Pell-sviitti
On matematiikka , Pell sekvenssi ja Pell-Lucas sekvenssi ovat vastaavasti sekvenssit kokonaislukujen U (2, 1) ja V (2, -1), erityistapauksissa Lucas sekvenssejä .
Ensimmäinen on myös Fibonacci 2-sekvenssi .
Niiden termejä kutsutaan vastaavasti Pell-numeroiksi ja Pell-Lucas-numeroiksi.
Määritelmät
Pell- sekvenssi ja Pell- Lucas- sekvenssi määritetään kaksoislineaarisella induktiolla :
(Pei){\ displaystyle (P_ {n})} (Qei){\ displaystyle (Q_ {n})}
Pei={0varten ei=0,1varten ei=1,2Pei-1+Pei-2varten ei≥2etQei={2varten ei=0,2varten ei=1,2Qei-1+Qei-2varten ei≥2.{\ displaystyle P_ {n} = {\ begin {cases} 0 & {\ mbox {for}} n = 0, \\ 1 & {\ mbox {for}} n = 1, \\ 2P_ {n-1} + P_ {n-2} ja {\ mbox {for}} n \ geq 2 \ end {tapaukset}} \ quad {\ rm {ja}} \ quad Q_ {n} = {\ begin {case} 2 & { \ mbox {for}} n = 0, \\ 2 & {\ mbox {for}} n = 1, \\ 2Q_ {n-1} + Q_ {n-2} ja {\ mbox {for}} n \ geq 2. \ loppu {tapaukset}}}Toisin sanoen: aloitamme 0: lla ja 1 : llä ensimmäiselle sekvenssille ja 2: lla ja 2: lla toiselle sekvenssille. Kummassakin sekvenssissä tuotetaan seuraava termi lisäämällä kahdesti viimeinen edeltävään.
Voimme myös kirjoittaa: ja missä ja ovat vastaavasti indeksin Fibonacci- ja Lucas-polynomit .
Pei=Fei(2){\ displaystyle P_ {n} = F_ {n} (2)}Qei=Lei(2){\ displaystyle Q_ {n} = L_ {n} (2)}Pei{\ displaystyle P_ {n}}Lei{\ displaystyle L_ {n}}ei{\ displaystyle n}
Joitakin arvoja
Kymmenen ensimmäistä Pell-numeroa ovat 0, 1, 2, 5 , 12 , 29 , 70 , 169 , 408 ja 985 ja kymmenen ensimmäistä Pell-Lucasin numeroa ovat 2, 2, 6 , 14 , 34 , 82 , 198 , 478 , 1154 ja 2786 (ensimmäinen 1 000, katso sviittiä A000129 , ja A002203 sekä OEIS ).
Ovat ikäisensä on joskus kutsutaan Pell-Lucas numeroita.
Qei{\ displaystyle Q_ {n}}Qei/2{\ displaystyle Q_ {n} / 2}
Alasekvenssi on tärkein ehdot Pell sekvenssi muodostetaan numerot
2 ,
5 ,
29 ,
5 741 , jne. (ensimmäiset 23 termiä, katso
A086383 )
ja vastaavat indeksit (välttämättä prime) ovat
2, 3, 5, 11, 13, 29, 41, 53, 59, 89, 97, 101, 167, 181, 191 jne. (ensimmäisten 31 kohdalla katso
A096650 ).
Yleinen termi
Yleisesti näiden kahden sekvenssin annetaan vastaavasti kaavat:
Pei=Uei(2,-1)=(1+2)ei-(1-2)ei22etQei=Vei(2,-1)=(1+2)ei+(1-2)ei.{\ displaystyle P_ {n} = U_ {n} (2, -1) = {\ frac {(1 + {\ sqrt {2}}) ^ {n} - (1 - {\ sqrt {2}}) ^ {n}} {2 {\ sqrt {2}}}} \ quad {\ rm {ja}} \ quad Q_ {n} = V_ {n} (2, -1) = (1 + {\ sqrt { 2}}) ^ {n} + (1 - {\ sqrt {2}}) ^ {n}.}
Yhdistä rahamäärään
Peräkkäisten valtuudet hopea numero 1 + √ 2 ovat siis lähellä Pell-Lucas numeroita, kun on suuri. Esimerkiksi :
ei{\ displaystyle n}
(1+2)2≃5,8≃6=Q2,{\ displaystyle (1 + {\ sqrt {2}}) ^ {2} \ simeq 5 {,} 8 \ simeq 6 = Q_ {2},}
(1+2)4≃33,97≃34=Q4,{\ displaystyle (1 + {\ sqrt {2}}) ^ {4} \ simeq 33 {,} 97 \ simeq 34 = Q_ {4},}
(1+2)8≃1153.999≃1154=Q8{\ displaystyle (1 + {\ sqrt {2}}) ^ {8} \ simeq 1153 {,} 999 \ simeq 1154 = Q_ {8}}
ja kaikesta , missä tarkoittaa koko yläosaa .
ei⩾2{\ displaystyle n \ geqslant 2}Qei=⌈(1+2)ei⌉{\ displaystyle Q_ {n} = \ vasen \ lceil (1 + {\ sqrt {2}}) ^ {n} \ oikea \ rceil}⌈.⌉{\ displaystyle \ left \ lceil. \ right \ rceil}
Huomautuksia ja viitteitä
(fr) Tämä artikkeli on osittain tai kokonaan otettu Wikipedian
englanninkielisestä artikkelista
" Pell number " ( katso kirjoittajaluettelo ) .
-
(in) Thomas Koshy, Pell ja Pell-Lucas numerot Sovellukset , New York, NY, Springer ,2014( ISBN 978-1-4614-8489-9 , lue verkossa ).
Katso myös
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">