Witt-vektori

Witt vektorit ovat matemaattisia objekteja, kuvataan yleensä ääretön määrä sekvenssejä (tai yleisemmin jäsenet rengas ). Ne otettiin käyttöön Ernst Witt 1936 kuvaamaan laajennuksia ei haarautunut ja kehon numeroiden s -adic . Näillä vektoreilla on rengasrakenne  ; puhumme siis Witt-vektorien renkaasta .

Ne näkyvät nykyään useissa haaroja algebrallinen ja aritmeettinen geometria , ryhmässä teoriassa ja teoreettisen fysiikan .

Motivaatiot

Erillisten arvostusrenkaiden jäännösrungot

Olkoon O olla täydellinen diskreetti arvostus rengas , jossa jäljelle jäävään k . Joten meillä on yksi seuraavista tilanteista:

• jos k: llä on ominaisarvo nolla, niin O identifioidaan muodollisen sarjan renkaalla k [[ T ]] kertoimilla k  ;
• jos k: lla on ominaisuus p > 0, on kaksi mahdollisuutta:
  • tai muuten O identifioidaan edelleen muodollisten sarjojen renkaalla, joiden kertoimet ovat k  ;
  • tai muu O on rengas ominaisuuden nolla, josta p tuottaa suurimman ihanteellinen, jota me kutsumme rengas Witt vektoreita on k pani merkille W [ k ].

Jälkimmäisessä tapauksessa voimme korjata joukon k : n edustajia ja mikä tahansa W [ k ] -elementti kirjoitetaan ainutlaatuisesti sarjana

klo0+klo1s+klo2s2+⋯{\ displaystyle a_ {0} + a_ {1} p + a_ {2} p ^ {2} + \ cdots}

missä kuuluvat valittujen edustajien joukkoon. kloi{\ displaystyle a_ {i}}

Tässä mielessä voimme nähdä Witt-vektorit muodollisina sarjoina tai renkaan alkioiden loputtomina sarjoina, joille olemme määrittäneet summaus- ja kertolaskuoperaatiot.

P- adic- numeroiden esitys

Kun p on alkuluku, mikä tahansa p -adinen luku x voidaan kirjoittaa yksiselitteisesti konvergenttina summana

x=klo0+klo1s+klo2s2+⋯{\ displaystyle x = a_ {0} + a_ {1} p + a_ {2} p ^ {2} + \ cdots}

missä kertoimet ovat elementtien {0, 1,…, p - 1} elementtejä tai yleensä minkä tahansa äärellisen kentän esityksen . kloi{\ displaystyle a_ {i}} Fs{\ displaystyle \ mathbb {F} _ {p}}

Luonnollinen kysymys on: jos lisätään tai kerrotaan kaksi p- adic- numeroa käyttämällä tällaista kirjoitusta, mitkä ovat tuloksen kertoimet? On käynyt ilmi, että p- adicien Witt-vektorien lisääminen ja kertominen antaa vastauksen.

Määritelmä

Witt-polynomit

Olkoon p olla alkuluku . Merkitään sekvenssi muuttujien ja kunkin positiivinen kokonaisluku n Witt polynomi  : x{\ displaystyle x}(x0,x1,...,xi,...){\ displaystyle (x_ {0}, x_ {1}, \ ldots, x_ {i}, \ ldots)}

Wei(x)=Wei(x0,...,xei)=x0sei+sx1sei-1+⋯+seixei.{\ displaystyle W_ {n} (x) = W_ {n} (x_ {0}, \ ldots, x_ {n}) = x_ {0} ^ {p ^ {n}} + px_ {1} ^ {p ^ {n-1}} + \ cdots + p ^ {n} x_ {n}.}

On olemassa kaksi polynomia kokonaislukukertoimilla

Pei(x,y)=Pei(x0,...,xei,y0,...,yei){\ displaystyle P_ {n} (x, y) = P_ {n} (x_ {0}, \ ldots, x_ {n}, y_ {0}, \ ldots, y_ {n})} Sei(x,y)=Sei(x0,...,xei,y0,...,yei){\ displaystyle S_ {n} (x, y) = S_ {n} (x_ {0}, \ ldots, x_ {n}, y_ {0}, \ ldots, y_ {n})}

siten, että meillä on seuraavat suhteet modulo p n +1  :

Wei(P0(x,y),...,Pei(x,y))=Wei(x)Wei(y),{\ displaystyle W_ {n} (P_ {0} (x, y), \ ldots, P_ {n} (x, y)) = W_ {n} (x) W_ {n} (y),} Wei(S0(x,y),...,Sei(x,y))=Wei(x)+Wei(y).{\ displaystyle W_ {n} (S_ {0} (x, y), \ ldots, S_ {n} (x, y)) = W_ {n} (x) + W_ {n} (y).}

Erityisesti meillä on heti:

S0=x0+y0,{\ displaystyle S_ {0} = x_ {0} + y_ {0},} S1=x1+y1+(x0+y0)s-x0s-y0ss.{\ displaystyle S_ {1} = x_ {1} + y_ {1} + {\ frac {(x_ {0} + y_ {0}) ^ {p} -x_ {0} ^ {p} -y_ {0 } ^ {p}} {p}}.}

Ring of Witt -vektorit

Me kutsumme rengas Witt vektoreiden on kentän k asetetun mukana seuraava koostumus lait: W[k]≃kEI{\ displaystyle W [k] \ simeq k ^ {\ mathbb {N}}}

klo+b=(klo0,...)+(b0,...)=(S0(klo,b),...,Sei(klo,b),...),{\ displaystyle a + b = (a_ {0}, \ ldots) + (b_ {0}, \ ldots) = (S_ {0} (a, b), \ ldots, S_ {n} (a, b) , \ ldots),} klo×b=(klo0,...)×(b0,...)=(P0(klo,b),...,Pei(klo,b),...).{\ displaystyle a \ kertaa b = (a_ {0}, \ ldots) \ kertaa (b_ {0}, \ ldots) = (P_ {0} (a, b), \ ldots, P_ {n} (a, b), \ ldots).}

Wittin rengas on kommutatiivinen rengas , jolle on tunnusomaista nolla, se on erityisesti λ-rengas  (in) .

Rajoittamalla itse asteluku, jota rajoittavat n , me rakentaa rengas katkaistun Witt vektorien W n [ k ]. Koko rengas saadaan rajana  :

W[k]=limei⟵Wei[k]{\ displaystyle W [k] = \ lim _ {\ stackel {\ longleftarrow} {n}} W_ {n} [k]}

ja projektiot ovat rengashomomorfismeja. W[k]→Wei[k]{\ displaystyle W [k] \ - W_ {n} [k]}

Big Witt -vektorit

(Sekaannusten välttämiseksi suuriin Witt-vektoreihin liittyvät esineet merkitään lihavoituina.)

Vuonna 1960, Ernst Witt ja Pierre Cartier tajusi että Witt polynomit edellä, nimeltään ”  p -adic” (joskus ”  p -typical”), oli osa yleistä perhe- ja että niitä voitaisiin käyttää. Määritellä endofunctor alkaen luokka on kommutatiivinen renkaita , joista p -adic Witt vektorit ovat osamäärä. Funktoria kutsutaan suurten Witt-vektorien (joskus "yleistettyjen Witt-vektorien" funktoreiksi). W:VSRieig→VSRieig{\ displaystyle \ mathbf {W}: \ mathrm {CRing} \ to \ mathrm {CRing}}W{\ displaystyle \ mathbf {W}}

Funktori on edustettavissa polynomien renkaalla ja isomorfinen symmetristen funktioiden renkaalle (en), joka on Hopf-algebra . Functorial luonne tämän rakenteen ansiosta on mahdollista soveltaa sitä erityisesti lyhteitä koskevasta algebrallinen lajike . Functor W: ssä on vasen lisäaine, joka on λ-renkaan rakenteen unohtava funktori . W:AT↦W[AT]{\ displaystyle \ mathbf {W}: A \ mapsto \ mathbf {W} [A]}Z[Xi]=Z[X1,X2,...]{\ displaystyle \ mathbb {Z} [X_ {i}] = \ mathbb {Z} [X_ {1}, X_ {2}, \ ldots]} 

Spektri on on ryhmä järjestelmä nimeltä Witt järjestelmään . Z[Xi]{\ displaystyle \ mathbb {Z} [X_ {i}]}

Large Witt -vektoria vastaavat polynomit määritellään seuraavasti:

Wei(X)=Wei(X1,X2,...,Xei)=∑d|eidXdeid{\ displaystyle \ mathbf {W} _ {n} (X) = \ mathbf {W} _ {n} (X_ {1}, X_ {2}, \ ldots, X_ {n}) = {\ aliarvostus {d \ vert n} {\ sum}} dX_ {d} ^ {\ frac {n} {d}}}

On selvää, että silloin: ei=sk{\ displaystyle n = p ^ {k}}

Wei(X)=∑d|eidXdeid{\ displaystyle \ mathbf {W} _ {n} (X) = {\ alaviiva {d \ vert n} {\ sum}} dX_ {d} ^ {\ frac {n} {d}}} Wsk(X)=∑d|skdXdeid{\ displaystyle \ mathbf {W} _ {p ^ {k}} (X) = {\ alaviiva {d \ vert p ^ {k}} {\ sum}} dX_ {d} ^ {\ frac {n} { d}}} Wsk(X)=∑i=0ksiXsisk-i{\ displaystyle \ mathbf {W} _ {p ^ {k}} (X) = \ summa _ {i = 0} ^ {k} p ^ {i} X_ {p ^ {i}} ^ {p ^ { ki}}}

Ja uudelleenindeksoinnin jälkeen löydämme " p- adic" Witt-polynomit  .

Määritämme samalla tavalla ja . Sei(X,Y)=Sei(X1,X2,...,Xei,Y1,Y2,...,Yei){\ displaystyle \ mathbf {S} _ {n} (X, Y) = \ mathbf {S} _ {n} (X_ {1}, X_ {2}, \ ldots, X_ {n}, Y_ {1} , Y_ {2}, \ ldots, Y_ {n})}Pei(X,Y)=Pei(X1,X2,...,Xei,Y1,Y2,...,Yei){\ displaystyle \ mathbf {P} _ {n} (X, Y) = \ mathbf {P} _ {n} (X_ {1}, X_ {2}, \ ldots, X_ {n}, Y_ {1} , Y_ {2}, \ ldots, Y_ {n})}

Niiden olemassaolo ja ainutlaatuisuus varmistetaan polynomien sarjan olemassaololla ja ainutlaatuisuudella, joilla on järkevät kertoimet (mikä voidaan todeta, vaikka tälle polynomiperheelle ei ole klassista merkintää) siten, että: Mei(X1,X2,...,Xei){\ displaystyle \ mathbf {M} _ {n} (X_ {1}, X_ {2}, \ ldots, X_ {n})}

Mei(W(X))=M(W1(X),W2(X),...,Wei(X))=Xei{\ displaystyle \ mathbf {M} _ {n} (\ mathbf {W} (X)) = \ mathbf {M} (\ mathbf {W} _ {1} (X), \ mathbf {W} _ {2 } (X), \ ldots, \ mathbf {W} _ {n} (X)) = X_ {n}}

Tällä polynomien sekvenssillä ei valitettavasti ole tunnettua yleistä eksplisiittistä kaavaa, mutta toistumiskaava on helppo löytää:

Mei(X)=1ei(Xei-∑d|ei,d≠eidMd(X)eid){\ displaystyle \ mathbf {M} _ {n} (X) = {\ frac {1} {n}} (X_ {n} - \ summa _ {d \ vert n, d \ neq n} d \ mathbf { M} _ {d} (X) ^ {\ frac {n} {d}})}

Sitten meillä on kaava ja : Sei(X,Y){\ displaystyle \ mathbf {S} _ {n} (X, Y)}Pei(X,Y){\ displaystyle \ mathbf {P} _ {n} (X, Y)}

Sei(X,Y)=Mei(W(X)+W(Y))=Mei(W1(X)+W1(Y),W2(X)+W2(Y),...,Wei(X)+Wei(Y)){\ displaystyle \ mathbf {S} _ {n} (X, Y) = \ mathbf {M} _ {n} (\ mathbf {W} (X) + \ mathbf {W} (Y)) = \ mathbf { M} _ {n} (\ mathbf {W} _ {1} (X) + \ mathbf {W} _ {1} (Y), \ mathbf {W} _ {2} (X) + \ mathbf {W } _ {2} (Y), \ ldots, \ mathbf {W} _ {n} (X) + \ mathbf {W} _ {n} (Y))} Pei(X,Y)=Mei(W(X)×W(Y))=Mei(W1(X)×W1(Y),W2(X)×W2(Y),...,Wei(X)×Wei(Y)){\ displaystyle \ mathbf {P} _ {n} (X, Y) = \ mathbf {M} _ {n} (\ mathbf {W} (X) \ kertaa \ mathbf {W} (Y)) = \ mathbf {M} _ {n} (\ mathbf {W} _ {1} (X) \ kertaa \ mathbf {W} _ {1} (Y), \ mathbf {W} _ {2} (X) \ kertaa \ mathbf {W} _ {2} (Y), \ ldots, \ mathbf {W} _ {n} (X) \ kertaa \ mathbf {W} _ {n} (Y))}

Polynomi , jolla on rationaaliset kertoimet ja yleensä ei-kokonaisluku, polynomit ja ovat a priori rationaaliset kertoimet. Voimme kuitenkin osoittaa, että ja on kokonaisluku kertoimet. Mei(X){\ displaystyle \ mathbf {M} _ {n} (X)}Sei(X,Y){\ displaystyle \ mathbf {S} _ {n} (X, Y)}Pei(X,Y){\ displaystyle \ mathbf {P} _ {n} (X, Y)}Sei(X,Y){\ displaystyle \ mathbf {S} _ {n} (X, Y)}Pei(X,Y){\ displaystyle \ mathbf {P} _ {n} (X, Y)}

Klassiset operaatiot Witt-vektoreilla

Witt-vektorien renkaassa määritellään Frobeniuksen morfismi

F:(klo0,klo1,...)↦(klo0s,klo1s,...){\ displaystyle F: (a_ {0}, a_ {1}, \ ldots) \ mapsto (a_ {0} ^ {p}, a_ {1} ^ {p}, \ ldots)}

ja Verschiebungin (saksaksi: "offset") morfismi , joka määriteltiin F: n varamorfismiksi . Ja W [ k ], se itse asiassa vastaa siirtymistä

V:(klo0,klo1,...)↦(0,klo0,klo1,...){\ displaystyle V: (a_ {0}, a_ {1}, \ ldots) \ mapsto (0, a_ {0}, a_ {1}, \ ldots)}.

Katkaistujen Witt-vektorien renkaille määritellään restriktiomorfismi, joka koostuu vektorin viimeisen kertoimen "unohtamisesta": R:Wei+1[k]→Wei[k]{\ displaystyle R: W_ {n + 1} [k] \ - W_ {n} [k]}

R:(klo0,...,kloei)↦(klo0,...,kloei-1){\ displaystyle R: (a_ {0}, \ ldots, a_ {n}) \ mapsto (a_ {0}, \ ldots, a_ {n-1})}.

Sitten Verschiebung-morfismi on ainutlaatuinen sellainen morfismi . V:Wei[k]→Wei+1[k]{\ displaystyle V: W_ {n} [k] \ - W_ {n + 1} [k]}V∘R=R∘V{\ displaystyle V \ circ R = R \ circ V}

Kaikissa tapauksissa meillä on suhde:

R∘V∘F=F∘R∘V=R∘F∘V=s.{\ displaystyle R \ circ V \ circ F = F \ circ R \ circ V = R \ circ F \ circ V = p.}

Witt-kohomologia

Jean-Pierre Serre oli ehdottanut Witt-vektorirenkaan käyttöä potentiaalisen Weil-kohomologian kertoimina . Tämä erityinen yritys ei toiminut, mutta tasoitti tietä useille yleistyksille. Jos tarkastellaan X- skeemaa, käytämme W: n funktionaalista merkkiä laskemaan Wittin rengas osan lohkoissa . Kohomologia Witt sitten nippu Kohomologia virran vaikutus verkkosivuilla sekä Zariski on X , jossa kertoimet  : . W=WOX{\ displaystyle {\ mathcal {W}} = W {\ mathcal {O}} _ {X}}OX{\ displaystyle O_ {X}}W{\ displaystyle {\ mathcal {W}}}H∙(X,W){\ displaystyle H ^ {\ bullet} (X, {\ mathcal {W}})}

Tällä kohomologialla ei ole tyydyttäviä ominaisuuksia: varsinkaan ei ole olemassa olemassa olevien äärellisten W [ k ] -moduulien olemassaoloa, vaikka X olisi projektivinen kaavio. H∙(X,W){\ displaystyle H ^ {\ bullet} (X, {\ mathcal {W}})}

Kiteistä Kohomologia uusiokäyttää tätä ajatusta, tällä kertaa onnistunut, ja on malli Kohomologia Weil tyydyttävä.

Esimerkkejä

• Jos p on alkuluku ja viittaa äärellisen kentän kanssa p elementtejä, sitten sen Witt rengas on tunnistettu sen renkaan kanssa, kokonaislukujen s -adic: . Toisaalta, on haaroittumaton n- järjestyksessä laajennus on .Fs{\ displaystyle \ mathbb {F} _ {p}}W[Fs]≃Zs{\ displaystyle W [\ mathbb {F} _ {p}] \ simeq \ mathbb {Z} _ {p}}W[Fsei]{\ displaystyle W [\ mathbb {F} _ {p ^ {n}}]}Zs{\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {p}}
• Jos k on täydellinen kenttä , sitten W [ k ] on diskreetti arvostus rengas yli k . Lisäys antaa mahdollisuuden määrittää kertolasku positiivisilla kokonaisluvuilla , mikä meillä on erityisesti , mikä osoittaa sen . Meillä on enemmän .sklo=klo+⋯+klo⏟s aika=(0,klo0s,...,kloeis,...){\ displaystyle pa = \ underbrace {a + \ cdots + a} _ {p {\ text {times}}}} = (0, a_ {0} ^ {p}, \ ldots, a_ {n} ^ {p} , \ ldots)}W[k]/sW[k]≃k{\ displaystyle W [k] / pW [k] \ simeq k}W[k]/seiW[k]≃Wei[k]{\ displaystyle W [k] / p ^ {n} W [k] \ simeq W_ {n} [k]}

Viitteet

1. (de) Ernst Witt , ”  Zyklische Körper und Algebren der Characteristik s vom Grad p n . Struktur diskret bewerteter perfekter Körper mit vollkommenem Restklassenkörper der Charakteristik p  ” , J. Reine Angew. Matematiikka. , voi.  176,1936, s.  126-140 ( lue verkossa ).
2. (De) Peter Gabriel , "  Universelle Eigenschaften der Wittschen Vektoren und der Einseinheitenalgebra einer Potenzreihenalgebra in einer Veränderlichen  " , Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung , voi.  72,1970, s.  116-121 ( lue verkossa ).
3. Jean-Pierre Serre , "  Algebrallisten lajikkeiden topologia ominaispiirteissä p  ", Symposion Internacional de topología algebraica ,1958, s.  24-53.

Bibliografia

• Gilles Christol , “  Witt-vektorit ja p-adic -analyysi  ”, Ultrametrisen analyysin työryhmä , t.  3, n o  1, 1975-1976, s.  1-5 ( lue verkossa )
• André Joyal , “  Witt δ-renkaat ja vektorit  ”, CR Math. Edustaja Acad. Sci. Kanada , voi.  7, n o  3,1985, s.  177-182
• (en) David Mumford , Luennot käyrillä algebrallisella pinnalla , voi.  59, Princeton University Press ,1966
• Jean-Pierre Serre , paikallinen joukko [ yksityiskohdat painoksista ]

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">