Projektiivinen vihje

In projective geometria , joka on projektiivisen koordinaatisto on projektiivisen tilaa ulottuvuuden n on tilannut datum n + 2 pistettä, joka on sanoa ( n + 2) -tuple pisteiden tilan, siten, että kaikki n + 1 pistettä Näiden n + 2 pisteen joukosta valitut eivät koskaan sisälly lähtöalueen oikeaan projektiiviseen alitilaan (tai vastaavalla tavalla lähtötilan projektiiviseen hypertasoon). Joten:

projisointiviivan projektivinen koordinaatisto saadaan viivan 3 erillisestä pisteestä;
projektiivinen koordinaatisto on projektiivinen taso on nelinkertainen olevia tasossa, siten, että 3 näistä eivät ole kohdakkain;
jne.

Projektiiviset referenssimerkit pelata projektiivisten tilat rooli, joka on analoginen emäksiä varten vektoriavaruuksia , ja affiinisen referenssimerkit varten affine tiloja , toisin sanoen, ne on mahdollista luonnehtia liittyviä sovelluksia, tässä tapauksessa on. Projektiivisen sovelluksia . Lopullisessa ulottuvuudessa n on välttämätöntä:

n vektoria vektoriavaruuden perusteella;
n + 1 pistettä affiinikoordinaattijärjestelmälle;
n + 2 pistettä projektiiviselle koordinaattijärjestelmälle.

Projektiivinen kartta määritellään ja määritetään kokonaan projektiivisen koordinaattijärjestelmän pisteiden kuvien avulla. Kehon K ulottuvuuden n projisointitilan projektiivinen koordinaatisto mahdollistaa vektoritilaan K n + 1 määritellyn projisoitavan tilan vastaamisen viimeksi mainittuun (projisoimalla muunnoksella tai homografialla ) ja siten määritellä järjestelmä ja homogeeninen koordinaatit ( n + 1 koordinaatit) alkuperäisen tilan.

Intuitiivisesti haluamme paikantaa pisteen projektiiviseen avaruuteen antamalla itsellemme pisteen siihen liittyvän ulottuvuuden vektoriavaruuteen . Siksi haluamme valita tälle avaruudelle perustan ja tarkastella pisteitä projisointitilan vertailupisteenä. Kun koordinaatit ovat tässä kehyksessä, harkitsemme vektoria, joka määrittää ainutlaatuisen pisteen projektioavaruudessa. Yllä olevan argumentin virhe on se, että kun tiedämme vain projektiivisen koordinaatistojärjestelmän , emme löydä sen määrittäviä vektoreita , vaan vain muodon vektoreita . Jos tarkastellaan uutta vektoria , sillä ei ole mitään syytä olla kolineaarinen sen kanssa ja siksi antaa sama projektioprojektion piste projektion jälkeen, paitsi jos kaikki ovat samat. Ajatuksena on sen vuoksi lisätä pisteisiin rajoitus, joka voidaan myös nähdä projisoitavan tilan pisteenä, pakottaen minkä tahansa edellä esitetyn vektorin valinnan varmistamaan . Tätä varten määrälle asetetaan rajoitus, jonka on oltava kolineaarinen alun perin valitun summan kanssa . Sitten on helppo nähdä, että tämä merkitsee haluttua rajoitusta. Siksi riittää, että lisätään pisteeseen , ja sitten mikä tahansa todentajan valinta tekee mahdolliseksi löytää projisointitilan piste, joka vastaa edellä mainittuja koordinaatteja . $n + 1$ ${\ displaystyle (e_ {1}, ..., e_ {n + 1})}$ ${\ displaystyle (p_ {1}, ..., p_ {n + 1}) = (\ pi (e_ {1}), ..., \ pi (e_ {n + 1})}}$ ${\ displaystyle (x_ {1}, ..., x_ {n + 1})}$ ${\ displaystyle x = x_ {1} \ cdot e_ {1} + ... + x_ {n + 1} \ cdot e_ {n + 1}}$ $\ pi (x)$ ${\ displaystyle (p_ {1}, ..., p_ {n + 1})}$ $(e_ {1}, ..., e_ {n})$ ${\ displaystyle {\ tilde {e}} _ {1} = \ lambda _ {1} \ cdot e_ {1}, ..., {\ tilde {e}} _ {n + 1} = \ lambda _ { n + 1} \ cdot e_ {n + 1}}$ ${\ displaystyle {\ tilde {x}} = x_ {1} \ cdot {\ tilde {e}} _ {1} + ... + x_ {n + 1} \ cdot {\ tilde {e}} _ { n + 1} = x_ {1} \ lambda _ {1} \ cdot e_ {1} + ... + x_ {n + 1} \ lambda _ {n + 1} \ cdot e_ {n + 1}}$ $x$ $\ lambda _ {i}$ ${\ displaystyle (p_ {1}, ..., p_ {n + 1})}$ ${\ displaystyle {\ tilde {e}} _ {1}, ..., {\ tilde {e}} _ {n + 1}}$ ${\ displaystyle \ lambda _ {1} = ... = \ lambda _ {n + 1}}$ ${\ displaystyle {\ tilde {e}} _ {1} + ... + {\ tilde {e}} _ {n + 1}}$ ${\ displaystyle e_ {1} + ... + e_ {n + 1}}$ $p_ {i}$ ${\ displaystyle p_ {n + 2} = \ pi (e_ {1} + ... + e_ {n + 1})}$ ${\ displaystyle {\ tilde {e}} _ {1}, ..., {\ tilde {e}} _ {n + 1}}$ ${\ displaystyle \ pi ({\ tilde {e}} _ {1} + ... + {\ tilde {e}} _ {n + 1}) = p_ {n + 2}}$ ${\ displaystyle (x_ {1}, ..., x_ {n + 1})}$