Spektrisäde

Antaa olla endomorphism on monimutkainen Banach tila , kutsumme spektrin säde on , ja merkitään , säde pienimmän suljetun pallon keskustan 0, joka sisältää kaikki spektriarvojen on . Se on aina pienempi tai yhtä suuri operaattori standardin on . AT{\ displaystyle A} E{\ displaystyle E}AT{\ displaystyle A}ρ(AT){\ displaystyle \ rho (A)}AT{\ displaystyle A}AT{\ displaystyle A}

Äärimmäisessä mitassa kompleksisten ominaisarvojen endomorfismille spektrisäde on yhtä suuri kuin . λ1,λ2,...,λei{\ displaystyle \ lambda _ {1}, \ lambda _ {2}, ..., \ lambda _ {n}}eninti|λi|{\ displaystyle \ max _ {i} {\ vasen | \ lambda _ {i} \ oikea |}}

Näin ollen mille tahansa matriisinormi N , toisin sanoen mikä tahansa standardi algebran on (vastaavasti ) ja mikä tahansa matriisi, in (vastaavasti ) . Mei(R){\ displaystyle M_ {n} (\ mathbb {R})}Mei(VS){\ displaystyle M_ {n} (\ mathbb {C})}Mei(R){\ displaystyle M_ {n} (\ mathbb {R})}Mei(VS){\ displaystyle M_ {n} (\ mathbb {C})}ρ(AT)≤EI(AT){\ displaystyle \ rho (A) \ leq N (A)}

Esittely

Antaa olla ominaisarvo ja siihen liittyvä ominaisvektori. Huomaa neliömatriisi, jonka ensimmäinen sarake on ja muut ovat nolla. Meillä on siis ja voimme yksinkertaistaa mukaan , koska vektorin on ei-nolla, se on sama matriisi . λ{\ displaystyle \ lambda}AT{\ displaystyle A}X{\ displaystyle X}B{\ displaystyle B}X{\ displaystyle X}ATB=λB{\ displaystyle AB = \ lambda B}|λ|EI(B)=EI(ATB)≤EI(AT)EI(B){\ displaystyle | \ lambda | N (B) = N (AB) \ leq N (A) N (B)}EI(B){\ displaystyle N (B)}X{\ displaystyle X}B{\ displaystyle B}

Lisäksi osoitamme sen , että alaraja otetaan toissijaisten normien joukolle, mikä sitäkin vahvemmin algebranormien joukolle. ρ(AT)=infEI(AT){\ displaystyle \ rho (A) = \ inf N (A)}

Gelfandin lause kertoo meille, että endomorfismin spektrisäde saadaan kaavalla . ρ(AT){\ displaystyle \ rho (A)}AT{\ displaystyle A}ρ(AT)=lim+∞‖ATei‖1/ei{\ displaystyle \ rho (A) = \ lim _ {+ \ infty} \ | A ^ {n} \ | ^ {1 / n}}

Hilbert-avaruudessa H olevan normaalin käyttäjän (erityisesti autoadjo-operaattorin ) spektrisäde on yhtä suuri kuin käyttäjän normi. Tästä seuraa, että mikä tahansa operaattorin on H , . ‖AT‖2=ρ(AT∗AT){\ displaystyle \ | A \ | ^ {2} = \ rho (A ^ {*} A)}

Spektrisäde voi siten olla ehdottomasti operaattorin standardia pienempi. Esimerkiksi matriisin spektrisäde on 0, mutta niin (tarkemmin, koska meillä on ). M=(0100){\ displaystyle M = {\ alku {pmatrix} 0 ja 1 \\ 0 ja 0 \ loppu {pmatrix}}}M≠0{\ displaystyle M \ neq 0}‖M‖>0=ρ(M){\ displaystyle \ | M \ |> 0 = \ rho (M)}‖M‖=1{\ displaystyle \ | M \ | = 1}‖M‖2=‖tM M‖=ρ(tM M)=1{\ displaystyle \ | M \ | ^ {2} = \ | ^ {\ operaattorin nimi {t}} M \ M \ | = \ rho (^ {\ operaattorin nimi {t}} M \ M) = 1}

Aiheeseen liittyvä artikkeli

Lineaarisen operaattorin spektri

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">