Mitattu dynaaminen järjestelmä

Mitattu dynaaminen järjestelmä on matemaattinen objekti, joka edustaa faasiavaruus varustettu evoluution lakia, erityisesti tutkittu ergodiateorian .

Määritelmä

Mitattu dynaamisen järjestelmän annetaan todennäköisyys tilaa ja mitattavissa kartoitus f : X → X . Vaadimme, että f säilyttää toimenpide, mikä tarkoittaa, että: ${\ displaystyle (X, {\ mathfrak {B}}, \ mu)}$

{\ displaystyle \ forall B \ in {\ mathfrak {B}} \ quad \ mu (f ^ {- 1} (B)) = \ mu (B).}

Tämän erittäin rikkaan omaisuuden ansiosta on mahdollista saada tehokkaita lauseita. Lisäksi lause väittää, että siinä on vain käsittely jatkuva X → X on kompakti topologinen tilaa X , joka on todennäköisyys toimenpide , Borel , säilyttää tämä muutos. (Se on Riesz-Markov-edustusteoreeman sovellus ).

Esimerkkejä

Voimme tutkia logistista funktiota : otamme X = [0, 1] ja f ( x ) = 4 x (1 - x ). Tarjoamme X : lle hänen borelialaisen heimonsa ja otamme sen mittana . ${\ displaystyle {\ frac {{\ rm {d}} x} {\ pi {\ sqrt {x (1-x)}}}}}}$
Kierrosten ympyrän ovat ilmeisimpiä esimerkkejä, sillä toimenpide on kulma normalisoidun dθ / 2π sanoen todennäköisyys toimenpide muuttumaton pyörittämällä.
Voimme yleistää edellisen muunnoksen tuomalla mille tahansa kompaktille topologiselle ryhmälle Borelian mittayksikön nimeltä Haar-mitta, joka on invariantti millä tahansa kiertymällä ( ts . Millä tahansa muodon x ↦ ax sovelluksella ).
Katso myös Bernoullin siirtymät .

Katso myös

Voimme osoittaa jokaiselle mitatulle dynaamiselle järjestelmälle numeron, jota kutsutaan metriseksi entropiaksi kvantitatiivisesti mittaamalla sen dynaaminen monimutkaisuus. Se on lisäksi konjugaatio- invariantti .