Päälukuarvojen harvennuslause

Lause on ohenemiseen alkulukuja johtuu osoittaa Adrien-Marie Legendre vuonna 1808 . On tänään, seuraus on Alkulukulause , arvasi jonka Gauss ja Legendre 1790-luvulla ja osoitti vuosisataa myöhemmin.

Tuloksena todetaan, että luonnollinen tiheys on joukko alkulukuja on nolla, joka on sanoen määrä alkulukujen pienempi kuin n , π ( n ) on mitätön ennen n , kun n menee äärettömyyteen, toisin sanoen, että

limei→+∞π(ei)ei = 0.{\ displaystyle \ lim _ {n \ - + \ infty} {\ frac {\ pi (n)} {n}} \ = \ 0.}

Alkuperäisessä todistuksessa käytetään seulontatekniikoita, jotka perustuvat sisällyttämisen-poissulkemisen periaatteeseen . Tulkinta on, että kun n kasvaa, alkulukujen osuus alle n: n luonnollisten numeroiden joukossa on nolla, joten termi "alkulukujen harvennus".

Peruskokeen pääpiirteet

Merkitään tuote ensimmäisen alkulukuja . P(sei)=∏i=1eisi{\ displaystyle P \ vasen (p_ {n} \ oikea) = \ prod _ {i = 1} ^ {n} p_ {i}}ei{\ displaystyle n}

Lasketaan toisaalta Euler-indikaattoriP(sei){\ displaystyle P \ vasen (p_ {n} \ oikea)}  :

Lemma  : Intervallin kokonaisluvut, jotka eivät ole minkään kerrannaisia, numeroidaan , joten niiden osuus on . [1,P(sei)]{\ displaystyle \ vasen [1, P \ vasen (p_ {n} \ oikea) \ oikea]}si{\ displaystyle p_ {i}}(s1-1)(s2-1)⋯(sei-1){\ displaystyle (p_ {1} -1) (p_ {2} -1) \ cdots (p_ {n} -1)}(1-1s1)...(1-1sei){\ displaystyle \ left (1 - {\ frac {1} {p_ {1}}} \ right) \ pisteet \ left (1 - {\ frac {1} {p_ {n}}} \ right)}

Me todistaa toisaalta, että (jonka divergenssi on sarja käänteislukujen alkuluvut tai enemmän suoraan, käyttämällä ilmentyminen summan geometrisen sarjan on suhde 1 / p k <1 ja divergenssi sarja harmonisen ) . limei→∞(1-1s1)...(1-1sei)=0{\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} \ vasen (1 - {\ frac {1} {p_ {1}}} \ oikea) \ pisteet \ vasen (1 - {\ frac {1} {p_ { n}}} \ oikea) = 0}

Pieni lisä temppu antaa sinulle mahdollisuuden päätellä lopputulos.

Huomautuksia ja viitteitä

1. Jean-Paul Delahaye , upeat alkuluvut: Matka laskutoimituksen ytimeen ,2000[ yksityiskohdat painoksesta ].
2. (en) Paulo Ribenboim , The Book of Prime Number Records , Springer ,1988( lue verkossa ) , s.  159.
3. Voimme käyttää esimerkiksi sisällyttämisen-poissulkemisen periaatetta tai, kuten Delahaye 2000 , Kiinan loppulause .
4. Katso ”  Eulerian-tuote  ”.

Aiheeseen liittyvät artikkelit

• Legendre-vakio
• Bertrandin postulaatti

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">