R0-matriisi

On matematiikka , joka on -matriisi on todellinen yleinen matriisi antaa erityisiä ominaisuuksia, jotta lineaarinen komplementaarisuutta ongelmia . Nämä ominaisuudet, joita on vaikea ilmaista muutamalla sanalla, kuvataan alla annetussa määritelmässä. ${\ mathbf {R_ {0}}}$

Määritelmät

Vastaavat ominaisuudet, joita voidaan käyttää -matriisien määritelmänä, edellyttävät joidenkin käsitteiden muokkaamista. ${\ mathbf {R_ {0}}}$

Vektorille merkintä tarkoittaa, että kaikki vektorin komponentit ovat positiivisia. Annetaan neliön todellinen matriisi ja vektori , joka on lineaarinen täydentävät ongelma on löytää vektoriin siten, että , ja , joka on kirjoitettu lyhennetty tavalla seuraavasti: $v \ sisään \ mathbb {R} ^ {n}$ $v \ geqslant 0$ $v_ {i}$ $M \ sisään \ mathbb {R} ^ {{n \ kertaa n}}$ $q \ sisään \ mathbb {R} ^ {n}$ $x \ sisään \ mathbb {R} ^ {n}$ $x \ geqslant 0$ $Mx + q \ geqslant 0$ $x ^ {\! \ top} (Mx + q) = 0$

${\ mbox {CL}} (M, q): \ qquad 0 \ leqslant x \ perp (Mx + q) \ geqslant 0.$
Todellisilla arvoilla määritetyn funktion sanotaan olevan pakottava, jos sillä on joukko rajattuja alatasoja , mikä tarkoittaa sanomista, että se pyrkii äärettömään, jos . $\ mathbb {R} ^ {n}$ ${\ displaystyle \ | x \ | \ - \ infty}$

Voimme nyt antaa -matriisin määritelmän . ${\ mathbf {R_ {0}}}$

${\ mathbf {R_ {0}}}$ -matriisi - Sanomme, että todellinen neliömatriisi on -matriisi, jos jommallakummalla seuraavista vastaavista ominaisuuksista on: ${\ displaystyle M \ sisään \ mathbb {R} ^ {n \ kertaa n}}$ ${\ mathbf {R_ {0}}}$

ainoa ongelman ratkaisu on tyhjä ratkaisu, ${\ mbox {CL}} (M, 0)$
mitä tahansa , toiminto on pakottavaa, $q \ sisään \ mathbb {R} ^ {n}$ ${\ displaystyle x \ mapsto \ | \ min (x, Mx + q) \ |}$
toiminto on pakottava. ${\ displaystyle x \ mapsto \ | \ min (x, Mx) \ |}$

Merkitään minkä tahansa järjestyksen joukko -matriiseja. Kutsumme -matricity omaisuutta matriisin kuulua ${\ mathbf {R_ {0}}}$ ${\ mathbf {R_ {0}}}$ ${\ mathbf {R_ {0}}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {R_ {0}}.}$

Linkki ongelman ja funktion välillä tulee siitä, että ratkaisu on, jos ja vain, jos (operaattori toimii komponentti kerrallaan). ${\ mbox {CL}} (M, 0)$ ${\ displaystyle x \ mapsto \ | \ min (x, Mx) \ |}$ $x$ ${\ mbox {CL}} (M, 0)$ ${\ displaystyle \ min (x, Mx) = 0}$ $\ min$

Omaisuus

Yhteys yhteisomistukseen

Ominaisarvon tai Pareto ominaisarvo symmetrinen todellinen matriisi on kriittinen arvo optimointitehtävän ${\ displaystyle \ mu \ sisään \ mathbb {R}}$ $M \ sisään \ mathbb {R} ^ {{n \ kertaa n}}$

${\ displaystyle \ min _ {{x \ in \ mathbb {R} ^ {n} \ atop \ | x \ | = 1} \ atop x \ geqslant 0} \; x ^ {\! \ top} Mx,}$

eli arvo kriteerin , jonka kiinteän pisteen tämä ongelma, mikä merkitsee selvää, että lineaarinen toisiaan täydentäviä ongelma alla on nollasta ratkaisu : ${\ displaystyle \ mu = x ^ {\! \ top} Mx}$ $x$

${\ displaystyle 0 \ leqslant x \ perp (M- \ mu I) x \ geqslant 0.}$

-Matriisisuuden määritelmän 1 mukaan näemme, että symmetrisen matriisin kohdalla tämä käsite tarkoittaa sitä, että matriisilla ei ole nollaa oikeaa kovaluuttia. Voi olla hyödyllistä tuoda tämä määritelmä lähemmäksi symmetrisen matriisin ominaisarvojen määritelmää , joka voidaan saada Rayleigh-osamäärän kriittisinä arvoina ilman tässä käytettyä positiivisuusrajoitusta. ${\ mathbf {R_ {0}}}$

Liitteet

Aiheeseen liittyvä artikkeli

Lineaarinen täydentävyys

Bibliografia

(en) RW Cottle, J.-S.Pang, RE Stone (2009). Lineaarinen täydentävyysongelma . Sovelletun matematiikan klassikot 60. SIAM, Philadelphia, PA, USA.
(en) F. Facchinei, J.-S.Pang (2003). Äärelliset-dimensioiset variaatioerot ja täydentävyysongelmat (2 osaa). Springer-sarja operatiivisessa tutkimuksessa. Springer-Verlag, New York.