Harnackin lause
Todellisessa algebrallisessa geometriassa Harnackin lause antaa mahdollisuuden yhdistettyjen komponenttien lukumäärään, jotka todellisella algebrallisella käyrällä voi olla , käyrän asteesta (tai sukupuolesta ) riippuen . Reaalisen projektivitason m- asteen algebralliselle käyrälle komponenttien lukumäärä c on rajattu:
Lisäksi mihin tahansa lukuun, joka tyydyttää nämä eriarvoisuudet, on käyriä, joissa on täsmälleen tämä määrä komponentteja.
Tämä lause on Hilbertin kuudestoista ongelman perusta .
Enimmäismäärä ( ) on 1 enemmän kuin ei-yksikön m- asteen käyrän suku .
Käyrää, joka saavuttaa suurimman mahdollisen määrän todellisia komponentteja asteikollaan, kutsutaan M-käyräksi (M tarkoittaa "maksimi") - esimerkiksi elliptinen käyrä, jossa on kaksi liitettyä komponenttia, tai Trott- käyrä , kvarttikäyrä, jossa on neljä komponenttia. ovat esimerkkejä M-käyristä.
-
Vasemmalla puolella oleva elliptinen käyrä (sileä aste 3) on M-käyrä, koska siinä on enimmäismäärä (2) kytkettyjä komponentteja, kun taas oikealla olevassa elliptisessä käyrässä on vain yksi komponentti.
-
Trott-käyrä, joka on esitetty tässä 7 bitangenttinsa kanssa, on kvarttinen M-käyrä (ts. Asteen 4), koska se saavuttaa tämän asteen käyrän yhdistettyjen komponenttien maksimimäärän (4).
Viitteet
- CGA Harnack , Ueber die Vieltheiligkeit der ebenen algebraischen Curven , Math. Ann. 10 (1876), 189-199.
- G. Wilson, Hilbertin kuudestoista ongelma , Topology 17 (1978), 53–74
- J. Bochnak, M. Coste, M.-F. Roy , Real algebrallinen geometria . Sarja: Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge / A-sarja modernia. Surveys in Mathematics, Vuosikerta 36, Springer, 1998.
- R. Benedetti, J.- J.Risler , Todelliset algebralliset ja puolialgebraaliset sarjat . Matemaattiset uutiset, Hermann, 1990.
- (fr) Tämä artikkeli on osittain tai kokonaan otettu englanninkielisestä Wikipedia- artikkelista " Harnack's curve theorem " ( katso kirjoittajaluettelo ) .