Daavidin tähden lause

Daavidin tähti Lause on matemaattinen tulos antaa kaksi identiteettiä koskevat Binomikertoimien , järjestetään Pascalin kolmiota muodossa kaksi sisäkkäistä kolmioita.

Ensimmäinen identiteetti

Osavaltiot

GCDs on Binomikertoimien sijaitsee kärkipisteet kaksi kolmiota on Daavidin tähden vuonna Pascalin kolmio ovat yhtä:

{\ displaystyle {\ begin {tasattu} & {\ text {PGCD}} {\ biggl (} {\ binom {n-1} {k-1}}, {\ binom {n} {k + 1}}, {\ binom {n + 1} {k}} {\ biggr)} \\ [8pt] = {} ja {\ text {PGCD}} {\ biggl (} {\ binom {n-1} {k}} , {\ binom {n} {k-1}}, {\ binom {n + 1} {k + 1}} {\ biggr)} \ end {tasattu}}}

Historiallinen

Tämän identiteetin arveli Henry W. Gould vuonna 1971, jonka Hoggatt ja Hillman osoittivat vuonna 1972, sitten Singmaster vuonna 1973 ja Hitotumatu ja Sato vuonna 1975.

Esimerkkejä

Jos n = 9, k = 3 tai n = 9, k = 6, lukua 84 ympäröivät peräkkäin numerot 28, 56, 126, 210, 120, 36. Ottamalla kaikki muut termit saadaan: GCD (28 , 126, 120) = 2 = GCD (56, 210, 36) (katso päinvastoin).

Samoin edellistä termiä 36 ympäröivät elementit 8, 28, 84, 120, 45, 9, ja ottamalla kaikki muut termit saadaan: GCD (8, 84, 45) = 1 = GCD (28, 120, 9).

Hitotumatu ja Saton esittely

Kaava:

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} {\ binom {n-1} {k-1}} \\ {\ binom {n} {k + 1}} \\ {\ binom {n + 1} {k} } \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} k + 1 & kn-1 & -n-1 \\ - k & nk + 1 & n \\ k + 1 & kn & -n \ end {bmatrix }} {\ begin {bmatrix} {\ binom {n + 1} {k + 1}} \\ {\ binom {n} {k-1}} \\ {\ binom {n-1} {k}} \ end {bmatrix}}}$

ja käänteiskaava:

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} {\ binom {n + 1} {k + 1}} \\ {\ binom {n} {k-1}} \\ {\ binom {n-1} {k} } \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} -n & -k & nk + 1 \\ n & k + 1 & kn \\ - n-1 & -k-1 & nk + 1 \ end { bmatrix}} {\ begin {bmatrix} {\ binom {n-1} {k-1}} \\ {\ binom {n} {k + 1}} \\ {\ binom {n + 1} {k} } \ end {bmatrix}}}$

osoittavat, että jokainen kolmion elementti on koko lineaarinen yhdistelmä toisen kolmion elementtejä, mikä tarkoittaa, että kolmion elementeille yhteiset jakajat ovat yhteisiä toisen kolmion elementeille ja päinvastoin. Tämä osoittaa GCD: n tasa-arvon.

Yleistykset

Singmaster viimeisteli tämän identiteetin osoittamalla, että myös yllä olevat GCD: t ovat yhtä suuria kuin . ${\ displaystyle {\ text {PGCD}} {\ biggl (} {n-1 \ valitse k-2}, {n-1 \ valitse k-1}, {n-1 \ valitse k}, {n-1 \ valitse k + 1} {\ biggr)}}$

Siten yllä olevassa esimerkissä elementille 84 meillä on myös GCD {8, 28, 56, 70} = 2.

Nämä siteet jatkuvat myös suurempien tähtien kohdalla . Esimerkiksi,

{\ displaystyle {\ begin {tasattu} & {\ text {PGCD}} {\ biggl (} {\ binom {n-2} {k-2}}, {\ binom {n-1} {k}}, {\ binom {n} {k + 2}}, {\ binom {n + 1} {k + 1}}, {\ binom {n + 2} {k}}, {\ binom {n} {k- 1}} {\ biggr)} \\ [8pt] = {} ja {\ text {PGCD}} {\ biggl (} {\ binom {n-2} {k}}, {\ binom {n-1} {k-1}}, {\ binom {n} {k-2}}, {\ binom {n + 1} {k}}, {\ binom {n + 2} {k + 2}}, {\ binom {n} {k + 1}} {\ biggr)}. \ end {tasattu}}}

Toinen identiteetti

Osavaltiot

Hoggatt ja Hansell huomasivat vuonna 1971, että kahdella Daavidin tähden kolmen numeron sarjalla on yhtäläiset tuotteet:

${\ displaystyle {\ binom {n-1} {k-1}} {\ binom {n} {k + 1}} {\ binom {n + 1} {k}} = {\ binom {n-1} {k}} {\ binom {n} {k-1}} {\ binom {n + 1} {k + 1}}}$ .

Esimerkiksi tarkkailemalla uudelleen, että elementtiä 84 ympäröivät peräkkäin elementit 28, 56, 126, 210, 120, 36, ja ottamalla kaikki muut termit, meillä on: 28 × 126 × 120 = 2 6 × 3 3 × 5 × 7 2 = 56 × 210 × 36.

Tämä tulos on helppo todistaa kirjoittamalla kunkin binomikertoimen vuonna kertoma muodossa: . ${\ displaystyle {n \ select k} = {\ frac {n!} {(nk)! k!}}}$

On kuitenkin olemassa yhdistävä mielenosoitus, vähemmän yksinkertainen:

Esittely

Antaa olla kuusi luonnollista lukua todentaminen ja . ${\ tekstityyli a, b, c, x, y, z}$ ${\ displaystyle x, y, z \ leqslant \ min (a, b, c)}$ ${\ displaystyle (ba, cb, ac) = (yz, zx, xy)}$

Lasketaan tapa, jolla osioidaan kuuden osan kokojoukko : $a + b + c$

$AT$ , koko , koko , koko $x$ $B$ $y$ $VS$ $z$

$AT '$ , Koko , , koko , , kokoa . ${\ displaystyle-kirves}$ $B '$ ${\ displaystyle tekijä}$ $VS '$ ${\ displaystyle cz}$

Aloitamme jakamalla asetettu kolmeen osaan, vastaavien kokoisia , ja . Tähän on useita tapoja. $klo$ $b$ $vs.$ $EI$

Menetelmä 1:

leikkaamme vyötärö osa on : tavoilla. $klo$ ${\ displaystyle A \ sqcup A '}$ ${\ displaystyle {\ binom {a} {x}}}$

leikkaamme vyötärö osa on : tavoilla. $b$ ${\ displaystyle B \ sqcup B '}$ ${\ displaystyle {\ binom {b} {y}}}$

leikkaamme vyötärö osa on : tavoilla. $vs.$ ${\ displaystyle C \ sqcup C '}$ ${\ displaystyle {\ binom {c} {z}}}$

Yhteensä: tapoja. ${\ displaystyle N. {\ binom {a} {x}} {\ binom {b} {y}} {\ binom {c} {z}}}$

Menetelmä 2:

leikkaamme vyötäröosaa vuonna (auto ): tavoilla. $klo$ ${\ displaystyle C \ sqcup B '}$ ${\ displaystyle z + by = a}$ ${\ displaystyle {\ binom {a} {z}}}$

leikkaamme vyötäröosaa vuonna (auto ): tavoilla. $b$ ${\ displaystyle A \ sqcup C '}$ ${\ displaystyle x + cz = b}$ ${\ displaystyle {\ binom {b} {x}}}$

leikkaamme vyötäröosaa vuonna (auto ): tapoja $vs.$ ${\ displaystyle B \ sqcup A '}$ ${\ displaystyle y + ax = c}$ ${\ displaystyle {\ binom {c} {y}}}$

Yhteensä: tapoja. ${\ displaystyle N. {\ binom {a} {z}} {\ binom {b} {x}} {\ binom {y} {z}}}$

Saamme . ${\ displaystyle {\ binom {a} {x}} {\ binom {b} {y}} {\ binom {c} {z}} = {\ binom {a} {z}} {\ binom {b} {x}} {\ binom {c} {y}}}$

Poseeraa nyt ja tarkistamme sen . ${\ displaystyle (a, b, c) = (n-1, n, n + 1)}$ ${\ displaystyle (x, y, z) = (k-1, k + 1, k)}$ ${\ displaystyle (ba, cb, ac) = (1,1, -2) = (yz, zx, xy)}$

Päätämme Davidin tähden identiteetin . ${\ displaystyle {\ binom {n-1} {k-1}} {\ binom {n} {k + 1}} {\ binom {n + 1} {k}} = {\ binom {n-1} {k}} {\ binom {n} {k-1}} {\ binom {n + 1} {k + 1}}}$

Tämä esittely on käännös / mukautus tällä sivustolla julkaistusta .

Yleistys

Voimme korvata vuoteen , missä , on jono ei ole nolla reals. ${n \ valitse k}$ ${\ displaystyle {\ binom {n} {k}} _ {(a_ {n})} = {\ frac {f (n)} {f (nk) f (k)}}}$ ${\ displaystyle f (n) = \ coprod _ {k = 1} ^ {n} a_ {k}}$ $(vuosi)$

Erityisesti, jos Fibonacci-sekvenssi on , on fibonomian kerroin ; Daavidin tähden toinen lause on siis pätevä fibonomisessa kolmiossa. $(vuosi)$ $(F_ {n})$ ${\ displaystyle {\ binom {n} {k}} _ {(a_ {n})}}$ ${\ displaystyle {\ binom {n} {k}} _ {F}}$

Jos on q -analogue on n : , on binomikertoimen Gauss ; toinen Daavidin tähti lause on siis pätevä q -binomial kolmio . $(vuosi)$ ${\ displaystyle [n] _ {q} = 1 + q + ... + q ^ {n-1}}$ ${\ displaystyle {\ binom {n} {k}} _ {(a_ {n})}}$ ${\ displaystyle {\ binom {n} {k}} _ {q}}$

Voimme yleistää tapauksen, jossa on mikä tahansa sekvenssi kommutatiivisessa ryhmässä, jota merkitään kertomalla. Esimerkiksi ryhmä , katso seuraavat A004247 ja OEIS . $(vuosi)$ $({\ mathbb {Z}}, +)$ ${\ displaystyle {\ binom {n} {k}} _ {(n)} = k (nk)}$

Huomautuksia ja viitteitä

(fr) Tämä artikkeli on osittain tai kokonaan otettu englanninkielisestä Wikipedia- artikkelista " Daavidin tähden lause " ( katso kirjoittajaluettelo ) .

(in) HW Gould ,, " Uusi suurin binomikertoimien jakajaominaisuus " , Fibonacci Quarterly 10 ,1972, s. 579-584 ( lue verkossa )
(in) Hillman, AP ja Hoggatt, Jr., VE, " " todiste Gould Pascal kuusikulmio Conjecture. " » , The Fibonacci Quarterly, Vuosikerta 10.6 ,1972, s. 565–568, 598 ( lue verkossa )
(sisään) David Singmaster, " " Huomautuksia binomikertoimista: IV-todiste Gouldin konjektiosta GCD: stä binoomikertoimien kolminkertaisen kahden ". " , The Fibonacci Quarterly 11.3 ,1973, s. 282-84
(in) Sin Hitotumatu ja Daihachiro Sato, " Daavidin tähti lauseen " , Fibonacci Quarterly 13 ,1975, s. 70
Weisstein, Eric W. "Daavidin tähden lause". MathWorldilta - Wolfram-verkkolähde. http://mathworld.wolfram.com/StarofDavidTheorem.html
(in) VE Hoggatt W.HANSELL, " Piilotetut neliöt kuusikulmio " , Fibonacci Quarterly -lento. 9 n ° 2 ,1971, s. 120133 ( lue verkossa )

Ulkoinen linkki

Daavidin tähden toisen lauseen visualisointi .