Mahdottomuus lause, Arrow , jota kutsutaan myös "paradoksi Arrow" (nimetty amerikkalainen taloustieteilijä Kenneth Arrow ) on matemaattinen vahvistus, tietyin edellytyksin, nosti paradoksi ja kuvattu vuonna 1785 Nicolas de Condorcet'n . Oletetaan, että jokainen äänestäjä voi ilmaista mielipiteensä vain laadullisesti ja osoittaa kuinka he sijoittavat tarkastellut vaihtoehdot toisiinsa nähden. Kahden vaihtoehdon välillä äänestäjä ilmoittaa, kumpi hän haluaa tai jos hän on välinpitämätön näiden kahden välillä, toisaalta hän ei voi ilmaista mieltymystensä voimakkuutta. Tässä yhteydessä ei ole kiistämätöntä sosiaalista valintaprosessia, jonka avulla voidaan ilmaista johdonmukainen yhteisön ensisijaisten mieltymysten hierarkia tämän saman yhteisön kunkin jäsenen ilmaisemien yksilöllisten mieltymysten aggregaatista. Sillä Condorcet , ei ole yksinkertaista järjestelmää varmistaa tämän yhdenmukaisuus. Arrow yrittää osoittaa, olettaen hänen olettamuksensa hyväksyttävän, ettei järjestelmää ole lainkaan, joka varmistaisi yhdenmukaisuuden, lukuun ottamatta järjestelmää , jossa sosiaalisen valinnan prosessi osuu yhteen yksittäisen yksilön, joskus lempinimeltään diktaattorin , kanssa, riippumatta muusta väestöstä.
Nicolas de Condorcet ilmaistun 1785 teoksessaan Essee soveltamisesta analyysin todennäköisyys annettu päätös useille äänistä Condorcet paradoksi , eli ajatus, jonka mukaan määritelmän kantaa yhteisiä useille äänestäjät keksii loogisia vaikeuksia, erityisesti transitiivisuussäännön noudattamatta jättämistä vastaan .
Tämä lause on johtuu Kenneth Arrow , voittaja vuonna 1972 ja hinta Pankin Ruotsin taloustieteet muistoksi Alfred Nobel yleisesti kutsutaan Nobelin taloustieteen , joka on esillä hänen thesis ja julkaisi sen 1951 teoksessaan sosiaalista Choice ja yksilölliset arvot ( sosiaalinen valinta ja yksilölliset arvot ).
Jos yksilö, jolla on mieltymyksiä, sijoittaa vaihtoehdon A vaihtoehdon B edelle, kolmannen vaihtoehdon C läsnäolo ei saisi periaatteessa kääntää tätä etuutta, kun kaikki muut asiat ovat yhtä suuret. Sanotaan, että tämä ilmentää hänen valintansa johdonmukaisuutta .
MuodostusMatemaatikot, mitä taloustieteilijät kutsuvat "Asetukset" vastaa yhteensä ennakkotilattavissa . Erityisesti se voi olla kokonaisjärjestys (sitten puhutaan "tiukoista mieltymyksistä").
Vastaavasti yksilön "mieltymykset" vastaavat järjestystä, jonka yksilö vahvistaa käytettävissä olevien vaihtoehtojen välillä. Näiden mieltymysten sanotaan olevan tiukat, kun henkilö ei koskaan sijoita kahta vaihtoehtoa sidottuina. Jotta tämän käsitteen kuvaus olisi täydellinen, oletetaan, että järjestystä, jonka yksilö vahvistaa eri olemassa olevien vaihtoehtojen välillä, ei muuteta lisäämällä lisävaihtoehtoja.
Etusija profiili on annettu nimi "ryhmä" ja henkilökohtaisia mieltymyksiä. Kutsumme sosiaalisia mieltymyksiä, jotka ovat voimassa sosiaalisella tasolla.
Kyse on yksilöllisten mieltymysten yhdistämisestä kollektiiviseksi, toisin sanoen joukko yksittäisiä tilauksia sosiaaliseksi järjestykseksi . Kokonaisjärjestyksen on siis määritelmän mukaan oltava riippuvainen vain yksilöllisistä mieltymyksistä, tässä sanassa edellä annetussa merkityksessä: Yksittäisten mieltymysten voimakkuus ei saa puuttua asiaan, ei luokiteltujen esineiden luonteeseen eikä ulkoisiin kriteereihin.
Joitain esimerkkejä :
Kutsumme sosiaalisen valinnan toiminnaksi siirtymisen toimintaa yksilöllisistä mieltymyksistä kollektiivisiin mieltymyksiin.
Nuolen lause tunnetaan seuraavassa muodossa.
Ainakin kolmelle vaihtoehdolle ja kahdelle henkilölle ei ole sosiaalista valintatoimintoa, joka täyttäisi seuraavat ominaisuudet:
Lauseen toisessa versiossa yksimielisyys voidaan korvata kahdella seuraavalla hypoteesilla:
Kaikissa tapauksissa on ranking ehdokkaiden eikä pisteytys heistä, joka on yksi syy epävakauden, ehdokas laajalti parempana kuin se, joka seuraa häntä äänestäjä, joka ei erotu hänen ranking ehdokkaan, joka hän hieman parempana sille, joka seuraa häntä.
Todiste on hyvin tekninen ja perustuu useisiin lemmoihin, jotka päätellään yksittäisistä tapauksista. Oletamme useimmiten sosiaalisen valintamenettelyn olemassaolon, jolla varmistetaan yleismaailmallisuuden, yksimielisyyden ja välinpitämättömyyden vaihtoehtoja koskevat olosuhteet, ja osoitamme, että tämä menettely on sama kuin tietyn yksilön valinnat.
Tarkemmin sanotaan, että X merkitsee koko väestöä. Tämän väestön osan F sanotaan olevan ratkaiseva, jos sosiaalisen valinnan funktio antaa tuloksena luettelon osan F yksilöiden mieltymyksistä, kun heillä on samat yksilölliset mieltymykset. Osoitamme sitten, että näiden ratkaisevien osien F joukko muodostaa ultrasuodattimen X: lle. Kun X on äärellinen, ultrasuodatin on triviaali, mikä tarkoittaa, että ultrasuodattimen elementtien joukossa on ratkaiseva osa, jonka muodostaa vain yksittäinen x , ja että mikä tahansa osa F on ratkaiseva vain ja vain, jos tässä osassa on tämä yksilö x . Lopuksi osoitamme, että sosiaalisen valinnan funktio yhtyy x: n valintoihin .
Tämä lause ei ole positiivinen tulos: se ei salli järjestelmällistä kuvaamista, mutta toteaa, että ei-binäärisissä valinnoissa on aina ongelmallisia tilanteita. Siten sosiaalinen valintatoiminto, jolla on edellä mainitut perusominaisuudet, on usein herkkä merkityksettömille vaihtoehdoille. Huomaa kuitenkin, että omiin valintoihimme vaikuttavat joskus myös epäolennaiset vaihtoehdot ja että tämä ei yleensä vaikuta tehokkuuteen.
Jos tämä lause ei häiritse diktaattorijärjestelmien kannattajia (jotka ovat valmiita luottamaan "vahvaan mieheen" johdattamaan kansaa järkevästi) ja häiritsee vähän liberaaleja (jotka hylkäävät ajatuksen yksilöllisten mieltymysten muuttamisesta kollektiivisiksi mieltymyksiksi) , sitä käytetään usein demokratian kannattajia vastaan (väärin, että he kumoavat, jo siksi, että monet etusijaprofiilit eivät ole totuudenmukaisia ennakkotilauksia - joten Arrow'n lause ei päde, mutta ennen kaikkea siksi, että voidaan saada samanlaisia hypoteeseja tyydyttäviä sosiaalisen valinnan toimintoja heti, kun sallitaan itsensä tehdä henkilöiden välisiä vertailuja.Tässä osassa kuvataan, mitä voidaan saada rentouttamalla lauseen hypoteeseja ja pysymällä muiden kuin vertailukelpoisten mieltymysten puitteissa.Seuraavassa osiossa palataan vertailukelpoisuuteen.
Ovatko Arrow'n lauseoletukset kohtuullisia? Kyllä, siinä mielessä, että olisi järkevää hyväksyä ne. Ei, siinä mielessä, että olisi kohtuutonta vaatia niitä: suurin osa näistä ominaisuuksista ei ole perusasetusta eikä perusasetusta.
Kuten mikä tahansa tieteellinen teoria, Arrow'n tulos perustuu oletuksiin, jotka ilmaistaan matemaattisesti tietyssä muodollisessa kehyksessä. Jos oletukset eivät pidä paikkaansa, lause ei ole voimassa.
Kirjoituksissa (Arrow, 1950, 1951), joissa Arrow osoittaa teoreettinsa, on kohteena taloudellisen analyysin kannalta käyttökelpoisen taloudellisen teoreettisen teorian mahdolliset perustukset, mutta luopuvat utilitaristissa nimenomaisesti tai implisiittisesti käytetyistä hyödyllisyysvertailuista. lähestymistapoja tai kustannus-hyötyanalyysiä . Mahdottomuuslauseen muodollinen kehys on puhdas järjestysmääräykset: mieltymysten voimakkuutta ei oteta huomioon eikä mahdollista yksilöiden välistä vertailua. Etuuksien voimakkuuden huomioimatta jättäminen antaa mahdollisuuden pitää niitä (epäsuorasti) havaittavissa valintojen kautta. Tämä on "paljastettujen mieltymysten teoria": sanomalla, että agentti pitää parempana A: ta kuin B: tä, tarkoitetaan yksinkertaisesti sanomalla, että A: n ja B: n välillä ja kun kaikki muut asiat ovat tasa-arvoisia, hän valitsee A: n. esimerkki siitä, että Jules mieluummin A: sta B: hen, Jim mieluummin B: stä A: han, mutta Jim menettää enemmän kuin Jules voittaa kulkiessaan A: sta B: hen .
Nuoli syventää siis tätä ajatuskehystä osoittaakseen, että se tekee mahdottomaksi yhdistää "kohtuullisesti" tällaisia mieltymyksiä. Esimerkiksi äänestämisen osalta menettelyt, jotka mahdollistavat ihmissuhteiden vertailut, eivät kuulu lauseen piiriin, ja K. Arrow on puolustanut kolmiarvoista äänestystä neljällä tasolla. Paluu utilitarismin muunnoksiin on perusteltua Arrovian mahdottomuudesta. Tämä ajatus synnytti ääniryhmän arvojen mukaan, kuten äänestys hyväksynnällä , äänestys muistiinpanoilla tai enemmistön tuomio , joissa ehdotetaan vaihtoehtojen luokittelun korvaamista yksilöllisellä vaihtoehtokohtaisella tuomiolla.
Näissä lähestymistavoissa jokaiselle vaihtoehdolle annetaan maininta joko binäärisenä (hyväksyy, hylkää) tai numeerisena (kiinteässä mittakaavassa, esimerkiksi -1,0, 1) tai sanallisessa (esimerkiksi: erittäin hyvä, hyvä, riittävä, ei riittävä, ei hyväksyttävä , jne.). Siten jokainen äänestäjä antaa tuomion kullekin vaihtoehdolle. Loppujen lopuksi aggregaatti tehdään globaalilla tasolla laskemalla kunkin vaihtoehdon keskimääräinen arvio (äänestystulos pisteittäin) tai mediaani (enemmistötapaustapa). Tätä keskiarvoa tai mediaaniarviointia verrataan sitten globaalilla tasolla, jolloin etuuskohtelujärjestys siirretään viimeiseen laskentavaiheeseen ja vältetään siten Arrow'n mahdottomuuslauseella virallistetut paradoksit. Arrow'n lause muodostaa paradoksin päätösten yhdistämisen aikana, mutta tämä lause ei vaikuta yksilöllisten tuomioiden yhdistämistä koskevaan päätökseen. Nämä menetelmät ovat olleet laitosten kokeiluja paikan päällä, kuten Ranskan presidentinvaalien aikana .
Vaikka Arrow'n lause koskee kysymystä sosiaalisen valinnan funktion määrittämisestä, jonka tarkoituksena on laatia luettelo kollektiivisista mieltymyksistä yksilöllisten mieltymysten luetteloista, useammin kysymys on valita yksi valittu jäsen henkilökohtaisten mieltymysten luetteloista. mieltymykset useiden ehdokkaiden keskuudessa. Tämä on Gibbard-Satterthwaite-lauseen tarkoitus . Siinä todetaan seuraava tulos, joka liittyy vaalien voittajan nimeämismenettelyyn:
Joten nimeämismenettelyä ei voida manipuloida vain ja vain, jos se on diktaattoria.
Käytännössä nimeämismenettelyt ovat manipuloitavia, ja on tavallista, että äänestäjä, jolla on etusija A> B> C, äänestää B: tä varmistaakseen, ettei C: tä valiteta.
Moottorikilpailuissa jokainen auto voittaa pisteet jokaisessa tapahtumassa saapumisjärjestyksensä mukaan. Suurin kokonaismäärä voittaa kilpailun. Tämä laite siirtyy luokituksesta luokitukseen ; se on universaali, suvereeni, yksitoikkoinen, mutta se ei ole välinpitämätön merkityksettömille vaihtoehdoille.
Kaksi tallia ( A ja B ) kahdesta autosta ( A1 , A2 ja B1 , B2 ) ovat kilpailun lopussa, viimeinen kilpailu on päättymässä. Johtaja A1 johtaa B1 : tä kahdella pisteellä yleisarviossa, mutta hän on takanaan eikä enää toivoa saavansa häntä. Kaukana heitä edessään A2 ja B2 ovat yksin. Pisteet saavuttaessa jaetaan seuraavasti:
1. s 10
2 e 9
3 e 6
4 e 5
...
A1: n pitäisi voittaa kilpailu, koska B1: llä on vain yksi piste parempi. Mutta sillä hetkellä tallin B johtaja voi pyytää B2: ta luopumaan kilpailusta: B1 on silloin toinen tässä kilpailussa ja kolme pistettä parempi kuin A , voittaa kilpailun! Jos hän tekee niin, voimme jopa kuvitella, että A2: lla on kiusaus luopua, jotta A1 pääsee vain yhteen pisteeseen B1: llä , toisessa ja ensimmäisessä asemassa.
Tämä tilanne osoittaa selvästi, että kumulatiivinen pistejärjestelmä ei ole välinpitämätön merkityksettömille vaihtoehdoille tai edes se, että voittajan nimeämismenettely on manipuloitavissa Gibbard-Satterthwaite-merkityksessä.
Voimme myös toivoa, että asiantuntijakomiteat, jotka valitsevat hankkeen useiden kriteerien perusteella, ovat yksitoikkoisia ja itsenäisiä, välinpitämättömiä merkityksettömille vaihtoehdoille:
Painotus ei kuitenkaan takaa ulkomaisten vaihtoehtojen riippumattomuutta. Jotta sopimus voidaan tehdä pätevästi, jokaisella kriteerillä on oltava kaksi houkuttelevuuden (tai mahdollisesti suoritustason) tasoa. Ilman näiden kahden suoritustason käyttöönottoa, Jean-Claude Vansnickin mukaan käyttöön otetut painot eivät mahdollista varmistamaan suoritettujen matemaattisten operaatioiden merkitystä (mukaan lukien etenkin välinpitämättömyyden kunnioittamisen merkitys merkityksettömille vaihtoehdoille).
" Huoltaako Arrow'n lause ... ihmisten välisten vertailujen käytöstä sosiaalihuollon arvioinnissa?" ... Joo. Lisäksi tällaisten tietojen saaminen antaa tarpeeksi hienovaraisuutta välttää tämäntyyppiset mahdottomuudet. ... jopa heikot vertailukelpoisuuden muodot mahdollistavat johdonmukaisen sosiaalisen hyvinvoinnin arvioinnin, joka täyttää kaikki Arrow'n vaatimukset. "