Tutkinto (matematiikka)
Yleensä aste osoittaa määritetyn määrän, joka lisätään tai joka luonnehtii epäjatkuvasti ilmiötä:
- puhumme tikkaiden asteista porrastusten tai portaiden osoittamiseksi (yksi nousee tietyllä määrällä kussakin vaiheessa);
- puhumme maanjäristyksen asteesta sen voimakkuuden osoittamiseksi.
Tähän fyysistä maailmaa kuvaavaan käsitteeseen liittyen matemaatikot ovat kastaneet tutkinnon tietyille ominaisuuksille hyvin erilaisista kohteista: algebra , topologia , graafiteoria , tilastot jne.
Tutkinto algebrassa
Polynomin aste
Määrittelemättömään
Joko rengas. Rengas polynomien yksi epämääräinen yli on , että on , polynomi kertoimet .
AT{\ displaystyle A}AT{\ displaystyle A}AT[X]{\ displaystyle A [X]}P{\ displaystyle P}AT{\ displaystyle A}
Aste , joka on merkitty tai määritelty seuraavasti:
P{\ displaystyle P}deg(P){\ displaystyle \ deg (P)}d∘(P){\ displaystyle d ^ {\ circ} (P)}
- Jos ,P=0{\ displaystyle P = 0}deg(P)=-∞{\ displaystyle \ deg (P) = - \ infty}
- Muussa tapauksessa määritämme:P=kloeiXei+kloei-1Xei-1+...+klo1X+klo0{\ displaystyle P = a_ {n} X ^ {n} + a_ {n-1} X ^ {n-1} + ... + a_ {1} X + a_ {0}}deg(P)=sup{ei∈EI,kloei≠0}{\ displaystyle \ deg (P) = \ sup \ {n \ sisään \ mathbb {N}, a_ {n} \ neq 0 \}}
Esimerkiksi, deg(3X5-2X4+8X-2)=5{\ displaystyle \ deg (3X ^ {5} -2X ^ {4} + 8X-2) = 5}
Useissa määrittelemättömissä
Anna rengas ja . Määrittelemättömän polynomien rengas onAT{\ displaystyle A}ei∈EI{\ displaystyle n \ sisään \ mathbb {N}}ei{\ displaystyle n}AT{\ displaystyle A}AT[X1,X2,...,Xei]{\ displaystyle A [X_ {1}, X_ {2}, ..., X_ {n}]}
Nollapolynomin aste on aina .
-∞{\ displaystyle - \ infty}
Muuten tarkastelemme joukkoa "määrittelemättömien eksponenttien summat" kussakin termissä. Polynomin aste on silloin tämän ryhmän suurin elementti.
Esimerkiksi: sisään AT[X,Y],deg(X2Y2+3X3+4Y)=4{\ displaystyle A [X, Y], \ deg (X ^ {2} Y ^ {2} + 3X ^ {3} + 4Y) = 4}
Rationaalisen murtoasteen aste
Anna olla kommutatiivinen , yhtenäinen, kiinteä rengas . Alalla järkevän fraktiot on määräämättömän yli on . Joko . Se on olemassa ja sellainen .
AT{\ displaystyle A}AT{\ displaystyle A}AT(X){\ displaystyle A (X)}F∈AT(X){\ displaystyle F \ sisällä A (X)}EI∈AT[X]{\ displaystyle N \ paikassa A [X]}D.∈AT[X]∖{0}{\ displaystyle D \ kohdassa A [X] \ setminus \ {0 \}}F=EID.{\ displaystyle F = {\ tfrac {N} {D}}}
Koko on riippumaton valitulle edustajalle .
deg(AT)-deg(B)∈Z∪{-∞}{\ displaystyle \ deg (A) - \ deg (B) \ sisään \ mathbb {Z} \ cup \ {- \ infty \}}EID.{\ displaystyle {\ tfrac {N} {D}}}F{\ displaystyle F}
Sitten määritellään , merkitään tai .
deg(F)=deg(AT)-deg(B){\ displaystyle \ deg (F) = \ deg (A) - \ deg (B)}deg(F){\ displaystyle \ deg (F)}d∘(F){\ displaystyle d ^ {\ circ} (F)}
Tutkinnon ominaisuudet
- ∀(P,Q)∈(AT(X))2,deg(P+Q)≤sup{deg(P),deg(Q)}{\ displaystyle \ forall (P, Q) \ in (A (X)) ^ {2}, \ deg (P + Q) \ leq \ sup \ {\ deg (P), \ deg (Q) \}}
- Jos on eheys,AT{\ displaystyle A}∀(P,Q)∈(AT(X))2,deg(PQ)=deg(P)+deg(Q){\ displaystyle \ forall (P, Q) \ in (A (X)) ^ {2}, \ deg (PQ) = \ deg (P) + \ deg (Q)}
Tutkinto graafiteoriassa
Graafiteoriassa kärkipisteen aste on tästä kärkipisteestä johtuvien reunojen lukumäärä.
Puhumme myös kuvaajan vähimmäistasosta ja sen suurimmasta asteesta. Kun kuvaaja on säännöllinen , voimme puhua n asteen kuvaaja.
Aste on täytäntöönpano jatkuu välillä lajikkeiden saman ulottuvuuden on yleistys käsitteen käämin ympyrän itseensä. Se on homologinen invariantti, jolla on positiiviset kokonaislukuarvot .
Katso myös