Suurin Hardy-Littlewood-toiminto

In matematiikan ja erityisesti analyysin , maksimaalinen Hardy-Littlewood toiminto on operaattori M , joka assosioituu tahansa paikallisesti integroituva funktio f on ℝ n toinen toiminto Mf ; tämä toiminto Mf on määritelty jokaisessa pisteessä x on ℝ n kuin on yläraja on keskiarvojen ja | f | on pallot keskellä x . Käsite suurimmasta toiminnasta ilmestyi ensimmäisen kerran vuonna 1930 julkaisemassa artikkelissa, jonka julkaisivat Godfrey Harold Hardy ja John Edensor Littlewood .

Formulaatio

Mihin tahansa paikallisesti integroitavaan toimintoon voimme liittää Hardyn ja Littlewoodin määrittämän maksimitoiminnon ${\ displaystyle f \ sisään \ mathrm {L} _ {\ text {loc}} ^ {1} \ left (\ mathbb {R} ^ {n} \ right)}$ ${\ displaystyle Mf: \ mathbb {R} ^ {n} \ - [0, + \ infty]}$

{\ displaystyle Mf (x) = \ sup _ {r> 0} {\ frac {1} {\ lambda _ {n} \ vasen (B (x, r) \ oikea)}} \ int _ {B (x , r)} | f (t) | \, \ mathrm {d} \ lambda _ {n} (t)}

missä $B ( x , r )$ tarkoittaa palloa of n keskellä $x$ ja säde $r$ > 0 ja λ n tarkoittaa Lebesgue-mittausta ℝ n: ssä .

Ominaisuudet

Suurin Hardy-Littlewood-toiminto, joka liittyy mihin tahansa paikallisesti integroitavaan toimintoon, on alempi puoliksi jatkuva .

Esittely

Riittää, kun osoitetaan, että jokainen toiminto

{\ displaystyle x \ mapsto {\ frac {1} {\ lambda _ {n} \ vasen (B (x, r) \ oikea)}} \ int _ {B (x, r)} | f (t) | \ mathrm {d} \ lambda _ {n} (t)}

(kun r > 0 kiinteä) on alempi puoliksi jatkuva, toisin sanoen se

{\ displaystyle x \ mapsto \ int _ {B (x, r)} | f (t) | \ mathrm {d} \ lambda _ {n} (t) = \ int 1_ {B (x, r)} ( t) | f (t) | \, \ mathrm {d} \ lambda _ {n} (t)}

liitäntälaite.

Tämä sovellus on kuitenkin jopa jatkuva hallitun lähentymisen avulla .

Tämä toiminto Mf ei ole koskaan integroitavissa , paitsi jos f = 0. F- integroitavaa on jopa niin, että Mf ei ole paikallisesti integroitava.

Hardy-Littlewoodin suurin eriarvoisuus

Kaikilla integroitavilla kartoilla $f$ kohdassa ℝ n ja kaikilla todellisilla c > 0: lla on ${\ displaystyle \ lambda _ {n} \ vasen ([Mf \ geq c] \ oikea) \ leq 3 ^ {n} {\ frac {\ | f \ | _ {1}} {c}}}$ (joten $Mf$ on valmis melkein kaikkialla ).
Kaikille kasvaville reaalifunktioille $F$ reaalivälillä $[$ $a$ $b$ $]$ meillä on analogisella tavalla ${\ displaystyle \ lambda _ {1} \ vasen ([G \ geq c] \ oikea) \ leq 2 {\ frac {F (b) -F (a)} {c}}, {\ text {for}} G (x) = \ sup _ {h \ neq 0 \ huipulla x + h \ kohdassa [a, b]} {\ frac {F (x + h) -F (x)} {h}}.}$
Minkä tahansa jatkuvasti kasvavan reaalifunktion $F$ kohdalla $[ a b ]$ , ${\ displaystyle \ lambda _ {1} \ vasen ([G \ geq c] \ oikea) \ leq {\ frac {F (b) -F (a)} {c}},}$ ja $G$ = yksi neljästä Dini johdannainen on $F$ .

Esittelyt

Ensimmäinen eriarvoisuus.
Vaikka se tarkoittaisi rajan siirtymistä, kun d → c - , se riittää osoittamaan sen ${\ displaystyle \ kaikki d> 0, \ lambda _ {n} \ vasen ([Mf> d] \ oikea) \ leq 3 ^ {n} \ | f \ | _ {1} / d}$ ja sen osoittamiseksi sisätilojen säännöllisyydellä , että kaikilla $[$ $Mf> d$ $]$ sisältyvillä kompakteilla K , ${\ displaystyle \ lambda _ {n} (K) \ leq 3 ^ {n} \ | f \ | _ {1} / d.}$ Jokaisella pisteellä $x$ ja K , on olemassa säde $r x$ > 0 siten, että ${\ displaystyle {\ frac {1} {\ lambda _ {n} \ vasen (B (x, r_ {x}) \ oikea)}} \ int _ {B (x, r_ {x})} | f ( t) | \ mathrm {d} \ lambda _ {n} (t)> d.}$ Tiiviyden vuoksi K on rajallinen määrä sellaisia palloja, ja Vitalin äärellisessä tapauksessa peittävän lemman mukaan voidaan valita joukosta irtipallot siten, että ${\ displaystyle \ vasen (B (x, r_ {x}) \ oikea) _ {x \ X}}$ ${\ displaystyle K \ subset \ bigcup _ {x \ X} B: ssä (x, 3r_ {x}).}$ Sitten meillä on: ${\ displaystyle \ lambda _ {n} \ vasen (K \ oikea) \ leq \ lambda _ {n} \ vasen (\ bigcup _ {x \ X} B (x, 3r_ {x}) \ oikea) \ leq \ summa _ {x \ X: ssä \ lambda _ {n} \ vasen (B (x, 3r_ {x}) \ oikea) = 3 ^ {n} \ summa _ {x \ X} \ lambda _ {n } \ vasen (B (x, r_ {x}) \ oikea) \ leq {\ frac {3 ^ {n}} {d}} \ summa _ {x \ X: ssä} int int {{(x, r_ {x})} | f (t) | \ mathrm {d} \ lambda _ {n} (t) \ leq {\ frac {3 ^ {n} \ | f \ | _ {1}} {d}} }$ koska pallot ovat irti.
Toinen eriarvoisuus.
Etenee ensimmäisen, se riittää osoittamaan, että kaikki $d$ > 0 ja kaikki kompakti K sisältyvät $[ G> d ]$ , ${\ displaystyle \ lambda (K) \ leq 2 (F (b) -F (a)) / d.}$ K: n missä tahansa pisteessä $x$ on nollasta poikkeava todellinen $h$ $x$ , joka ${\ displaystyle {\ frac {F (x + h_ {x}) - F (x)} {h_ {x}}}> d.}$ Merkitään siis, $ε> 0$ kiinteä, $J x$ suljetulla välillä päiden $x + h x$ ja $x - ε h x$ (siis valittu siten, että se sisältää $x + h x$ ja on naapurustossa $x$ ).
Tiiviyden vuoksi K on rajallisen perheen peittämä ja voimme jopa, poistamalla tarpeettoman $J$ $x: n$ , olettaa, että piste ei koskaan kuulu yli kahteen niistä (koska jos kolmella aikavälillä on yhteinen piste, yksi kolmesta sisältyy kahden muun yhdistäminen). Sitten meillä on: ${\ displaystyle (J_ {x}) _ {x \ X}}$ ${\ displaystyle \ lambda (K) \ leq \ sum _ {x \ in X} \ lambda (J_ {x}) = (1+ \ varepsilon) \ sum _ {x \ in X} | h_ {x} | \ leq {\ frac {1+ \ varepsilon} {d}} \ summa _ {x \ X: ssä | F (x + h_ {x}) - F (x) | \ leq {\ frac {1+ \ varepsilon} {d}} 2 (F (b) -F (a)),}$ viimeinen eriarvoisuus johtuu $F:$ n kasvusta ja siitä, että $J x on$ päällekkäin enintään kahdella. Niin, ${\ displaystyle \ forall \ varepsilon> 0, \ lambda (K) \ leq 2 (1+ \ varepsilon) (F (b) -F (a)) / d \ quad {\ text {so}} \ quad \ lambda (K) \ leq 2 (F (b) -F (a)) / d.}$
Kolmas epätasa-arvo voidaan osoittaa nousevan auringon lemman avulla ja yleistää Vitalin palautumislauseen avulla .

Sovellukset

Borel-toimenpiteiden yleistäminen

Aikaisemmat merkinnät säilyttäen voidaan liittää mihin tahansa Borelin mittaukseen μ on function n suurin funktio M μ, jonka määrittelee:

{\ displaystyle M \ mu (x) = \ sup _ {r> 0} {\ frac {\ mu \ left (B (x, r) \ right)} {\ lambda _ {n} \ left (B (x , r) \ oikea)}}.}

Pienemmän jatkuvuuden ominaisuus ja, jos μ on äärellinen , suurin epätasa-arvo, ovat totta ja todistavat samalla tavalla.

Huomautuksia ja viitteitä

(sisään) GH Hardy ja JE Littlewood , " Lause, jolla on maksimaaliset toimintateoreettiset sovellukset " , Acta , voi. 54,1930, s. 81–116.
(in) Frank Jones, mittaintegraali on euklidinen avaruus , Jones & Bartlett,2001, 2 nd ed. , 588 Sivumäärä ( ISBN 978-0-7637-1708-7 , luettu verkossa ) , s. 451-452.
(in) Terence Tao , Johdatus Mittateoria , Providence, AMS ,2011, 206 Sivumäärä ( ISBN 978-0-8218-6919-2 , lue verkossa ) , s. 130-131.
(in) Andrew M. Bruckner (in) , Judith B. ja Brian S. Thomson, Real Analyysi ,1997, 713 Sivumäärä ( ISBN 978-0-13-458886-5 , lue verkossa ) , s. 264-266.

Walter Rudin , Todellinen ja monimutkainen analyysi [ yksityiskohdat painoksista ]
Henri Lebesgue , integraatioteorian ja primitiivisten toimintojen etsinnän oppitunnit , Pariisi, Gauthier-Villars ,1928, 2 nd ed. , 342 Sivumäärä ( ISBN 2-87647-059-4 )

Aiheeseen liittyvät artikkelit

Analyysin peruslause
Lebesgue-kohta
Marcinkiewiczin ( interpolaatio) lause