On matematiikka , Intuitiivisesti raja sekvenssin on elementti, jonka ehdot sekvenssin lähemmäksi kun indeksit tulla hyvin suureksi. Tätä intuitiivista määritelmää ei tuskin voida käyttää, koska se olisi tarpeen pystyä määrittelemään "tulemaan lähemmäksi" merkitys. Tämä käsite merkitsee, että on olemassa etäisyyden (aiheuttama absoluuttinen arvo on ℝ , jonka moduuli on ℂ , jonka normi on normeerataan vektoriavaruudessa ), mutta näemme, että voimme jopa tehdä ilman sitä edellyttäen, että meillä on topologia . Tässä artikkelissa esitellään ensin käsite todellisen sekvenssin rajasta , sitten monimutkaisen sekvenssin raja ja vasta sen jälkeen, vaikka se merkitsisi redundanssia, topologisen avaruuden rajan käsitteen jälkeen .
Jos paketin rajan virallistaminen tapahtuu melko myöhään, sen intuitiivinen käyttö juontaa juurensa yli 2000 vuotta. Kun elementit on Euclid (X.1), sanotaan: "Koska kaksi erilaisiin suuruuksiin, vaikka, sitä suurempi on vähennetty yli puoli, ja loput on leikattu pois enemmän kuin puoli ja aina jatkaa tällä tavalla, me päätyä pienempään määrään kuin pienin annettu ” . Nykyisellä kielellä se antaisi:
joko (huomaa yksinkertaisesti ) todellisen positiivisen sekvenssin siten, että kaikille n: lle , sitten jokaiselle positiiviselle , on olemassa sellainen indeksi , että . Mikä on melkein määritelmä sekvenssille, jonka raja on 0.Jotkut saattavat uskoa, että tämä tulkinta Euclid kymmenenneksi elementti on virheellinen modernisointi, riittää huomaamaan heidän erehdyksensä tarkastelemalla Arkhimedeen käyttää hänen menetelmiä Quadrature . Pyrkiessään laskemaan esimerkiksi levyn pinta-alan tai parabolan alapuolella olevan alueen , hän pyrkii lähestymään sitä monikulmioalueilla ja havaitsee sitten haetun alueen ja monikulmion pinta-alan välisen eron. Hän osoittaa, että kussakin vaiheessa tämä ero on vähentynyt yli puolella, ja näin hän päättelee, että jatkamalla prosessia loputtomiin, olemme niin lähellä kuin haluamme haluamaasi aluetta. Tämä on ” uupumismenetelmä ”.
Tämä intuitio huonosti muotoillusta rajasta ei kuitenkaan mahdollista hälventää Zenon paradokseja , kuten Achillesin ja kilpikonna : Achilles alkaa tasoituksella A ja kulkee kaksi kertaa nopeammin kuin kilpikonna. Kun hän saapuu kilpikonnan lähtöpisteeseen, hän on jo kulkenut matkan A / 2 , Achilles sitten matkan A / 2, mutta kilpikonna on kulkenut matkan A / 4 , tässä junassa Achilles ei saavuta kilpikonnan kanssa vasta loputtoman määrän prosesseja, toisin sanoen ei koskaan .
Sitten oli odotettava 1600 vuotta ja Grégoire de Saint-Vincentin työtä vilkaistakseen epätäydellisen muotoilun yritystä, sitten Newtonin ja Leibnizin äärettömän pienen laskennan .
Sanomme, että todellinen sekvenssi myöntää rajaksi todellisen ℓ, jos:
mikä tahansa avoin väli, joka sisältää ℓ, sisältää myös kaikki sekvenssin termit lukuun ottamatta rajallista määrää niitä (ts. sisältää kaikki sekvenssin termit tietyltä listalta).Sanomme myös, että se lähenee ℓ. Jos sekvenssillä on todellinen raja, sanomme sen olevan lähentyvä tai että se lähentyy.
Edellinen määritelmä käännetään virallisesti seuraavasti:
.Sitten kirjoitamme
tai yksinkertaisemmin, kun ei ole epäselvyyttä , taiTästä määritelmästä voimme päätellä sen
Of: n täydellisyysominaisuudet antavat meille myös mahdollisuuden todeta se
Esimerkkejä yhtenevistä sekvensseistä
Sanomme, että todellinen sekvenssi eroaa, jos se ei lähene toisiinsa. Erilaiset sekvenssi voi joko olla ääretön raja tai ole mitään rajaa .
Sanomme, että sekvenssillä on taipumus + any, jos jokin muodon väli ] A , + ∞ [ sisältää kaikki sekvenssin termit lukuun ottamatta rajallista määrää niistä (eli sisältää kaikki sekvenssin termit, jotka alkavat tietystä listasta).
Tämä määritelmä käännetään virallisesti seuraavasti:
Sitten kirjoitamme
tai yksinkertaisemmin, kun ei ole epäselvyyttä, taiSanomme, että sekvenssi pyrkii –∞ jos jokin muodon väli ] –∞, A [ sisältää kaikki sekvenssin termit lukuun ottamatta rajallista määrää niistä.
Tämä määritelmä käännetään virallisesti seuraavasti:
Sitten kirjoitamme
tai yksinkertaisemmin, kun ei ole epäselvyyttä taiPerusteellinen esimerkki sekvenssistä, joka pyrkii äärettömään, on vakiosignaalisen ja 0-suuntaisen sekvenssin käänteinen:
Kaksi tulosta on melko helppo saavuttaa:
Tietyt todelliset sekvenssit eivät ole taipuvia todelliseen, + + - tai –∞-suuntaan . Näin on esimerkiksi:
Todistamme, että operaatiot konvergenttisekvensseillä välittyvät rajoilleen niin kauan kuin operaatiolla on merkitystä. Matemaattisesti tämä tarkoittaa sitä, että jos ja jos sitten
Lisäksi, jos f on jatkuva funktio on , ja jos on määritetty sitten
Jaksoihin ± ∞ suuntautuvien sekvenssien puuttuminen tekee laskutoimituksista hieman monimutkaisempia:
Sanomme, että sekvenssi lähentyy kompleksiksi ℓ jos
Huomaa, että se on sama määritelmä kuin ℝ: ssä, paitsi että kyse ei ole enää absoluuttisesta arvosta vaan moduulista .
Sitten kirjoitamme
tai yksinkertaisemmin, kun ei ole epäselvyyttä,Konvergenteille kompleksisekvensseille löydetään samat ominaisuudet kuin todellisille sekvensseille, lukuun ottamatta järjestyssuhteeseen liittyviä: raja on ainutlaatuinen, konvergenttisella sekvenssillä on rajoitettu moduuli, minkä tahansa Cauchyn sekvenssin lähentyminen (todellakin, ℂ on myös täydellinen) , eri operaatiot, kuten summa, tulo, osamäärä, välittyvät hyvin rajaan.
On normalisoitu vektori tila , sanotaan, että sekvenssi suppenee ja ℓ jos
Se on kompleksisen sekvenssin rajan yleistäminen, tavanomainen monimutkaisen tason normi on moduuli.
Sitten kirjoitamme
tai yksinkertaisemmin, kun ei ole epäselvyyttä,Rajan ainutlaatuisuus säilytetään, samoin kuin siirtyminen summan rajaan ja kertominen skalaarilla . Vasta täydellisessä normalisoidussa vektoritilassa voimme vahvistaa, että mikä tahansa Cauchyn sekvenssi lähentyy.
Eräässä metrinen tila , sanotaan, että sekvenssi konvergoituu ℓ jos
Huomaa, että tämä on sama määritelmä kuin , paitsi että kyse ei ole enää eron absoluuttisesta arvosta, vaan etäisyydestä.
Sitten kirjoitamme
tai yksinkertaisemmin, kun ei ole epäselvyyttä,Vain rajan ainutlaatuisuus säilytetään. On oltava täydellisessä metrisessä avaruudessa voidakseen sanoa, että mikä tahansa Cauchyn sekvenssi lähentyy. Jos kyseessä olevassa tilassa on toiminto, sen on oltava jatkuva, jotta se voidaan lähettää rajaan.
Kaikki edelliset määritelmät yhdistyvät topologisen avaruuden lähentymisen määritelmään .
Tai E välilyönti topologiamallilla T .
Sanomme, että sekvenssi suppenee ja jos jostakin avoin O ja T , joka sisältää ℓ elementti, on luonnollinen luku N siten, että kaikki on kuuluvat O .
Riittää, että tila erotetaan, jotta voidaan vahvistaa, että raja on ainutlaatuinen .
Tämä osa käsittelee vain metrisessä tilassa olevien arvojen sekvenssejä, joten naapurustojen laskettavia emäksiä . Tässä yhteydessä alla määritelty tartunta-arvon käsite yhtyy yleiseen käsitykseen, joka on erilainen.
Tai sekvenssi, jossa arvoja metrinen avaruus E .
Jos on tiukasti kasvava funktio (kuten toiminto kutsutaan linko ), sanomme, että sekvenssi on sekvenssi, uutettiin (tai osa-sekvenssi ) sekvenssistä
Karkeasti ottaen se on jatko , jolle pidimme vain tietyt ehdot (joka tapauksessa ääretön).
Sanomme, että arvo ℓ on sekvenssin kiinnittymisen arvo, jos on olemassa eroteltu sekvenssi, joka yhtyy kohti ℓ.
Idean saamiseksi tarttumisarvo on elementti ", jonka lähellä sekvenssi usein kulkee", toisin sanoen, niin pitkälle kuin me menemme, löydämme aina sarjan sekvenssin tämän elementin läheltä .
Ominaisuus 1
Jos sekvenssi arvojen E suppenee kohti l ∈ E , l on ainutlaatuinen arvo adheesion , joka on sanoa, että kaikki uutettiin sekvenssit suppenevat l .
Siinä tapauksessa, että E on kompakti tila , meillä on jopa vastavuoroinen. Se koskee esimerkiksi minkä tahansa sekvenssin kanssa arvoja segmentti on ℝ (toisin sanoen mikä tahansa rajoitettu todellinen sekvenssi), tai jopa mitään todellista sekvenssiä, pitäen kompakti loppuun reaaliakselilla (tässä tapauksessa + ∞ ja - ∞ ei a priori jätetä jatkeen tarttuvuusarvojen luettelosta):
Ominaisuus 2
Jos sekvenssillä on arvot kompaktissa tilassa E , se myöntää ainakin yhden tarttumisarvon E : ssä ja se lähentyy vain ja vain, jos se sallii vain yhden .
Ominaisuus 3
Sekvenssi arvojen E suppenee ja l ∈ E , jos ja vain jos:
Voimme myös nähdä, miten yleistää tämän tuloksen: riittää, että kuvien uuttolaitteiden katsotaan kokonaan kattamaan ℕ (esimerkiksi täältä, ja ), eli että (ääretön) sarjaa indeksien erotetun käytetyt sekvenssit ovat yhtä jälleennäkeminen kaikki luonnosta saatavat.
Merkintä
Tämä ominaisuus on hyödyllinen osoittamaan ei-lähentyminen sekvenssin arvojen E : jos
älä sitten lähene.
Esimerkki
Seuraavat (-12, 23, -34, 45, -56,…) = ((–1) nein +1) n ∈ℕ * (vrt. kuva) voidaan jakaa kahteen osajonoon :
Kaksi alisekvenssiä lähentymässä kohti eri rajoja, alkuperäinen sekvenssi ei lähene.
Aina kun E on metrinen avaruus, meillä on voimakas Bolzano-Weierstrass-lause :
Metrinen tila E on kompakti, jos (ja vain jos) se on peräkkäin kompakti , toisin sanoen jos kaikilla E: n seuraavilla arvoilla on ainakin yksi tarttuvuusarvo E: ssä .