Steiner-symmetrisointi

Vuonna Affiini geometria , Steinerin symmetrointia on geometria , jonka tarkoituksena on korvata kaikki osa affiini tilan mukaan osa myöntää symmetria ominaisuuksia . Tätä muunnosta on käytetty osoittamaan joitain isoperimetrisiä eriarvoisuuksia .

Se on nimetty Jakob Steinerin kunniaksi .

Määritelmä

Affiinisessa tilassa tai H: ssä hypertaso ja $δ$ suunta, joka ei ole yhdensuuntainen H: n kanssa . Olkoon K osa affiinista avaruutta. Määritämme sitten Steiner-symmetrian seuraavasti: ${\ displaystyle st_ {H, \ delta} (K)}$

mille tahansa linjalle D, joka on yhdensuuntainen $δ$ :

jos K ∩ D = ∅ sitten ${\ displaystyle st_ {H, \ delta} (K) \ korkki D = \ lakkaus,}$
jos K ∩ D ≠ ∅ sitten on segmentti kuljettaa D , väliaine sijaitsee H ja pituus, D , on yhtä suuri kuin K ∩ D . ${\ displaystyle st_ {H, \ delta} (K) \ korkki D}$

Seuraukset

Voimme osoittaa, että Steinerin symmetrointia ole jatkuvaa varten Hausdorffin etäisyys .
Missä tahansa osassa K , ${\ displaystyle st_ {H, \ delta} (st_ {H, \ delta} (K)) = st_ {H, \ delta} (K)}$
Steinerin symmetrointi säilyttää tilavuuden, eikä se lisää halkaisijaa .
Se säilyttää myös kuperuuden .

Bieberbachin isodiametrinen eriarvoisuus :

Mikä tahansa K on kompakti euklidisessa avaruudessa, jonka koko on n , meillä on

{\ displaystyle V (K) \ leq 2 ^ {- n} \ beta (n) (diam (K)) ^ {n} ~,}

jossa merkitsee yksikköpallon tilavuutta tarkastellussa tilassa. ${\ displaystyle \ beta (n)}$

Lähteet

Marcel Berger , Geometria [ yksityiskohdat painoksista ], Osa 1
(de) Jakob Steiner , " Einfacher Beweis der isoperimetrischen Hauptsätze " , J. kuningatar angew Math. , voi. 18,1838, s. 281-296 ( lue verkossa )