Fubinin erilaistumislause

On matematiikka , Fubini n erilaistumista lause on seurausta todellisen analyysin , johtuu Guido Fubini , jonka mukaan kaikki sarjan lisätä toimintoja, jotka yhtyvät on lähes kaikkialla johdettavissa termi kerrallaan.

Osavaltiot

Jos kaikki luonnollinen luku n ,

{\ displaystyle f_ {n}: [a, b] \ - \ mathbb {R}}

on kasvava toiminto ja jos

{\ displaystyle \ forall x \ sisään [a, b], ~ f (x): = \ summa _ {n = 0} ^ {\ infty} f_ {n} (x) \ sisään \ mathbb {R}}

sitten melkein kaikille $x \in [ a , b ]$ ,

{\ displaystyle f '(x) = \ summa _ {n \ sisään \ mathbb {N}} f_ {n}' (x).}

Esittely

Käytämme tässä, että mikä tahansa monotoninen toiminto on erilainen lähes kaikkialla .

Voimme helposti palata tapaukseen, jossa kaikki $f n$ ovat positiivisia (vähentämällä jokaisesta sen arvo $a: ssa$ ) ja missä

{\ displaystyle \ forall n \ in \ mathbb {N}, ~ \ sum _ {k> n} f_ {k} (b) \ leq 2 ^ {- n}}

(ryhmittelemällä sarjan peräkkäiset termit).

Määrittelemällä kasvavien funktioiden $g$ $n$ summa $g$

{\ displaystyle g_ {n} (x) = \ summa _ {k> n} f_ {k} (x)}

on sitten äärellinen (positiivinen ja kasvanut 2: lla), ja meillä on melkein kaikkialla:

{\ displaystyle \ sum _ {n \ in \ mathbb {N}} g '_ {n} (x) \ leq g' (x) <+ \ infty {\ text {siis}} \ lim _ {n \ \ infty} \ left (f '(x) - \ summa _ {k \ leq n} f' _ {k} (x) \ right) = \ lim _ {n \ to \ infty} g '_ {n} (x) = 0.}

Hyppyfunktion tapaus

Seuraavat erityistapaus ei käytä derivoituvuus lauseen lähes kaikkialla on monotoninen funktio ja voi, päinvastoin toimii lemma tämän lauseen . Tämä on tapaus, jossa $f$ on "hyppyfunktio", eli missä kukin $f n$ on muodoltaan:

${\ displaystyle f_ {n} (x) = 0}$ jos ${\ displaystyle x <a_ {n},}$
${\ displaystyle f_ {n} (x) = b_ {n}}$ jos ja ${\ displaystyle x> a_ {n}}$
${\ displaystyle 0 \ leq f_ {n} (a_ {n}) \ leq b_ {n}.}$

Riippuen merkinnöistä edellisen osan, me todellakin päättele suoraan suurimman Hardy-Littlewood epäyhtälö , joka

{\ displaystyle \ forall c> 0, \ lambda ([{{overline {D}} g_ {n} \ geq c]) \ leq 2 ^ {1-n} / c}

missä D tarkoittaa Dinin ylempää johdannaista (kahdenvälinen). Mutta melkein kaikkialla

{\ displaystyle {\ overline {D}} g_ {n} = {\ overline {D}} \ left (f- \ summa _ {k \ leq n} f_ {k} \ right) = {\ overline {D} } f- \ summa _ {k \ leq n} f '_ {k} = {\ yliviiva {D}} f.}

Siksi,

{\ displaystyle \ forall c> 0, \ lambda ([{\ overline {D}} f \ geq c]) \ leq \ inf _ {n \ in \ mathbb {N}} 2 ^ {1-n} / c = 0 {\ text {siksi}} f '= 0 ~ \ lambda {\ text {-pp}}}

Huomautuksia ja viitteitä

(in) Lee Peng Yee ja Rudolf Výborný , Integral: Helppo Approach jälkeen Kurzweil ja Henstock , UPC ,2000, 311 Sivumäärä ( ISBN 978-0-521-77968-5 , luettu verkossa ) , s. 145
(in) Norman B. Haaser ja Joseph A. Sullivan , todellisen analyysin , Dover ,1971, 2 nd ed. , 341 Sivumäärä ( ISBN 978-0-486-66509-2 , lue verkossa ) , s. 235-236
(in) Terence Tao , Johdatus Mittateoria , AMS,2011( lue verkossa ) , s. 129 - 135
(in) RP Boas, Jr. , " hyppyfunktioiden erotettavuus " , Colloquium Mathematicum , voi. 8, n o 1,1961, s. 81-82 ( lue verkossa )