On olemassa useita lauseita, joita kutsutaan Pascalin lauseeksi .
Pascalin lause on projektiivisen geometrian lause .
Tämän vuoksi pyrimme on projektiivinen taso on jokin vaihdannaisia kentällä K.
Jos kaksi vastakkaista sivua sekoitetaan, niiden leikkauspiste ei tietenkään ole ainutlaatuinen. Lause voidaan sitten tulkita esimerkiksi kirjoittamalla toinen ehto muotoon: "On olemassa rivi, joka sisältää kolme pistettä, jotka kuuluvat vastakkaisten sivujen parien vastaaviin leikkauksiin". Tätä järjestelyä ei kuitenkaan voi esiintyä oikean kartion tapauksessa, koska tällaisen kartion ja viivan leikkauspiste käsittää korkeintaan kaksi pistettä.
EsittelyM 1 , M 2 , M 3 , M 4 , M 5 ja M 6, jotka osoittavat kuusikulmion 6 kärkeä, vastakkaisten sivujen parit ovat {M 1 M 2 , M 4 M 5 }, {M 2 M 3 , M 5 M 6 }, {M 3 M 4 , M 6 M 1 }. Nämä risteykset ovat vastaavasti A, B ja C.
(i) → (ii):
Se johtuu ominaisuudet homographies on Kartioleikkauksen että kaksoissuhde nipun linjojen SM 2 , SM 4 , SM 5 , SM 6 on riippumaton pisteen S otettu kartiosta. Näin ollen meillä on samanaikaisten viivojen ristisuhteiden tasaisuus :
[M 1 M 2 , M 1 M 4 , M 1 M 5 , M 1 M 6 ] = [M 3 M 2 , M 3 M 4 , M 3 M 5 , M 3 M 6 ].Tarkasteltaessa näiden kahden palkin leikkauksia suorilla viivoilla M 4 M 5 ja M 5 M 6 , päätellään kohdistettujen pisteiden ristisuhteiden tasa-arvo:
[A, M 4 , M 5 , P] = [B, Q, M 5 , M 6 ], (1)linjat M 4 Q ja PM- 6 leikkaavat C kärki projektio C linja M 4 M 5 M 5 M 6 muunnoksia M 4 osaksi Q, P M: ksi 6 ja lehdet M 5 muuttumaton. Tämä projektio muuntaa A suoran M 5 M 6 pisteeksi B ' siten, että
[A, M 4 , M 5 , P] = [B', Q, M 5 , M 6 ] (2)koska tämä projektio on projektiivinen kartta ja säilyttää siten ristisuhteet. Kaksi sidosta (1) ja (2) johtavat
[B, Q, M 5 , M 6 ] = [B 'Q, M 5 , M 6 ] ja sen vuoksi B = B'. Joten B on A: n kuva tässä kärkipisteen C projektiossa, joka osoittaa selvästi A: n, B: n ja C: n kohdistuksen.(ii) → (i):
Hypoteesiin, meillä on projektio piste C linjan M 4 M 5 M 5 M 6 , joka muuntaa M 4 osaksi Q, P M: ksi 6 , lehdet M 5 muuttumaton ja muunnoksia A syöttöletkun B. johtaa tasa syötön suhteissa :
[A, M, M 5 , P] = [B, Q, M 5 , M 6 ]ja siten säteen poikkisuhteiden vastaavuus:
[M 1 M 2 , M 1 M 14 , M 1 M 5 , M 1 M 6 ] = [M 3 M_2, \ M 3 M 4 , M 3 M 5 , M 3 M 6 ].Siellä uudelleen, ominaisuudet homographies on kartiomainen osa osoittaa, että kuusi pistettä M 1 , M 2 , M 3 , M 4 , M 5 ja M 6 kuuluvat samaan kartiomainen.
Pappus-Pascal-lausePappus lause on erikoistapaus lauseen (suora) Pascal, kun kartiomainen on rappeutunut kahta erillistä D ja D'. Lisäksi ei-triviaalin tuloksen (välitön todentaminen) saamiseksi oletetaan, että kummallakin puolella olevat kaksi kärkeä kuuluvat erillisiin viivoihin D, D '.
Voimme huomata toistamalla mielenosoituksen tässä tapauksessa, että kartion osan homografian yleisiä tuloksia ei oikeastaan käytetä. Lausunnot, joita käytetään, ovat yksinkertaisempia kohdistettujen pisteiden jakautumisesta ja viivakimpuista.
Haluamme todistaa linjauksen ; sen vuoksi käytämme Ménélaüsin teoreemaa . Mahdollinen kolmio tälle lauseelle saadaan viivoilla, jotka antavat pisteet (toinen, jolla on rakennettu ). Kuusikulmion käyttämättömät sivut tarjoavat pisteitä, jotka ovat linjassa , joten Menelaüsin mahdolliset käyttötavat, jotka heijastavat itse asiassa kuvan rakennetta. Sitten riittää käyttää sitä tosiasiaa, että kaikki nämä pisteet ovat samassa ympyrässä, mikä oikeuttaa pisteen voiman käytön .
Joten haluamme laskea .
Käyttämällä Menelauksen lausea kolmiossa ja sitä, että ne ovat linjassa, piirrämme
siis meillä on myös samanlaiset suhteet kirjoittamalla se ja olemme linjassa. Kaikki tämä antaa
Käyttämällä valtaa suhteessa ympyrän, ammumme , ja lopulta niin että .
Tämän suuntauksen muodostamaa viivaa kutsutaan "Pascalin viivaksi". Rakenteella saatua kuvaa kutsutaan " Pascalin heksagrammiksi ".
Huomaa: kaikki riippuu valitusta aksiomajärjestelmästä, mutta kahden linjan leikkauspisteet ovat aina olemassa, jos otamme käyttöön projektiivisen geometrian aksioomat, joissa sivuutetaan rinnakkaisuus.Ottamalla tämän lausuman polaari itse ympyrän suhteen saadaan edellisen ns. Kaksoislauseke.
Alkuperäinen lausunto | "Polarisoitu" -lausunto |
---|---|
kuusi pistettä | kuusi tangenttia |
Risteys | oikea liittyminen |
vastakkainen puoli | vastakkainen kärki |
kohdistettu | samanaikainen |
Alla on edellisen piirroksen kaksoispiirustus. Pisteet on korvattu vastaavilla tangenteilla; leikkauspiste on edellisen viivan napa, joka on korostettu ympyrän tangentilla, joka syntyy projisoitumisesta ympyrän keskilinjan viivalla (pisteviivoin).
Ottaa nyt napa- näiden kahden lausunnon suhteen mitään ympyrä, saadaan että nämä kaksi lausumaa pysyvät voimassa mihinkään kartioleikkausta sijaan ympyrän.
Alla on Pascalin lause hyperbolasta "ristikkäisessä" tilanteessa: kuusikulmio ei ole vain kupera, vaan sivut leikkaavat.
Tämän lauseen päinvastainen pätee myös: jos kuusikulmion vastakkaisten sivujen leikkauspisteen kolme pistettä A, B, C ovat linjassa, kuusikulmio on merkitty kartioon .
Huomautus: Pascal mainitsee esseessäan tämän ominaisuuden pienenä toissijaisena lemmana, voimme olettaa, että hän ei havainnut tämän lauseen perusnäkökohtaa, joka on yksi projektiivisen geometrian tärkeimmistä.
Brianchonin lause myöntää käänteen, jonka avulla kartiot voidaan määritellä puhtaasti muodollisella tavalla virallisessa projektiivisessa geometriassa.
Tarjoamme täysin analyyttisen.
Annamme itsellemme kuusi pistettä .
Otamme vertailuarvoksi . Läpi kulkevalla kartiolla on muodon yhtälö
Kirjoitamme (jne.) Koordinaatit .
on ordinate ;
on abscissalle .
Laskemisen sijasta koordinoida ja tarkistaa linjaus sanomme, että kolme riviä , ja ovat samanaikaisia.
Yhtälö : ;
Yhtälö : ;
Yhtälö :
Oikeuksien samanaikaisuus johtaa determinantin pätemättömyyteen
Nyt se tosiasia, että pisteet ovat yhtälön (1) kartiolla, johtaa järjestelmään, jossa on kolme yhtälöä (yksi pistettä kohden) tuntemattomia ja joka myöntää ei-triviaalin ratkaisun. Tämä johtaa determinantin pätemättömyyteen
Nämä kaksi tekijää ovat samat.
Voimme tietysti laskea ne Sarrus-menetelmällä, mutta voimme myös havaita , että termi (jne.) Näkyy vain toisessa sarakkeessa sen tekijä on
Laskemme tämän tekijän toisen sarakkeen avulla:
Summa antaa saman lausekkeen kuin .
Vaihtamalla ja , ja determinantit eivät muutu, mikä antaa mahdollisuuden vahvistaa kertoimien yhtälö .
Pysyy edelleen , mikä on sen arvoinen
on lopulta sama kuin kerran suoritettu pieni laskelma.
Pascalin jälkeen jatkamme tämän lauseen selittämistä ja kehittämistä, mikä osoittaa sen merkityksen projektivisessa geometriassa. Sveitsiläinen matemaatikko Jakob Steiner (1796-1863) tutkii kuvaa, joka on saatu muodostamalla kaikkien mahdollisten muotojen kuusikulmioita kuudesta kiinteästä pisteestä kartiossa, ja havaitsee kuusikymmentä Pascal-viivaa . Myöhemmin, vuonna 1828, sama Steiner huomaa, että Pascalin kuusikymmentä riviä yhtyy kolmena ryhmänä kahdenkymmenessä pisteessä, joita kutsutaan Steinerin pisteiksi .
Vuonna 1830 saksalainen matemaatikko ja fyysikko Julius Plücker (1801-1868) osoitti, että Steiner-pisteet ovat linjassa neljästä neljään viidentoista Plücker-viivaksi kutsutun linjan kanssa .
Lopuksi lauseen yleisti vuonna 1847 saksalainen matemaatikko ja tähtitieteilijä August Ferdinand Möbius (1790-1868), joka tunnetaan Möbiuksen nauhan keksimisestä .
Vuonna virtausmekaniikka , Pascal lause todetaan seuraavaa:
Puristamattomat nesteet välittävät niihin kohdistuvat paineet täydellisesti ja kaikkiin suuntiin.Siksi puristamattoman nesteen ominaisuudet ovat isotrooppisia.
: tämän artikkelin lähteenä käytetty asiakirja.