Kripke-Platekin joukko-teoria

Joukko teoria kripke-Platek on järjestelmä aksioomat n ensimmäisen kertaluvun varten set theory kehittämä Saul Kripke ja Richard Platek . Siinä on kolme aksioomamallia , joista kukin vastaa äärettömää luetteloa ensimmäisen kertaluvun aksiomeista.

Aksioomat

Laajennuksen aksioma : Kaksi joukkoa, joilla on samat elementit, ovat yhtä suuret.
Induktioaksiooma : φ ( x ) on ensimmäisen kertaluvun kaava :

{\ displaystyle [\ forall x [\ allall y \ in x, \ varphi (y) \ Rightarrow \; \ varphi (x)]] \ Rightarrow \; \ forall x \ varphi (x)}

Tyhjän joukon aksiomi : On joukko ilman elementtiä.
Parin aksiomi : Jos x ja y ovat joukkoja, on joukko, joka on merkitty { x , y } ja jolla on tarkalleen x ja y elementeille .
Kokouksen aksiomi : Jokaiselle joukolle X on joukko U X, jonka elementit ovat X: n elementtejä .
I 0 - erotuksen aksiomi : Kaikille joukkoille X ja mille tahansa Σ 0 - kaavamuodolle ( x ) on joukko X : n elementtejä, jotka täyttävät φ ( x ): n.
Σ 0 -keräyksen aksioma : Olkoon Σ 0- kaava ( x , y ) siten, että kaikille x: lle on y tyydyttävä φ ( x , y ); sitten jokainen X on joukko Y on y siten, että φ ( x , y ) varten x on X .

Tässä a 0- kaava on kaava, jossa mikä tahansa kvantisointi on muodoltaan, tai kvantifioijien kattamat muuttujat kuvaavat joukkoa. ${\ displaystyle \ kaikki u \ sisään v}$ ${\ displaystyle \ on olemassa \ sisällä v}$

Siksi tämä teoria on huomattavasti heikompi kuin tavallinen ZFC-teoria , koska se ei sisällä osien joukon, äärettömyyden ja valinnan aksiomia, ja siinä käytetään heikentyneitä ymmärryksen muotoja ja korvausjärjestelmiä.

Induktion aksioma on vahvempi kuin ZF: n perustava aksioma .

Karteesisen tuotteen olemassaolo johtuu keräyskaaviosta, erotusmenetelmästä sekä parin ja liittymisen aksiomeista.

Tukikelpoiset sarjat ja ordinaalit

Joukon E sanotaan olevan hyväksyttävä, jos se on transitiivinen ja jos se on malli Kripke-Platekin teoriasta. ${\ displaystyle \ langle E, \ in \ rangle \, \!}$

Järjestysluku α sanotaan olevan tutkittavaksi , jos L α on tutkittavaksi asetettu.