Schwarzin lause
Schwarz lause , Clairaut tai Young on lause on analyysi on toinen osittaisderivaatat on funktio usean muuttujan . Se on esitetty ensimmäistä kertaa tietenkin differentiaalilaskenta antama Weierstrass vuonna 1861, joka Hermann Schwarz sitten läsnä on Berliini .
Osavaltiot
Lause Schwarz -
Olkoot E ja F kaksi normeerataan tilat , U avoin sekä e ja f : U → F kahdesti soveltamalla derivoituva pisteessä on U . Sitten bilineaarinen kartta d 2 f a : E × E → F on symmetrinen .
Seuraus - Olkoon f funktio, jonka todelliset arvot määritetään avoimelle joukolle ℝ n . Jos f on kaksi kertaa erilainen pisteessä, niin sen Hessin-matriisi tässä pisteessä on symmetrinen .
Hessin symmetria tarkoittaa, että osittaisen johdannan tulos järjestyksessä 2 kahden muuttujan suhteen ei riipu siitä, missä järjestyksessä johdanto tehdään näiden kahden muuttujan suhteen:
∂∂x(∂f∂y)(klo)=∂∂y(∂f∂x)(klo){\ displaystyle {\ frac {\ partitali} {\ osittainen x}} \ vasen ({\ frac {\ osallinen f} {\ osallinen y}} \ oikea) (a) = {\ frac {\ osallinen} {\ osallinen y}} \ vasen ({\ frac {\ partis f} {\ osaa x}} \ oikea) (a)}.
Tätä lausetta kutsutaan joskus englanniksi " Youngin lause " ( lause Young ), nimi, joka tarkoittaa myös laajennusta korkeamman asteen johdannaisiin.
Vastaesimerkki
Yllä oleva tulos voi epäonnistua, jos oletuksia ei ole vahvistettu. Ensimmäisen melko monimutkaisen vasta-esimerkin antoi Schwarz itse vuonna 1873. Peano ehdotti toisen, yksinkertaisemman vasta-esimerkin vuonna 1884. Se on funktio, jonka määrittelevät:
f(x,y)={xy(x2-y2)x2+y2jos (x,y)≠(0,0)0jos ei,{\ displaystyle f \ left (x, y \ right) = {\ begin {cases} {\ frac {xy \ left (x ^ {2} -y ^ {2} \ right)} {x ^ {2} + y ^ {2}}} ja {\ teksti {si}} \ vasen (x, y \ oikea) \ neq \ vasen (0,0 \ oikea) \\ 0 & {\ text {muuten,}} \ end { tapaukset}}}
kuka tarkistaa
∂2f∂y∂x(0,0)=-1sillä aikaa∂2f∂x∂y(0,0)=1{\ displaystyle {\ frac {\ osal ^ ^ {2} f} {\ osaa y \ osaa x}} \ vasen (0,0 \ oikea) = - 1 \ quad {\ text {while}} \ quad {\ frac {\ osal ^ {2} f} {\ osittain x \ osaa y}} \ vasen (0,0 \ oikea) = 1}.
Soveltaminen differentiaalilomakkeisiin
Tarkastellaan mittasuhteessa 2 seuraavaa tarkkaa differentiaalista 1-muotoa , jossa f on luokan C 2 :
df=klo(x,y)dx+b(x,y)dy.{\ displaystyle \ mathrm {d} f = a (x, y) \, \ mathrm {d} x + b (x, y) \, \ mathrm {d} y.}
Niin,
klo(x,y)=∂f∂x(x,y) ja b(x,y)=∂f∂y(x,y).{\ displaystyle a (x, y) = {\ frac {\ osittainen f} {\ osallinen x}} (x, y) {\ teksti {et}} b (x, y) = {\ frac {\ osallinen f } {\ osittainen y}} (x, y).}
Soveltamalla Schwarzin lausetta päätellään:
∂b∂x(x,y)=∂klo∂y(x,y).{\ displaystyle {\ frac {\ partitali b} {\ osittainen x}} (x, y) = {\ frac {\ osittainen a} {\ osittainen y}} (x, y).}
Tämä on siis välttämätön edellytys differentiaalimuodon oikeellisuudelle. Erotusmuodon, joka täyttää tämän välttämättömän ehdon, sanotaan olevan suljettu .
Yleisemmin, ulottuvuudessa n :
mikä tahansa luokan C 1 tarkka muoto on suljettu,
joka, erityisesti 1-muodon ω tapauksessa , kirjoitetaan:
jos ω=df niin dω: =∑i<j(∂ωj∂xi-∂ωi∂xj)dxi∧dxj=0.{\ displaystyle {\ text {si}} \ omega = \ mathrm {d} f {\ text {sitten}} \ mathrm {d} \ omega: = \ summa _ {i <j} \ vasen ({\ frac { \ osittainen \ omega _ {j}} {\ osallinen x_ {i}}} - {\ frac {\ osallinen \ omega _ {i}} {\ osittainen x_ {j}}} \ oikea) \ matrm {d} x ^ {i} \ wedge \ mathrm {d} x ^ {j} = 0.}
Esitys 1-muodosta
Harkitse tarkkaa 1-lomaketta
ω=df=ω1dx1+ω2dx2+...+ωeidxei{\ displaystyle \ omega = \ mathrm {d} f = \ omega _ {1} \ mathrm {d} x_ {1} + \ omega _ {2} \ mathrm {d} x_ {2} + \ ldots + \ omega _ {n} \ mathrm {d} x_ {n}}
jossa funktio f kuuluu luokkaan C 2 . Tiedämme myös sen
df=∂f∂x1dx1+∂f∂x2dx2+...+∂f∂xeidxei{\ displaystyle \ mathrm {d} f = {\ frac {\ osa f} {\ osittain x_ {1}}} \ matrm {d} x_ {1} + {\ frac {\ osio f} {\ osaa x_ { 2}}} \ mathrm {d} x_ {2} + \ ldots + {\ frac {\ osa f} {\ osittain x_ {n}}} \ mathrm {d} x_ {n}}
Joten kaikesta i,j<ei{\ displaystyle i, j <n}
ωi=∂f∂xi{\ displaystyle \ omega _ {i} = {\ frac {\ osa f} {\ osittain x_ {i}}}} ja
ωj=∂f∂xj{\ displaystyle \ omega _ {j} = {\ frac {\ osa f} {\ osittain x_ {j}}}}
Johtamalla ja vastaavasti mukaan ja ,
ωi{\ displaystyle \ omega _ {i}}ωj{\ displaystyle \ omega _ {j}}xj{\ displaystyle x_ {j}}xi{\ displaystyle x_ {i}}
∂ωi∂xj=∂2f∂xi∂xj{\ displaystyle {\ frac {\ partituali \ omega _ {i}} {\ partituali x_ {j}}} = {\ frac {\ osavaltio ^ {2} f} {\ osaa x_ {i} \ osaa x_ {j }}}} ja
∂ωj∂xi=∂2f∂xj∂xi{\ displaystyle {\ frac {\ partituali \ omega _ {j}} {\ partituali x_ {i}}} = {\ frakka {\ osavaltio ^ {2} f} {\ osio x_ {j} \ osio x_ {i }}}}
Schwarzin lauseen nojalla - jota sovelletaan tässä, koska niiden oletetaan kuuluvan luokkaan C 1 - nämä kaksi osittaista johdannaista ovat yhtä suuria, joten
ωi{\ displaystyle \ omega _ {i}}
∀i,j<ei,∂ωi∂xj=∂ωj∂xi{\ displaystyle \ forall i, j <n, \ quad {\ frac {\ partituali \ omega _ {i}} {\ partituali x_ {j}}} = {\ frac {\ osittainen \ omega _ {j}} { \ osittainen x_ {i}}}}
mikä saattaa esittelyn päätökseen.
Huomautuksia ja viitteitä
-
Ranskassa ja Belgiassa sitä kutsutaan joskus Clairautin lauseeksi . Vrt. James Stewart ( käännös Micheline Citta-Vanthemsche), Analyysi. Käsitteet ja asiayhteydet , voi. 2: Useiden muuttujien toiminnot , De Boeck ,2006, 1064 Sivumäärä ( ISBN 978-2-8041-5031-0 , lue verkossa ) , s. 764.
-
Knut Sydsaeter , Peter Hammond ( trans. Vuodesta Englanti Micheline Citta-Vanthemsche), matematiikka taloudelle [ " Mathematics for Economic Analysis "], Pearson ,2014.
-
Sylvie Benzoni-Gavage , differentiaalilaskenta ja differentiaaliyhtälöt: oppitunnit ja korjatut harjoitukset , Dunod ,2014, 2 nd ed. ( lue verkossa ) , s. 72.
-
Esittely on saatavana Wikikorkeakoulusta ( katso alla ).
-
Lause on usein todettu ja osoitettu alla tiukempaa olettaen, että f on C-luokan 2 on U .
-
Henri Cartan , differentiaalilaskennan kurssi , Hermann , 1967, uusintapaino. 1977, s. 65-69 .
-
(in) "Youngin lause" (julkaisu 11. heinäkuuta 2006 Internet-arkistossa ) , UC Berkeley , maatalouden ja resurssitalouden laitos .
-
(in) RGD Allen, Matemaattinen analyysi ekonomistit , New York, Pyhän Martin Press,1964( lue verkossa ) , s. 300-305.
-
Ernst Hairer Gerhard Wanner ( trans. Vuodesta Englanti), Analysis kautta aikojen [ " Analyysi historiansa "], Springer ,2001( 1 st toim. 1996) ( lukea verkossa ) , s. 316-317.
-
Tämä vastaesimerkki on yksityiskohtainen Wikiversité-sivustossa ( katso alla ).
Katso myös
Poincarén lemma
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">