Rouché-Fontenén lause

Lause Rouche - Fontene on lause on lineaarialgebran , joka tarjoaa useita ratkaisuja on lineaarisen yhtälöryhmän tietää listalla sen lisätyn matriisin (in) ja kerroinmatriisi. Tämä lause on tiedossa nimillä Kronecker - Capelli (fi) in Russia , Rouche-Capelli in Italian ja Englanti puhuvissa maissa ja Rouché- Frobenius vuonna Espanjassa ja Latinalaisessa Amerikassa .

Virallinen lausunto

Järjestelmä lineaarinen yhtälöryhmä, jossa on n muuttujat, muotoa AX = b , on ratkaisu , jos ja vain jos listalla matriisin kertoimien on yhtä suuri kuin hidastetusta matriisin ( | b ). Jos on olemassa ratkaisuja, niin ne muodostavat affiini aliavaruus on ℝ n ulottuvuus n - listalla ( ). Erityisesti :

jos n = sijoitus ( A ), ratkaisu on ainutlaatuinen;
muuten on olemassa loputtomia ratkaisuja.

Esimerkkejä

Tarkastellaan yhtälöjärjestelmää

x + y + 2 z = 3 x + y + z = 1 2 x + 2 y + 2 z = 2. Kerroinmatriisi on

{\ displaystyle A = {\ begin {pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 2 \\\ end {pmatrix}}}

ja lisätty matriisi on

{\ displaystyle (A | B) = \ vasen ({\ begin {array} {ccc | c} 1 & 1 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 2 & 2 \ end {array}} \ oikea).}

Koska näillä kahdella matriisilla on sama sijoitus, nimittäin 2, on ainakin yksi ratkaisu; ja koska niiden sijoitus on tiukasti alhaisempi kuin tuntemattomien lukumäärä (jälkimmäisiä on 3), ratkaisuja on ääretön.

Toisaalta, jos tarkastelemme järjestelmää

x + y + 2 z = 3 x + y + z = 1 2 x + 2 y + 2 z = 5, kertoimien matriisi on

{\ displaystyle A = {\ begin {pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 2 \\\ end {pmatrix}}}

ja lisätty matriisi on

{\ displaystyle (A | B) = \ vasen ({\ begin {array} {ccc | c} 1 & 1 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 2 & 5 \ end {array}} \ oikea).}

Tässä esimerkissä kertoimien matriisi on rankalla 2, kun taas korotettu matriisi on listalla 3; siksi tällä yhtälöjärjestelmällä ei ole ratkaisua. Lineaarisesti riippumattomien viivojen määrän kasvu tekee yhtälöjärjestelmästä epäyhtenäisen.

Huomautuksia ja viitteitä

(fr) Tämä artikkeli on osittain tai kokonaan otettu Wikipedian englanninkielisestä artikkelista ” Rouché-Capelli theorem ” ( katso luettelo kirjoittajista ) .

FONTENÉ Georges, ranskalainen, 1848-1923 kronomatilla.

(en) Alberto Carpinteri (it) , Rakennemekaniikka: yhtenäinen lähestymistapa , Taylor & Francis ,1997, 761 Sivumäärä ( ISBN 978-0-419-19160-5 ) , s. 74