Kerin-Milman-lause

Kerin-Milman Lause on lause, osoittaa Mark Kerin ja David Milman vuonna 1940, joka yleistyy tiettyihin topologinen vektoriavaruudet geometrinen tuloksen liittyvä konveksi joukko totesi Hermann Minkowski äärellisessä ulottuvuus (ja usein väärin kutsui itseään ”Kerin-Milman lause").

Lauseen erityisen yksinkertaistettu muoto on esitetty: mikä tahansa kupera monikulmio on sen huippujen joukon kupera kirjekuori. Tämä pätee myös kuperaan polytooppiin .

Käsite "ääripiste"

Antaa olla kupera ja piste . Sanomme, että se on äärimmäinen kohta , kun se on vielä kupera. Tämä vastaa sanomista, jonka tasa-arvo merkitsee . VS{\ displaystyle C}vs.{\ displaystyle c}VS{\ displaystyle C}vs.{\ displaystyle c}VS{\ displaystyle C}VS∖{vs.}{\ displaystyle C \ setminus \ {c \}}vs.1,vs.2∈VS{\ displaystyle c_ {1}, c_ {2} \ sisään C}vs.=vs.1+vs.22{\ displaystyle c = {\ frac {c_ {1} + c_ {2}} {2}}}vs.1=vs.2=vs.{\ displaystyle c_ {1} = c_ {2} = c}

Raja-ulotteinen lausunto

Lause  -  Kaikki kompakti kupera , joka affiini tila on rajallinen ulottuvuus on kupera kuori ja joukko sen päätepisteiden.

Todiste ei ole kovin pitkä, keskeinen väline ollessa lause, olemassaolo tuen hypertaso missään vaiheessa rajan kupera.

Esittely

Todiste on kuperan ulottuvuuden toistuminen . Tulos on ilmeinen singletonille; Oletetaan nyt, että tulos on totta kaikille ulottuvuuden kuperille, jotka ovat tiukasti pienempiä kuin kiinteä kokonaisluku , ja annetaan olla ulottuvuuden kupera . k{\ displaystyle k}VS{\ displaystyle C}k{\ displaystyle k}

Vaikka se tarkoittaa korvaa ympäristön tilan kanssa affiinia kirjekuoren ja voimme olettaa, että se on affiinin tila, jonka ulottuvuus on myös . VS{\ displaystyle C}k{\ displaystyle k}

Olkaamme nyt tehdä piste on ja näyttää, että se on kupera vaipan Esseenin pistettä. Tätä varten piirrämme viivan, joka kulkee . Sarja on tällöin kupera , pienikokoinen oletetulla kompaktiolettamuksella . Siksi se on muodoltaan missä . m{\ displaystyle m}VS{\ displaystyle C}D.{\ displaystyle D}m{\ displaystyle m}VS∩D.{\ displaystyle C \ korkki D}D.{\ displaystyle D}VS{\ displaystyle C}[klo,b]{\ displaystyle [a, b]}m∈[klo,b]{\ displaystyle m \ sisään [a, b]}

Nyt kun ne ovat kiinni komplementissa , ne ovat siten tämän kuperan rajapisteitä. Siksi on olemassa tukihypertasoja ja näissä kohdissa. Esittelemme kupera ja . klo{\ displaystyle a}b{\ displaystyle b}VS{\ displaystyle C}Hklo{\ displaystyle H_ {a}}Hb{\ displaystyle H_ {b}}VSklo=VS∩Hklo{\ displaystyle C_ {a} = C \ korkki H_ {a}}VSb=VS∩Hb{\ displaystyle C_ {b} = C \ korkki H_ {b}}

Sitten huomaamme, että mikä tahansa (edustajan ) ääripiste on edelleen . Olkoon itse asiassa niin äärimmäinen kohta , sitten ja kaksi pistettä . Jos ainakin yksi kahdesta pisteestä ja ei ole , koska erotinmerkki tämän hypertason, kaikki avoimet segmentti pysyy yhden avoimen puoli-rajaamaan tilaan ja siten vältetään  ; jos ja ovat molemmat , se on kuperuuden jolla varmistetaan, että välttelee . Kaikissa tapauksissa segmentti on siis varsin kokonainen ja siten äärimmäinenVSklo{\ displaystyle C_ {a}}VSb{\ displaystyle C_ {b}}VS{\ displaystyle C}vs.{\ displaystyle c}VSklo{\ displaystyle C_ {a}}x{\ displaystyle x}y{\ displaystyle y}VS∖{vs.}{\ displaystyle C \ setminus \ {c \}}x{\ displaystyle x}y{\ displaystyle y}Hklo{\ displaystyle H_ {a}}]x,y[{\ displaystyle] x, y [}Hklo{\ displaystyle H_ {a}}vs.{\ displaystyle c}x{\ displaystyle x}y{\ displaystyle y}Hklo{\ displaystyle H_ {a}}VSklo∖{vs.}{\ displaystyle C_ {a} \ setminus \ {c \}}[x,y]{\ displaystyle [x, y]}vs.{\ displaystyle c}[x,y]{\ displaystyle [x, y]}VS∖{vs.}{\ displaystyle C \ setminus \ {c \}}vs.{\ displaystyle c}VS.{\ displaystyle C.}

Lisäksi, koska ja ovat ulottuvuus , kahden kupera ja ovat ulottuvuus ehdottomasti pienempi kuin . Siksi voimme soveltaa induktiohypoteesia niihin. Tämä osoittaa, että (tai ) on lineaarinen yhdistelmä loppupisteitä (vastaavasti ), siis loppupisteitä . Niin kauan kuin sen vuoksi kuuluu näiden päätepisteiden kuperaan verhoon, niin vuorostaan, koska se on segmentillä . Hklo{\ displaystyle H_ {a}}Hb{\ displaystyle H_ {b}}k-1{\ displaystyle k-1}VSklo{\ displaystyle C_ {a}}VSb{\ displaystyle C_ {b}}k{\ displaystyle k}klo{\ displaystyle a}b{\ displaystyle b}VSklo{\ displaystyle C_ {a}}VSb{\ displaystyle C_ {b}}VS{\ displaystyle C}klo{\ displaystyle a}b{\ displaystyle b}m{\ displaystyle m}[klo,b]{\ displaystyle [a, b]}

Yleistyminen äärettömässä ulottuvuudessa

Lause  -  Jokainen kompakti kupera on erillinen paikallisesti kupera avaruus on kupera-suljetussa kirjekuoressa joukon sen päätepisteenä.

"(Osittainen) käänteisluku Milman" varmistaa, että tämä esitys kompakti kupera K kuin kuperan suljetun kirjekuoren osasta K on, tietyssä mielessä, optimaalinen: adheesio tällaisen osan sisältää kohtia Esseenin ja K .

Huomautuksia ja viitteitä

1. (in) Mr. Kerin ja D. Milman , "  äärimmäinen pisteen kuperan sarjaa säännöllisesti  " , Studia Mathematica , vol.  9,1940, s.  133-138
2. (in) David Milman , "  Ominaisuudet Esseenin pisteen kuperan sarjaa säännöllisesti  " , Doklady Akad. Nauk SSSR (NS) , voi.  57,1947, s.  119-122.

Jean-Baptiste Hiriart-Urruty ja Claude Lemaréchal, kuperan analyysin perusteet , koko. "Grundlehren Text Editions", Springer, 2001 ( ISBN  3540422056 ) , s. 41-42, 57 ja 246

Aiheeseen liittyvä artikkeli

Lause Russo-Dye  (en)

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">