Epäonnistunut kokous

Vuonna matematiikka The disjoint jälleennäkeminen on asetettu toimintaan . Toisin kuin tavanomaiset liitto , The kardinaali on disjoint liitto on sarjaa on aina sama kuin summa niiden kardinaalit . Läpikäydä liitto perheen sarjaa vastaa henkilön summa vuonna luokan teoria , minkä vuoksi sitä kutsutaan myös erilliset summa . Se on usein toimiva topologia ja teoreettinen tietojenkäsittely .

Kahden ryhmän irtoava liitos

Kahden joukon unionissa A ∪ B menetetään siinä olevien elementtien alkuperä ja risteyksen elementit lasketaan vain kerran. Joissakin tilanteissa haluamme pitää nämä tiedot ja ottaa risteyselementit huomioon kahdesti. Tätä varten ei yhdistetä suoraan A: ta ja B: tä , vaan kaksi erillistä joukkoa , kopiot A: sta ja B : stä muodon {α} × A ja {β} × B muodossa , missä α ja β ovat mitä tahansa kahta erillistä symbolia, joita käytetään tunnistamaan sarjat A ja B (esimerkiksi 0 ja 1) ja × tarkoittavat suorakulmaista tulosta .

Kahden joukon A ja B disjountiliitto, jota kutsutaan myös nimellä "disjoint summa tai karteesinen summa", määritellään näin:

{\ displaystyle A \ sqcup B = A + B = A {\ piste {\ kuppi}} B = (\ {0 \} \ kertaa A) \ kuppi (\ {1 \} \ kertaa B).}

Esimerkkejä

Olkoon olla pari {1, 2} ja B kolmen elementin joukon {2, 3, 4}. Heidän (tavallisessa) jälleennäkemisessään on vain neljä elementtiä, koska nämä kaksi sarjaa eivät ole irti. Rakentaa erillisiä liitto, aloitamme "numero" kaksi "johtolankoja" eri mielivaltainen ja b : asetamme I = { , b }, E on = a ja E b = B . Sitten otamme kokouksessa kaksi "kopio" on ja B , jotka itse ovat erillisiä: { } x ja { b } x B . ( E i ) i ∈ I: n disjointliitto on osa ${\ displaystyle (\ {a \} \ kertaa \ {1,2 \}) \ kuppi (\ {b \} \ kertaa \ {2,3,4 \}) = \ {(a, 1), (a , 2), (b, 2), (b, 3), (b, 4) \}}$ / { a , b } × {1, 2, 3, 4}. Siinä on 2 + 3 = 5 elementtiä.
Samoin parin {1, 2} irtoava liitos itsensä kanssa on (valitsemalla mielivaltaisesti kaksi erillistä indeksiä, esimerkiksi tällä kertaa: 0 ja 1): ${\ displaystyle \ {1,2 \} \ sqcup \ {1,2 \} = \ {(0,1), (0,2), (1,1), (1,2) \}.}$

Rajallisen tai laskettavan sarjajoukon erottamaton yhdistyminen

Disjoint-summa voidaan yleistää useampaan kuin kahteen sarjaan. Esimerkiksi kolmelle sarjalle A , B ja C :

{\ displaystyle A \ sqcup B \ sqcup C = (\ {0 \} \ kertaa A) \ cup (\ {1 \} \ kertaa B) \ cup (\ {2 \} \ kertaa C).}

Voimme määritellä yleisemmin minkä tahansa n mielivaltaisen joukon disjoint summa : ${\ displaystyle E_ {0}, E_ {1}, \ cdots E_ {n-1}}$

{\ displaystyle E_ {0} \ sqcup E_ {1} \ sqcup \ cdots \ sqcup E_ {n-1} = \ bigcup _ {i = 0} ^ {n-1} (\ {i \} \ kertaa E_ { i}).}

Voimme myös yleistää tämän käsitteen mihin tahansa (ei välttämättä äärelliseen) indeksijoukkoon ja muodostaa esimerkiksi laskettavia epäyhtenäisiä liittoja .

Esimerkki

{\ displaystyle \ bigsqcup _ {n \ sisään \ mathbb {N}} \ vasen [n, + \ infty \ oikea [= \ {(n, x) \ sisään \ mathbb {N} \ kertaa \ mathbb {R} \ puolivälissä x \ geq n \}.}

Minkä tahansa sarjaperheen erottamaton liitto

Tahansa perhe ( E i ) i ∈ I sarjaa , tuotetun sarjaa { i } x E i ( i , joka kattaa joukon I indeksien perheen) ovat erillisiä kaksittain. Läpikäydä liitto ∐ i ∈ I E I ja E i on määritelmän mukaan (tavallinen) liitto näiden erilliseen joukkoon. Muodollisesti:

\ bigsqcup _ {{i \ in I}} E_ {i} = \ {(i, x) \ mid i \ sisään I, \ x \ sisään E_ {i} \}.

Se on todellakin asetettu, koska kuljetettavia sen määrittely, ∐ i ∈ I E i voidaan kuvata ymmärtämistä osana I x E , karteesinen tuote I mukaan (tavallinen) liitto E ja E i .

Epäyhtenäisen summan määrittely kärsii olemattomasta mielivaltaisuudesta. Voimme määritellä epäyhtenäisen summan unioniksi tai muuksi . Nämä kaksi mahdollisuutta vastaavat tavallisen kokoonpanon E elementtien "oikeaa" tai "vasenta" merkintää , riippuen indeksistä, joka liittyy sarjaan, josta ne tulevat. Molemmissa tapauksissa on olemassa disjointisumman korvaus unionissa, mikä on bijektio, jos perheen joukot ( E i ) i ∈ I ovat kaksi kerrallaan irti. ${\ displaystyle \ bigcup _ {i \ in I} (E_ {i} \ kertaa \ {i \})}$ ${\ displaystyle \ bigcup _ {i \ in I} (\ {i \} \ kertaa E_ {i})}$

Voimme huomata, että kahden ryhmän erottamaton summa tyydyttää parien perusominaisuutta . Lisäksi toisin kuin Kuratowski-parit, tätä käsitystä, joka käyttää vain perusjoukkooperaatioita, voidaan soveltaa oikeisiin luokkiin . Tästä syystä epäyhdenmukaisia summia kutsutaan joskus yleistetyiksi pareiksi , ja siksi niitä käytetään luokateoriassa .

Edellä esitetyssä määritelmässä, jos kukin E i on topologinen tila , meillä on luonnollinen topologia ∐ i ∈ I E i: lle , jonka aukot ovat epäyhtenäiset jälleennäkemykset ∐ i ∈ I U i, joissa kukin U i on avoin E i: stä .

Tällä rakenteella, jota kutsutaan topologiseksi summaksi (en) , on summan rooli topologisten tilojen luokassa . Yhdistettynä osamääräavaruuteen se mahdollistaa useiden tilojen rakentamisen, erityisesti topologiset jakotukit ja solu- tai yksinkertaisuudet .

Huomautuksia ja viitteitä

Tämä artikkeli on osittain tai kokonaan otettu artikkelista " Karteesinen tuote " (katso kirjoittajien luettelo ) .

N.Bourbaki, Sarjojen teoria , 1970, s. II.30, antaa ensimmäisen näistä kahdesta määritelmästä, mutta hän käyttää toista Algebran luvuissa 1–3 , 1970, s. I.80.

Katso myös

Multiset : joukon käsitteen yleistäminen, jossa saman elementin useat (erottamattomat) esiintymät ovat sallittuja; Kahden yhteisen elementin sisältävän monikokonaisuuden yhdistäminen ei johda niiden irrottamiseen kuten yllä, vaan kunkin elementin esiintymismäärien kasaamiseen.