Projektiivinen algebrallinen lajike

Vuonna algebrallinen geometria , projective monityhjölaitteet muodostavat tärkeän luokan manifolds. Ne tarkistaa tiiviyttä ominaisuudet ja rajallisuudesta ominaisuuksia. Se on globaalin algebrallisen geometrian keskeinen kohde .

Algebrallisesti suljetussa kentässä projektiivisen jakotukin pisteet ovat projektiivisen algebrallisen joukon pisteitä .

Määritelmä

Korjaamme (kommutatiivisen) kentän . k{\ displaystyle k}

• Homogeeninen algebra . Antaa olla homogeenisen ihanteen osamäärä (ts. Homogeenisten polynomien tuottama ideaali). Se on sitten asteittainen algebraB{\ displaystyle B}k[T0,...,Tei]{\ displaystyle k [T_ {0}, \ ldots, T_ {n}]}

B=⊕d≥0Bd,{\ displaystyle B = \ oplus _ {d \ geq 0} B_ {d},} missä on asteisten homogeenisten polynomien moduuluokkien joukko . Elementtejä kutsutaan homogeenisiksi tutkinnon elementeiksi . Homogeeninen ihanne on ihanteellinen syntyy homogeeninen elementtejä. Erityinen homogeeninen ihanne on joukko homogeenisia elementtejä, joilla on ehdottomasti positiivinen aste. Tämä on suurin ideaali, jonka luovat .Bd{\ displaystyle B_ {d}}Minä{\ displaystyle I}d{\ displaystyle d}Bd{\ displaystyle B_ {d}}d{\ displaystyle d}B{\ displaystyle B}B+,{\ displaystyle B _ {+},}T0,...,Tei{\ displaystyle T_ {0}, \ ldots, T_ {n}}

• Topologinen tila . Määritelmän mukaan joukko Proj koostuu homogeenisista pääideaaleista, jotka eivät sisällä (joten ne sisältyvät tiukasti ) ja jotka ovat korkeintaan tälle ominaisuudelle. Minkä tahansa homogeenisen ihanteen kohdalla merkitsemme joukko ensisijaisia ​​ihanteita , jotka sisältävät Projektin . Kun me vaihdella , osat ja muodostavat suljetun osat Zariski topologia on Proj .B{\ displaystyle B}B{\ displaystyle B}B+{\ displaystyle B _ {+}}B+{\ displaystyle B _ {+}}Minä{\ displaystyle I}V+(Minä){\ displaystyle V _ {+} (I)}q{\ displaystyle q}B{\ displaystyle B}Minä{\ displaystyle I}Minä{\ displaystyle I}V+(Minä){\ displaystyle V _ {+} (I)}ProjB{\ displaystyle {\ rm {Proj}} B}B{\ displaystyle B}

• Topologian perusta . Jos on homogeeninen elementti, merkitsemme komplementin . Se on tärkein avoin . Tärkeimmät aukot muodostavat topologian perustan. Lisäksi topologinen tila on homeomorfinen maksimispektrille , missä on joukko lokalisoinnin elementtejä, jotka voidaan esittää murto-osalla, joka on homogeeninen . Algebran on rajallinen tyyppiä yli .f{\ displaystyle f}D.+(f){\ displaystyle D _ {+} (f)}V+(fB){\ displaystyle V _ {+} (fB)}D.+(f){\ displaystyle D _ {+} (f)}Ssm(B(f)){\ displaystyle {\ rm {Spm}} (B _ {(f)})}}B(f){\ displaystyle B _ {(f)}} Bf{\ displaystyle B_ {f}}b/fm{\ displaystyle b / f ^ {m}}b{\ displaystyle b}mdeg⁡f{\ displaystyle m \ deg f}B(f){\ displaystyle B _ {(f)}}k{\ displaystyle k}

• Ehdotus . On olemassa ainutlaatuinen rakenne algebrallinen jakoputken on sellainen, että mikä tahansa homogeeninen, avoin subvariety on isomorfinen affiini algebrallinen moninaiset .ProjB{\ displaystyle {\ rm {Proj}} B}f{\ displaystyle f}D.+(f){\ displaystyle D _ {+} (f)} SsmB(f){\ displaystyle {\ rm {Spm}} B _ {(f)}}

• Määritelmä . Projektiiviset jakoputkisto on on algebrallinen moninaiset yli isomorfinen varten homogeenisen -algebra .k{\ displaystyle k}k{\ displaystyle k}ProjB{\ displaystyle {\ rm {Proj}} B}k{\ displaystyle k}B{\ displaystyle B}

• Lähes projektiivisen jakotukki on avoin subvariety on projektiivisen moninaiset. Mikä tahansa puhdistettu jakotukki on upotettu avoimena alaerilajina projektiviseen jakotukkiin. Täten mikä tahansa lähes afiininen lajike on melkeinprojektiivinen.

Esimerkkejä

• Projektiivista pakosarjaa kutsutaan ulottuvuuden sur projektiviseksi avaruudeksi . Huomaamme tämän lajikkeen tai . Se on aukkojen liitos, jotka ovat isomorfisia affiinitilaan Spm . Sen pistettä ovat täsmälleen kohtia projektiivisten tilaa dimension päälle . Sen Krull-ulottuvuus on .Projk[T0,...,Tei]{\ displaystyle {\ rm {Proj}} k [T_ {0}, \ ldots, T_ {n}]}ei{\ displaystyle n}k{\ displaystyle k}Pkei{\ displaystyle \ mathbb {P} _ {k} ^ {n}}Pei{\ displaystyle \ mathbb {P} _ {n}}ei+1{\ displaystyle n + 1}D.+(Ti){\ displaystyle D _ {+} (T_ {i})}k[X1,...,Xei]{\ displaystyle k [X_ {1}, \ ldots, X_ {n}]}k{\ displaystyle k}ei{\ displaystyle n}k{\ displaystyle k}ei{\ displaystyle n}

• If on homogeeninen polynomi, jossa on muuttujia eikä nolla. Sitten on ylipinta , siis ulottuvuus . Sillä saamme sitten projektivisen tasokäyrän. Tämä koskee erityisesti Fermat-käyriä ( ja ) ja elliptisiä käyriä .f{\ displaystyle f}ei+1{\ displaystyle n + 1}Proj(k[T0,...,Tei]/(f)){\ displaystyle {\ rm {Proj}} (k [T_ {0}, \ ldots, T_ {n}] / (f))}Pkei{\ displaystyle \ mathbb {P} _ {k} ^ {n}}ei-1{\ displaystyle n-1}ei=2{\ displaystyle n = 2}f=T0s+T1s+T2s{\ displaystyle f = T_ {0} ^ {p} + T_ {1} ^ {p} + T_ {2} ^ {p}}s>2{\ displaystyle p> 2}

Ominaisuudet

• Jos on homogeeninen algebra, osamäärä . Sitten on projisoidun tilan suljettu osa-alue . Päinvastoin, osoitamme, että mikä tahansa projisoidun tilan (tai projektivisen jakotukin) suljettu alakanava on projektiivinen jakotukki.B{\ displaystyle B}k[T0,...,Tei]{\ displaystyle \ scriptstyle k [T_ {0}, \ ldots, T_ {n}]}ProjB{\ displaystyle {\ rm {Proj}} B}Pkei{\ displaystyle \ scriptstyle \ mathbb {P} _ {k} ^ {n}}
• Tuote Kahden projektiivisten pakosarjat on projektiivinen moninaiset. Tämä johtuu Segren upottamisesta, joka tunnistaa tuotteen suljetussa alaosassa .Pkei×kPkm{\ displaystyle \ scriptstyle \ mathbb {P} _ {k} ^ {n} \ kertaa _ {k} \ mathbb {P} _ {k} ^ {m}}Pkeim+ei+m{\ displaystyle \ scriptstyle \ mathbb {P} _ {k} ^ {nm + n + m}}
• Kaikki projektiiviset lajike on erillinen , ja puhdas  (in) on .k{\ displaystyle k}
• Jos morfismi projektiivisesta jakotukista erilliseksi algebralliseksi jakotukiksi on suljettu kartta (ts. Minkä tahansa suljetun osan kuva on suljettu).f:X→Y{\ displaystyle \ scriptstyle f: X \ - Y}f{\ displaystyle f}
• Jos = ℝ tai ℂ, topologinen lajike on kompakti . Tahansa projektiiviset jakoputken päällä , joukko on -yksikköä ja on sitten suljettu osa (ja topologia topologinen jakoputken) . Erityisesti on kompakti indusoidulle topologialle.k{\ displaystyle k} Pkei{\ displaystyle \ scriptstyle \ mathbb {P} _ {k} ^ {n}}X{\ displaystyle X}k{\ displaystyle k}X(k){\ displaystyle X (k)}k{\ displaystyle k}X{\ displaystyle X}Pkei{\ displaystyle \ scriptstyle \ mathbb {P} _ {k} ^ {n}}X(k){\ displaystyle X (k)}
• Projektiivisen avaruuden osalta osoitamme helposti, että säännöllisten funktioiden algebra O ( ) on yhtä suuri (eli ainoat globaalit säännölliset funktiot ovat vakiofunktioita). Projektiiviselle jakotukille yleensä -algebra on rajallinen vektoridimensio. Tämä on erityinen tapaus Serren lauseesta koherenttien kiilojen kohomologiasta . Projisoituja jakotukkia on siis verrattava kompakteihin (monimutkaisiin) analyyttisiin tiloihin.Pkei{\ displaystyle \ scriptstyle \ mathbb {P} _ {k} ^ {n}}Pkei{\ displaystyle \ scriptstyle \ mathbb {P} _ {k} ^ {n}}Pkei{\ displaystyle \ scriptstyle \ mathbb {P} _ {k} ^ {n}}k{\ displaystyle k}X{\ displaystyle X}k{\ displaystyle k}OX(X){\ displaystyle O_ {X} (X)}
• Tästä seuraa, että projektiivinen lajike, joka on myös affininen, koostuu väistämättä rajallisesta lukumäärästä pisteitä (ts. Mitasta 0).

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">