Hopf-Rinow-lause
Olkoon ( M , g ) kytketty Riemannin-pakosarja ( ilman rajaa ). Hopf-Rinow teoreema sanoo, että seuraavat ominaisuudet ovat vastaavat:
- On olemassa piste metriä vuonna M jolle soveltamista eksponentiaalista alkuperäisen m asetetaan T m M .
- Jokaisella pisteellä m in M , räjähdysmäinen alkuperäisen m asetetaan T m M .
- Jakoputken ( M , g ) on geodesically täydellinen, eli geodesics on määritelty ℝ.
- Tila M on täydellinen Riemannin etäisyydelle.
- Suljetut ja rajoitetut osat ovat pienikokoisia .
Myös tässä tilanteessa tahansa kaksi pistettä ja b on M voidaan yhdistää geodeettisen pituuden d ( , b ). Erityisesti eksponentiaalinen kartta (sen alkuperästä riippumatta) on surjektiivinen .
Lause on nimetty Heinz Hopfin ja hänen oppilaansa Willi Rinowin (de) (1907-1979) mukaan.
Se myöntää yleisemmän version pituuksien välissä .
Esimerkkejä
- Hopf-Rinow-lause tarkoittaa, että kaikki pienikokoiset, yhdistetyt Riemannin-pakosarjat ovat geodeettisesti täydellisiä. Esimerkiksi pallo on geodeettisesti täydellinen.
- Euklidinen tila ℝ n ja hyperbolinen tilat ovat geodesically täydellinen.
- Metrinen avaruus M : = ℝ 2 \ {0} indusoituun euklidinen metriikka ei ole geodesically täydellinen. Itse asiassa M : ssä kahta vastakkaista pistettä ei ole kytketty mihinkään geodeettiseen. Metrinen tila M ei myöskään ole täydellinen, koska se ei ole suljettu kohdassa ℝ 2 .
Hakemus Lie-ryhmille
Olkoon G olla Lien ryhmä jolla on bi-invariant Riemannin metriikka (esimerkiksi muuttuja on aina olemassa, jos G on kompakti ). Tällaiseen metriikkaan liittyvä eksponentti neutraalissa elementissä osuu eksponenttiin Lie-ryhmien teorian merkityksessä . Erityisesti neutraalin elementin läpi kulkevat geodeettiset aineet tunnistetaan yhden parametrin alaryhmillä . Siksi :
- minkä tahansa kompaktin Lie-ryhmän G osalta eksponentiaalinen (valeryhmien teorian mielessä) on surjektiivinen;
- Lie-ryhmä SL (2, ℝ) ei hyväksy mitään kaksivarianttista Riemannin-metriikkaa (koska eksponentti ei ole surjektiivinen, ota esimerkiksi ).
