vuorovaikutuksella ", Journal of the Physical Society of Japan , voi. 22, n ° 21967, s. 431–436 ( ISSN 0031-9015 , DOI 10.1143 / JPSJ.22.431 ).
- Morikazu Toda , epälineaaristen ristikkojen teoria , Berliini, Springer, kokoonpano "Springer Series in Solid-State Sciences" ( n o 20),1989, 2 nd ed. , 203 Sivumäärä ( ISBN 978-0-387-10224-5 , DOI 10.1007 / 978-3-642-83219-2 , matemaattiset arvostelut 0971987 )
Aiheeseen liittyvät artikkelit
Ulkoiset linkit
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">