Pallomaiset koordinaatit
Älä yritä muuttaa kaavoissa täällä ilman läpi keskustelun sivu : Tässä artikkelissa käytetään yleissopimuksen
P ( ρ , θ , φ ) ja
fyysikot , on kuvattu
alla .
Kutsumme pallomaisiksi koordinaateiksi erilaisia avaruuden ortogonaalisten koordinaatistojen järjestelmiä, jotka ovat analogisia tason napakoordinaattien kanssa . Avaruuspiste tunnistetaan näissä järjestelmissä etäisyydellä lähtöpaikkaan (napa) ja kahdella kulmalla . Niitä käytetään yleisesti maantieteelliseen paikantamiseen: korkeus , leveys- ja pituusaste ovat muunnos näistä koordinaateista. Astrometriassa käytetään myös useita pallomaisia koordinaatistoja .
On olemassa erilaisia yleissopimusten määrittelyn osalta näkökulmista. Tässä artikkelissa käytetään kaikkialla (ellei nimenomaisesti toisin mainita) yleissopimuksen P ( ρ , θ , φ ) , yleisin erityisesti fysiikan ja tekniikan, jossa ρ merkitsee säde-etäisyyttä, θ colatitude (välillä 0 ja π ) ja cp pituusaste (0 ja 2π välillä ).
Historia
Kreikkalaisten tähtitieteilijöiden tarpeet saivat heidät kehittämään trigonometriaa ; Erityisesti Aleksandrian Menelaos löysi pallomaisen trigonometrian pääsuhteet . Of taivaalliset koordinaattijärjestelmät sijainnin paikantamiseksi tähtien ja luoda luetteloita takaisin Timocharis Alexandria , Eratosthenes ja Hipparkhos käyttäen samaa kulmat ( eranto ja ascension erityisesti), että nykyinen tähtitieteilijöiden vaikka "se ei ole määritellyt niitä täsmällisesti; itse asiassa René Descartes on ensimmäinen kirjoittaja, joka on antanut matemaattisen kuvauksen koordinaatistoista, mutta rajoittunut vain suorakulmaisten koordinaattien tapaukseen . Näyttää siltä, että Alexis Clairaut oli ensimmäinen, joka määritteli tiukasti pallomaisen koordinaatiston osana geodeesityötä ; Euler kehitti järjestelmällisesti sen ominaisuuksia sekä niiden suhdetta hänen nimensä kulmiin .
Perusmäärittelyt ja ominaisuudet
Yleissopimukset
Termien määritelmät
Kun otetaan huomioon ortonormaalinen suorakulmainen koordinaatisto (O, x , y , z ), pisteen P pallomaiset koordinaatit (erilliset O: sta, jolle pituus- ja leveysastetta ei ole määritelty, ja akselin Oz pisteet , joilla n 'ei ole pituutta ) määritellään seuraavasti:
- säde , useimmiten huomattava ρ (mutta joskus r ); se on etäisyys pisteestä P keskukseen O ja siten ρ > 0 (tai ρ = 0 pisteelle O );
- pituusaste ; se on suuntautunut muodostama kulma puoli-tasot, joiden rajana pystyakselilla ja vastaavasti sisältävät säde [ O , x ), ja piste P . Jos merkitsemme H : llä P : n kohtisuoraa projektiota tasossa ( O , x , y ), pituusaste on vektorien x ja OH muodostama kulma ;
- colatitude (tai zeniitissä kulma); se on vektorien z ja OP muodostama suuntaamaton kulma ;
- joskus käytetään leveysastetta ; se on kolatitudin komplementaarinen kulma ja siten (paitsi akselin Oz pisteitä ) vektorien OH ja OP muodostama suunnattu kulma .
Paksuus ja pituus ilmoitetaan nyt kirjaimilla θ ja φ (mutta näemme alla, että nämä kirjaimet ovat joskus käänteisiä). Leveysaste on useimmiten merkitty δ.
Matematiikassa ja fysiikassa kulmat mitataan useimmiten radiaaneina , mutta käytännön sovelluksissa, erityisesti maantieteessä ja tähtitieteessä, ne mitataan asteina . Yleensä ja koordinaattien ainutlaatuisuuden varmistamiseksi pituusaste on 0 ja 2π radiaania (0 ° - 360 °; tai joskus erityisesti maantieteellisesti välillä -180 ° - 180 °) ja kolaattisuus on välillä 0 ja 2. π radiaani (0 ° ja 180 °). Tämä käytäntö on voimassa rekisteröinnissä, mutta θ ja φ voivat kattaa suuremman aikavälin parametrisoidulle käyrälle ( ρ ( t ), θ ( t ), φ ( t )) , ja säde voi silloin olla negatiivinen; Lisätietoja löytyy näiden järjestelmien matemaattiseen kuvaukseen liittyvästä osiosta .
Säde-kolatitude-pituusaste-yleissopimus
Tätä käytäntöä (joka vastaa P: n ( ρ , θ , φ ) kirjoittamista , jossa θ merkitsee kolaattisuutta ja φ pituusastetta) on käytetyin käytäntö, ja se on määritelty ISO / IEC 80000-2 -standardissa . Etäisyyttä keskustaan merkitään joskus r: llä .
Passation- suhde suorakulmaisiin koordinaatteihin kirjoitetaan:
{x=ρsyntiθcosφy=ρsyntiθsyntiφz=ρcosθ{\ displaystyle {\ begin {cases} x & = \ rho \ sin \ theta \ cos \ varphi \\ y & = \ rho \ sin \ theta \ sin \ varphi \\ z & = \ rho \ cos \ theta \ end {tapaukset}}}Päinvastoin, kun tiedämme suorakulmaiset koordinaatit, meillä on:
{ρ=x2+y2+z2θ=arccos(z/ρ)φ=arktaani(y/x){\ displaystyle {\ begin {cases} \ rho & = {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2}}} \\\ theta & = \ arccos (z / \ rho) \\\ varphi & = \ arctan (y / x) \ end {tapauksissa}}}(tämä viimeinen kaava on voimassa vain positiiviselle x: lle ; yleensä voidaan käyttää funktiota
atan2 ( y, x ))
Säde-pituusaste-kolatitude-sopimus
Matematiikassa edellinen käytäntö on useimmiten päinvastainen, mikä merkitsee kolatiteettia ja pituusastetta, mutta kirjoitamme aina P ( ρ , θ , φ ) .
φ{\ displaystyle \ varphi}θ{\ displaystyle \ theta}
Tässä tapauksessa kirjoitetaan suhde suorakulmaisiin koordinaatteihin :
{x=ρsyntiφcosθy=ρsyntiφsyntiθz=ρcosφ{\ displaystyle {\ begin {cases} x & = \ rho \ sin \ varphi \ cos \ theta \\ y & = \ rho \ sin \ varphi \ sin \ theta \\ z & = \ rho \ cos \ varphi \ end {tapaukset}}}Säde-pituus-leveys-yleissopimus
Matemaatikot käyttävät joskus tätä järjestelmää, joka on johdettu maantieteilijöiden käyttämistä käytännöistä . Nimeämme koordinaatit, joissa:
ρ,θ,5{\ displaystyle \ rho, \ theta, \ delta}
-
ρ{\ displaystyle \ rho} tarkoittaa etäisyyttä pisteestä koordinaattijärjestelmän keskustaan;
-
θ{\ displaystyle \ theta}tarkoittaa pituusastetta mitattuna akselilta, joka on yleensä välillä –180 ° ja 180 ° ( );x{\ displaystyle x}-π≤θ≤π{\ displaystyle - \ pi \ leq \ theta \ leq \ pi}
-
5{\ displaystyle \ delta}tarkoittaa leveyttä, kulmaa päiväntasaajan tasosta, välillä –90 ° –90 ° ( ).-π2≤5≤π2{\ displaystyle - {\ dfrac {\ pi} {2}} \ leq \ delta \ leq {\ dfrac {\ pi} {2}}}
Sitten suorakulmaisten koordinaattien ja pallomaiset koordinaatit vaihdetaan kaavoilla:
{x=ρcos5cosθy=ρcos5syntiθz=ρsynti5{\ displaystyle {\ begin {cases} x & = \ rho \ cos \ delta \ cos \ theta \\ y & = \ rho \ cos \ delta \ sin \ theta \\ z & = \ rho \ sin \ delta \ end {tapaukset}}}Järjestelmästä toiseen siirtyminen on helppoa, koska leveysaste ja kolatiteetti ovat yhteydessä toisiinsa:
5=90∘-φ{\ displaystyle \ delta = 90 ^ {\ circ} - \ varphi}(tai radiaaneina )
5=π2-φ{\ displaystyle \ delta = {\ frac {\ pi} {2}} - \ varphi}On yleistä käytäntöä, että leveysastetta merkitään myös φ: llä , kuten colatitude.
Yhdistä napakoordinaatteihin
Pystytasossa ( O , z , OP ) koordinaattijärjestelmä (ρ, θ) on polaarinen. Vaakatasossa ( O , x , y ) (ρsinθ, φ) on myös napakoordinaatisto. Todellakin, annetaan , ja jos H on P : n projektio tasossa xOy , ja ; pisteen P pallomaiset koordinaatit varmistavat hyvin:
r→=OP→{\ displaystyle {\ overrightarrow {r}} = {\ overrightarrow {OP}}}θ=(Oz→,OP→)^{\ displaystyle \ theta = {\ widehat {({\ overrightarrow {Oz}}, {\ overrightarrow {OP}})}}}OH→=r→syntiθ{\ displaystyle {\ overrightarrow {OH}} = {\ overrightarrow {r}} \ sin \ theta}φ=(Ox→,OH→)^{\ displaystyle \ varphi = {\ widehat {({\ overrightarrow {Ox}}, {\ overrightarrow {OH}})}}}
{z=ρcosθx=OHcosφ=ρcosφsyntiθy=OHsyntiφ=ρsyntiφsyntiθ{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} z & = & \ rho \ cos \ theta && \\ x & = & OH \ cos \ varphi & = & \ rho \ cos \ varphi \ sin \ theta \\ y & = & OH \ sin \ varphi & = & \ rho \ sin \ varphi \ sin \ theta \ end {matrix}} \ right.}
Suhde muihin yhteisiin koordinaattijärjestelmiin
-
Suorakulmaiset koordinaatit (x, y, z)
-
Sylinterimäiset koordinaatit ( r , θ, z )
-
Pallomaiset koordinaatit (ρ, θ, φ )
Karteesiset ( x , y , z ), sylinterimäiset ( r , θ, z ) ja pallomaiset (ρ, θ, φ ) koordinaatit, kun ne on määritelty suhteessa samaan suorakulmaiseen koordinaatistoon (O, x , y , z ), liittyvät toisiinsa alla annetuilla kaavoilla.
Älä sekoita pallomaisten koordinaattien kulmaa θ (kolatiteettia) sylinterimäisten koordinaattien kulmaan θ.
Koordinaattijärjestelmä
|
Pallomaisista koordinaateista
|
Pallomaisiin koordinaatteihin
|
---|
Suorakulmaiset koordinaatit
|
x=ρsyntiθcosφy=ρsyntiθsyntiφz=ρcosθ{\ displaystyle {\ begin {aligned} x & = \ rho \ sin \ theta \ cos \ varphi \\ y & = \ rho \ sin \ theta \ sin \ varphi \\ z & = \ rho \ cos \ theta \ end {tasattu}}}
|
ρ=x2+y2+z2θ=arccos(z/ρ)φ={arccosxx2+y2si y≥02π-arccosxx2+y2si y<0φ=klotkloei2(y,x){\ displaystyle {\ begin {tasattu} \ rho & = {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2}}} \\\ theta & = \ arccos (z / \ rho) \\\ varphi & = {\ begin {cases} \ arccos {\ frac {x} {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}}} & \ mathrm {si} \ y \ geq {0 } \\ 2 \ pi - \ arccos {\ frac {x} {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}}} & \ mathrm {si} \ y <0 \ loppu {tapaukset}} \ \\ varphi & = {\ rm {atan2}} (y, x) \ end {tasattu}}}
|
---|
Sylinterimäiset koordinaatit
|
r=ρsyntiθθ=φz=ρcosθ{\ displaystyle {\ alku {tasattu} r & = \ rho \ sin \ theta \\\ theta & = \ varphi \\ z & = \ rho \ cos \ theta \ end {tasattu}}}
|
ρ=r2+z2θ=arktaani(r/z)φ=θ{\ displaystyle {\ begin {tasattu} \ rho & = {\ sqrt {r ^ {2} + z ^ {2}}} \\\ theta & = \ arctan (r / z) \\\ varphi & = \ theta \ end {tasattu}}}
|
---|
Edellä olevassa taulukossa ATAN2 ( y , x ) on klassinen jatkaminen on eri neljännekset arctan ( y / x ) ja positiivinen x ja y .
käyttää
Monilla ongelmilla on symmetriaa; pallomaisten koordinaattien käyttö tietyillä symmetrialla voi yksinkertaistaa huomattavasti ongelman ilmaisua ja ratkaisua.
Lisäksi paljon tietoa voidaan esittää pallopisteillä. Siksi on tärkeää, että meillä on koordinaattijärjestelmä, joka mahdollistaa:
- merkitä pisteen sijainti (mittaus);
- kuvaa pisteen sijainti (esimerkiksi laskutoimituksen tulos);
- suorittaa tilastollinen analyysi pistejoukosta.
Tällaisia tietoja kutsutaan pallomaisiksi tiedoiksi . Tämä voi olla sijainti pallomaisella esineellä, kuten sijainnit maapallolla. Pallon kohta voi myös edustaa suuntaa - sitten pallon säteellä ei ole merkitystä, ja voimme pienentää yksikön säteen palloksi.
Maantieteellinen sijainti
Maantieteelliset koordinaatit, joita käytetään paikantamaan maapallon pinta , ovat muunnos pallomaisista koordinaateista. Ne käyttävät suorakulmaisena koordinaatistona alkuperää maapallon keskellä, Oz-akselia, joka kulkee pohjoisnavan läpi, Ox-akselia Greenwichin meridiaanin puolitasossa ja Oy-akselia Ox-akselin itäpuolella. Käytetyt koordinaatit ovat h (korkeus), l (leveysaste) ja λ (pituusaste), jotka liittyvät pallomaisiin koordinaatteihin (asteina mitattuna) seuraavasti:
h=ρ-ρg(l,λ)l=90o-θλ=φ jos φ≤180o=φ-360o jos ei{\ displaystyle {\ begin {aligned} h & = \ rho - \ rho _ {\ text {g}} (l, \ lambda) \\ l & = 90 ^ {\ text {o}} - \ theta \\ \ lambda & = \ varphi {\ text {si}} \ varphi \ leq 180 ^ {\ text {o}} \\ & = \ varphi -360 ^ {\ text {o}} {\ text {muuten}} \ loppu {tasattu}}}missä ρ g ( l , λ ) on etäisyys maapallon keskikohtaan geoidin pisteestä, joka sijaitsee suunnassa ( l , λ ). Kun geoidin sijasta käytetään vallankumouksen ellipsoidia, h on silloin geodeettinen korkeus tai ellipsoidin korkeus, jota kutsutaan myös ellipsoidin yläpuoliseksi korkeudeksi; se eroaa korkeudesta korkeintaan noin +/- 100 m. Ellipsoidinen korkeus on puhtaasti geometrinen määrä, korkeus on fyysinen suure. Määrä h on etäisyys, joka mitataan normaalia pitkin ellipsoidiin viimeksi mainitun ja tarkastellun pisteen välillä.
Taivaalliset koordinaatit
Taivaalliset koordinaatit, jolla paikannetaan tähdet on taivaalla , käyttää tätä samaa variantti ρ kiinteä (projektio Taivaankansi ). Esimerkiksi päiväntasaajan koordinaattijärjestelmä , jota käytetään kohteiden paikantamiseen aurinkokunnan ulkopuolella , käyttää deklinaatiota (vastaa l: a , ilmaistuna asteina) ja oikeaa ylösnousemusta (vastaa λ , tunteina ilmaistuna, 1 h = 15 °).
Laskelmat
Pallomaisia koordinaatteja käytetään yleisesti kolmessa tapauksessa:
- liike kiinteällä etäisyydellä tietystä pisteestä, kuten heilurin tapauksessa;
- keskivoiman liike, etenkin Coulomb-potentiaalissa ;
- pallomaisen symmetrian ongelmat.
Esimerkki heilurista
Esimerkki Coulombin vetovoimasta
Pallomaiset tiedot
Pallotiedot ovat avaruudessa olevan viivan suuntien lukemia, jotka ilmaistaan pallomaisina koordinaatteina ( ρ = 1 ). Jos tämä viiva on suunnattu, puhumme yksikkövektorista (koska oletamme pallon, jonka säde on yksikkö) tai yksinkertaisesti vektorista; jos se ei ole suuntautunut, puhumme akselista . Vektori on yksikköpallon säde ja sitä voidaan esittää pallon pisteellä P. Akseli on pallon halkaisija ja sitä voidaan esittää yhdellä kahdesta diametraalisesti vastakkaisesta pisteestä, P tai Q.
Esimerkkitiedot:
Etäisyyslaskelmat
Käytännön sovelluksissa, kuten navigoinnissa, on usein tarpeen laskea etäisyydet niiden pallomaisilla koordinaateilla ( vakiona r ) annettujen pisteiden välillä , nämä etäisyydet mitataan pallosta (sanomme, että ne ovat suuria ympyräetäisyyksiä ). Siksi määritämme kahdelle pisteelle A ja B , missä on kahden säteen OA ja OB välinen kulma (radiaaneina) . " Kosinikaava " , joka antaa oikeanpuoleisen pallomaisen kolmion sivujen ja kulmien välisen suhteen, antaa meille mahdollisuuden päätellä siitä, että tiedämme pallomaiset koordinaatit A ( r , θ, φ ) ja B ( r , θ ', φ ') ; sijoittamalla C kohtaan ( r , 0,0) saadaan lopulta:
dATB=rλ{\ displaystyle d_ {AB} = r \ lambda}λ{\ displaystyle \ lambda}cosvs.=cosklocosb+syntiklosyntibcosy{\ displaystyle \ cos c = \ cos a \, \ cos b + \ sin a \, \ sin b \, \ cos \ gamma}λ{\ displaystyle \ lambda}
dATB=rarccos(cosθcosθ′+syntiθsyntiθ′cos(φ′-φ)).{\ displaystyle d_ {AB} = r \ arccos {\ left (\ cos \ theta \ cos \ theta '+ \ sin \ theta \ sin \ theta' \ cos (\ varphi '- \ varphi) \ right)}.}
Kaarevat koordinaatit
Pallomaiset koordinaatit ovat kaarevan koordinaattijärjestelmän erityistapaus , ja tarkemmin sanoen ortogonaaliset koordinaatit ; kyse on kolmen numeron rekisteröinnistä siten, että vain yhtä koordinaattia muuttamalla saadut viivat leikkaavat suorassa kulmassa.
Alkaen matemaattisemmin näkökulmasta, tämä vastaa differentioituva surjektio on itseensä, jonka Jacobin matriisi muodostetaan ortogonaalisilla pystyvektoreita ; for ray-colatitude-pituus- sopimus , tämä surjektio määritellään seuraavasti: . Käytännössä (esimerkiksi astrometriassa ) usein johdetaan määrittämään päinvastoin avaruuspisteen pallomaiset koordinaatit , toisin sanoen tämän pisteen ennakkotapaus ; tällä tavalla ei ole mahdollista saada kaikkialla jatkuvaa sovellusta (tämä on holonomian ongelma ), mutta ainutlaatuisuutta on, jos valitaan ennakkotapaus (kaikille pisteille, jotka eivät ole akselilla ) ainutlaatuisen järjestelmän , kuten (tietyissä sovelluksissa) esimerkiksi maantieteessä on edullista käyttää leveysastetta sekä käytäntöä ); akselin pisteillä on tavallisesti koordinaatit koordinaattien kanssa ja alkupuolella koordinaatit ; tämä sovellus (puhumme joskus pääkoordinaateista ) on jatkuva puolitason ulkopuolella .
R3{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}f:(ρ,θ,φ)↦(ρsyntiθcosφ,ρsyntiθsyntiφ,ρcosθ){\ displaystyle f: (\ rho, \ theta, \ varphi) \ mapsto (\ rho \ sin \ theta \ cos \ varphi, \ rho \ sin \ theta \ sin \ varphi, \ rho \ cos \ theta)}R3{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}f{\ displaystyle f}Oz{\ displaystyle Oz}(ρ,θ,φ){\ displaystyle (\ rho, \ theta, \ varphi)}ρ>0,0≤φ<2π,0<θ<π{\ displaystyle \ rho> 0,0 \ leq \ varphi <2 \ pi, 0 <\ theta <\ pi}-π<φ≤π,-π2<5<π2{\ displaystyle - \ pi <\ varphi \ leq \ pi, - {\ frac {\ pi} {2}} <\ delta <{\ frac {\ pi} {2}}}Oz{\ displaystyle Oz}(ρ,θ,0){\ displaystyle (\ rho, \ theta, 0)}ρ≥0{\ displaystyle \ rho \ geq 0}θ∈{0,π}{\ displaystyle \ theta \ in {0, \ pi \}}O{\ displaystyle O}(0,0,0){\ displaystyle (0,0,0)}{x≥0 ;y=0}{\ displaystyle \ {x \ geq 0 \; y = 0 \}}
Tämä järjestelmä määrittelee palloon erityisesti koordinaatit (jotka vastaavat pisteitä, joille kaksi kolmesta koordinaatista on kiinnitetty) ; ne ovat ympyröitä, meridiaaneja ( ) ja rinnakkaisuuksia ( ), jotka ovat kaksi kerrallaan kohtisuoraa.ρ=VSte{\ displaystyle \ rho = C ^ {te}}φ=VSte{\ displaystyle \ varphi = C ^ {te}}θ=VSte{\ displaystyle \ theta = C ^ {te}}
Eriominaisuudet
Pallomaisissa koordinaateissa tapahtuvaa kulkua vastaavien vertailukaavojen muutos (säde-kolatitude-pituusaste -järjestelmässä) on:
{x=ρsyntiθcosφy=ρsyntiθsyntiφz=ρcosθ{\ displaystyle {\ begin {cases} x & = \ rho \ sin \ theta \ cos \ varphi \\ y & = \ rho \ sin \ theta \ sin \ varphi \\ z & = \ rho \ cos \ theta \ end {tapaukset}}} siis Jaakobin matriisi :
M=(syntiθcosφρcosθcosφ-ρsyntiθsyntiφsyntiθsyntiφρcosθsyntiφρsyntiθcosφcosθ-ρsyntiθ0).{\ displaystyle M = {\ aloita {pmatrix} \ sin \ theta \ cos \ varphi & \ rho \ cos \ theta \ cos \ varphi & - \ rho \ sin \ theta \ sin \ varphi \\\ sin \ theta \ sin \ varphi & \ rho \ cos \ theta \ sin \ varphi & \ rho \ sin \ theta \ cos \ varphi \\\ cos \ theta & - \ rho \ sin \ theta & 0 \ end {pmatrix}}.}
Uusi koordinaatisto on rakennettu näitä kaavoja , kutsutaan paikallinen koordinaattijärjestelmä , johon vektorit , ja ovat samalla suoralla sarakevektoreita matriisin M ja muodostavat ortonormaalin koordinaatisto ; osoitetaan, että niitä kuljettaa vastaavasti OP, tangentti P: n läpi kulkevalle pituuspiirille ja tangentti P: n läpi kulkevalle rinnakkaiselle suuntaan, joten nämä koordinaattilinjat leikkaavat suorassa kulmassa, kuten edellisessä osassa selitettiin .
(P,uρ→,uθ→,uφ→){\ displaystyle (P, {\ overrightarrow {u _ {\ rho}}}, {\ overrightarrow {u _ {\ theta}}}, {\ overrightarrow {u _ {\ varphi}}})}uρ→=(syntiθcosφsyntiθsyntiφcosθ){\ displaystyle {\ overrightarrow {u _ {\ rho}}} = {\ begin {pmatrix} \ sin \ theta \ cos \ varphi \\\ sin \ theta \ sin \ varphi \\\ cos \ theta \ end {pmatrix }}}uθ→=(cosθcosφcosθsyntiφ-syntiθ){\ displaystyle {\ overrightarrow {u _ {\ theta}}} = {\ begin {pmatrix} \ cos \ theta \ cos \ varphi \\\ cos \ theta \ sin \ varphi \\ - \ sin \ theta \ end { matriisi}}}uφ→=(-syntiφcosφ0){\ displaystyle {\ overrightarrow {u _ {\ varphi}}} = {\ begin {pmatrix} - \ sin \ varphi \\\ cos \ varphi \\ 0 \ end {pmatrix}}}
Erot
Ääretön pienin tilavuus kirjoitetaan d 3 V = det M d ρ d θ d φ = ρ 2 sin θ d ρ d θ d φ . Siten kolminkertainen integraali funktion koko avaruuteen kirjoitetaan:
f(ρ,θ,φ){\ displaystyle f (\ rho, \ theta, \ varphi)}
∫φ=02π ∫θ=0π ∫ρ=0∞f(ρ,θ,φ)ρ2syntiθdρdθdφ.{\ displaystyle \ \ int \ limits _ {\ varphi = 0} ^ {2 \ pi} \ \ int \ limits _ {\ theta = 0} ^ {\ pi} \ \ int \ limits _ {\ rho = 0} ^ {\ infty} f (\ rho, \ theta, \ varphi) \ rho ^ {2} \ sin \ theta \, \ mathrm {d} \ rho \, \ mathrm {d} \ theta \, \ mathrm {d } \ varphi.}- Pintaelementti on vakio ρ on kirjoitettu d 2 S ρ = ρ 2 sin θ d θ d φ
- Päätämme kiinteän kulman elementin ( steradiaaneina ):dΩ=dSρr2=syntiθdθdφ{\ displaystyle \ mathrm {d} \ Omega = {\ frac {\ mathrm {d} S _ {\ rho}} {r ^ {2}}} = \ sin \ theta \, \ mathrm {d} \ theta \ , \ mathrm {d} \ varphi}
- Vakion φ pintaelementti kirjoitetaan d 2 S φ = ρ d ρ d θ
- Vakion θ pintaelementti kirjoitetaan d 2 S θ = ρ sin θ d ρ d φ
Vektoreilla on differentiaalit:
(uρ→,uθ→,uφ→){\ displaystyle ({\ overrightarrow {u _ {\ rho}}}, {\ overrightarrow {u _ {\ theta}}}, {\ overrightarrow {u _ {\ varphi}}})}
duρ→=dθu→θ+syntiθdφu→φduθ→=-dθu→ρ+cosθdφu→φduφ→=-syntiθdφu→ρ-cosθdφu→θ{\ displaystyle {\ begin {aligned} {\ text {d}} {\ overrightarrow {u _ {\ rho}}} & = {\ text {d}} \ theta \, {\ vec {u}} _ { \ theta} + \ sin \ theta \, {\ text {d}} \ varphi \, {\ vec {u}} _ {\ varphi} \\ {\ text {d}} {\ overrightarrow {u _ {\ theta}}} & = - {\ text {d}} \ theta \, {\ vec {u}} _ {\ rho} + \ cos \ theta \, {\ text {d}} \ varphi \, {\ vec {u}} _ {\ varphi} \\ {\ text {d}} {\ overrightarrow {u _ {\ varphi}}} & = - \ sin \ theta \, {\ text {d}} \ varphi \ , {\ vec {u}} _ {\ rho} - \ cos \ theta \, {\ text {d}} \ varphi \, {\ vec {u}} _ {\ theta} \ end {tasattu}}}
Elokuva
Laskelmat Tässä kohdassa vastaavat kinemaattista tutkimus on käyrä parametroitu mennessä t : .
t↦M(ρ(t),θ(t),φ(t)){\ displaystyle t \ mapsto M (\ rho (t), \ theta (t), \ varphi (t))}
Aikaisemmista eroista päätellään johdannaiset ajan suhteen:
uρ→˙=θ˙u→θ+φ˙syntiθu→φuθ→˙=φ˙cosθu→φ-θ˙u→ρuφ→˙=-φ˙syntiθu→ρ-φ˙cosθu→θ{\ displaystyle {\ begin {aligned} {\ dot {\ overrightarrow {u _ {\ rho}}}} & = {\ dot {\ theta}} \, {\ vec {u}} _ {\ theta} + {\ dot {\ varphi}} \, \ sin \ theta \, {\ vec {u}} _ {\ varphi} \\ {\ dot {\ overrightarrow {u _ {\ theta}}}} & = {\ piste {\ varphi}} \, \ cos \ theta \, {\ vec {u}} _ {\ varphi} - {\ dot {\ theta}} \, {\ vec {u}} _ {\ rho} \ \ {\ dot {\ overrightarrow {u _ {\ varphi}}}} & = - {\ dot {\ varphi}} \, \ sin \ theta \, {\ vec {u}} _ {\ rho} - { \ dot {\ varphi}} \, \ cos \ theta \, {\ vec {u}} _ {\ theta} \ end {tasattu}}}sitten kinemaattisten suureiden nopeus ja kiihtyvyys :
OM→=ρuρ→OM→˙=ρ˙uρ→+ρθ˙uθ→+ρsyntiθφ˙uφ→OM→¨=(ρ¨-ρθ˙2-ρφ˙2synti2θ)uρ→+(ρθ¨+2ρ˙θ˙-ρφ˙2syntiθcosθ)uθ→+(ρφ¨syntiθ+2ρ˙φ˙syntiθ+2ρθ˙φ˙cosθ)uφ→{\ displaystyle {\ begin {aligned} {\ overrightarrow {OM}} & = \ rho \, {\ overrightarrow {u _ {\ rho}}} \\ {\ dot {\ overrightarrow {OM}}} & = { \ dot {\ rho}} \, {\ overrightarrow {u _ {\ rho}}} + \ rho {\ dot {\ theta}} \, {\ overrightarrow {u _ {\ theta}}} + \ rho \ sin \ theta \, {\ dot {\ varphi}} \, {\ overrightarrow {u _ {\ varphi}}} \\ {\ ddot {\ overrightarrow {OM}}} & = ({\ ddot {\ rho} } - \ rho {\ dot {\ theta}} ^ {2} - \ rho {\ dot {\ varphi}} ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta) \, {\ ylisuuri {u _ {\ rho}}} + (\ rho {\ ddot {\ theta}} + 2 {\ dot {\ rho}} {\ dot {\ theta}} - \ rho {\ dot {\ varphi}} ^ {2} \ sin \ theta \, \ cos \ theta) \, {\ overrightarrow {u _ {\ theta}}} + (\ rho {\ ddot {\ varphi}} \ sin \ theta +2 {\ dot {\ rho}} {\ dot {\ varphi}} \ sin \ theta +2 \ rho {\ dot {\ theta}} {\ dot {\ varphi}} \ cos \ theta) \, {\ ylisuuri {u _ {\ varphi}} } \ end {tasattu}}}
Tasauspyörästöt
Operaattori nabla on kirjoitettu
∇→=(∂∂ρ,1ρ∂∂θ,1ρsyntiθ∂∂φ){\ displaystyle {\ overrightarrow {\ nabla}} = \ vasen ({\ frac {\ partial} {\ partituali \ rho}}, {\ frac {1} {\ rho}} {\ frac {\ partis {} osittainen \ teta}}, {\ frac {1} {\ rho \ sin \ theta}} {\ frac {\ osallinen} {\ osallinen \ varphi}} \ oikea)}Johdetaan gradientin , rotaation , divergenssin ja Laplacian lausekkeet :
grklod→ f=∇→AT→=∂f∂rr^+1r∂f∂θθ^+1rsyntiθ∂f∂φφ^,röyhtäyttää→ AT→=∇→∧AT→=1rsyntiθ(∂∂θ(ATφsyntiθ)-∂ATθ∂φ)r^+1r(1syntiθ∂ATr∂φ-∂∂r(rATφ))θ^+1r(∂∂r(rATθ)-∂ATr∂θ)φ^,div f=∇→⋅AT→=1r2∂∂r(r2ATr)+1rsyntiθ∂∂θ(syntiθATθ)+1rsyntiθ∂ATφ∂φ,Δf=∇→2f=1r2∂∂r(r2∂f∂r)+1r2syntiθ∂∂θ(syntiθ∂f∂θ)+1r2synti2θ∂2f∂φ2=(∂2∂r2+2r∂∂r)f+1r2syntiθ∂∂θ(syntiθ∂∂θ)f+1r2synti2θ∂2∂φ2f.{\ displaystyle {\ begin {aligned} {\ overrightarrow {\ mathrm {grad}}} ~ f = {\ overrightarrow {\ nabla}} {\ vec {\ mathrm {A}}} = {} & {\ osittainen f \ over \ osittainen r} {\ hattu {\ mathbf {r}}} + {1 \ yli r} {\ osittain f \ yli \ osallinen \ theta} {\ hattu {\ lihavoitu symboli {\ theta}}} + {1 \ over r \ sin \ theta} {\ osittainen f \ yli \ osittainen \ varphi} {\ hattu {\ lihavoitu symboli {\ varphi}}}, \\ [8pt] {\ ylirivinen {\ operaattorin nimi {rot}}} \ { \ vec {\ mathrm {A}}} = {\ overrightarrow {\ nabla}} \ wedge {\ vec {\ mathrm {A}}} = {} & {\ frac {1} {r \ sin \ theta}} \ vasen ({\ osittainen \ yli \ osittainen \ theta} \ vasen (A _ {\ varphi} \ sin \ theta \ oikea) - {\ osittainen A _ {\ theta} \ yli \ osittainen \ varphi} \ oikea) { \ hat {\ mathbf {r}}} \\ [8pt] ja {} + {\ frac {1} {r}} \ vasemmalle ({1 \ yli \ sin \ theta} {\ osittainen A_ {r} \ yli \ osittainen \ varphi} - {\ osittainen \ yli \ osittainen r} \ vasen (rA _ {\ varphi} \ oikea) \ oikea) {\ hattu {\ boldsymbol {\ theta}}} \\ [8pt] & {} + {\ frac {1} {r}} \ vasen ({\ osittainen \ yli \ osittainen r} \ vasen (rA _ {\ theta} \ oikea) - {\ osittainen A_ {r} \ yli \ osittainen \ theta} \ oikea) {\ hattu {\ boldsymbol {\ varphi}}}, \\ [8pt] {\ mathrm {div}} ~ f = {\ overrightarrow {\ nabla}} \ cdot {\ vec {\ mathrm {A}}} = {} & {\ frac {1} {r ^ {2}}} { \ osittainen \ yli \ osittainen r} \ vasen (r ^ {2} A_ {r} \ oikea) + {\ frac {1} {r \ sin \ theta}} {\ osittainen \ osittainen \ theta} \ vasen (\ sin \ theta A _ {\ theta} \ oikea) + {\ frac {1} {r \ sin \ theta}} {\ osittainen A _ {\ varphi} \ over \ osittainen \ varphi}, \\ [8pt ] \ Delta f = {\ overrightarrow {\ nabla}} ^ {2} f = {} & {1 \ over r ^ {2}} {\ osittainen \ yli \ osittainen r} \ vasen (r ^ {2} { \ osittainen f \ yli \ osittainen r} \ oikea) + {1 \ yli r ^ {2} \ sin \ theta} {\ osittainen \ yli \ osittainen \ theta} \ vasen (\ sin \ theta {\ osittainen f \ yli \ osittainen \ theta} \ oikea) + {1 \ yli r ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta} {\ osittainen ^ {2} f \ yli \ osittainen \ varphi ^ {2}} \\ [8pt ] = {} ja \ vasen ({\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial r ^ {2}}} + {\ frac {2} {r}} {\ frac {\ partisalaatti} {\ osittainen r}} \ oikea) f + {1 \ yli r ^ {2} \ sin \ theta} {\ osittainen \ yli \ osittainen \ theta} \ vasen (\ sin \ theta {\ frac {\ osallinen} {\ osallinen \ theta}} \ oikea) f + {\ frac {1} {r ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta}} {\ frac {\ osittainen ^ {2}} {\ osittainen \ varphi ^ {2} }} f. \ loppu {tasattu}}}Tavalliset tensorit
Metrinen tensor on kirjoitettu
gij=(1000ρ2000ρ2synti2θ){\ displaystyle g_ {ij} = \ vasen ({\ begin {matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \ rho ^ {2} & 0 \\ 0 & 0 & \ rho ^ {2} \ sin ^ { 2} \ theta \ end {matriisi}} \ oikea)}ja väli
ds2=vs.2dt2-dρ2-ρ2dθ2-ρ2synti2θdφ2.{\ displaystyle {\ text {d}} s ^ {2} = c ^ {2} {\ text {d}} t ^ {2} - {\ text {d}} \ rho ^ {2} - \ rho ^ {2} {\ text {d}} \ theta ^ {2} - \ rho ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta \, {\ text {d}} \ varphi ^ {2}.}Christoffel-symbolin nollasta poikkeavat elementit ovat
Γθθρ=-ρΓφφρ=-ρsynti2θΓρθθ=Γθρθ=ρ-1Γφφθ=-cosθsyntiθΓρφφ=Γφρφ=ρ-1Γφθφ=Γθφφ=kustannusθ{\ displaystyle {\ begin {tasattu} \ Gamma _ {\ theta \ theta} ^ {\ rho} & = - \ rho \\\ Gamma _ {\ varphi \ varphi} ^ {\ rho} & = - \ rho \ sin ^ {2} \ theta \\\ Gamma _ {\ rho \ theta} ^ {\ theta} = \ Gamma _ {\ theta \ rho} ^ {\ theta} & = \ rho ^ {- 1} \\\ Gamma _ {\ varphi \ varphi} ^ {\ theta} & = - \ cos \ theta \, \ sin \ theta \\\ Gamma _ {\ rho \ varphi} ^ {\ varphi} = \ Gamma _ {\ varphi \ rho} ^ {\ varphi} & = \ rho ^ {- 1} \\\ Gamma _ {\ varphi \ theta} ^ {\ varphi} = \ Gamma _ {\ theta \ varphi} ^ {\ varphi} & = \ pinnasänky \ theta \ loppu {tasattu}}}
Yleistyminen ulottuvuudessa n
In Euclidean tilan ulottuvuus n , ja piste suorakulmaisten koordinaattien ( x 1 , ..., x n ), me määrittelemme hyperspheric koordinaatit ( r , θ 1 , ..., θ n -1 ) mukaan
r=‖x‖x1=rcosθ1x2=rsyntiθ1cosθ2⋯xei-1=rsyntiθ1⋯syntiθei-2cosθei-1xei=rsyntiθ1⋯syntiθei-2syntiθei-1{\ displaystyle {\ begin {matrix} r & = & \ | x \ | \\ x_ {1} & = & r \ cos \ theta _ {1} \\ x_ {2} & = & r \ sin \ theta _ {1} \ cos \ theta _ {2} \\\ cdots && \\ x_ {n-1} & = & r \ sin \ theta _ {1} \, \ cdots \, \ sin \ theta _ {n -2} \ cos \ theta _ {n-1} \\ x_ {n} & = & r \ sin \ theta _ {1} \, \ cdots \, \ sin \ theta _ {n-2} \ sin \ teeta _ {n- 1} \ loppu {matriisi}}}kanssa
θ1,...,θei-2∈[0,π]etθei-1∈[0,2π].{\ displaystyle \ theta _ {1}, \ ldots, \ theta _ {n-2} \ sisään [0, \ pi] \ quad {\ rm {ja}}} quad \ theta _ {n-1} \ sisään [0,2 \ pi].}
Pallomaiset koordinaatit muodostavat tietyn tapauksen n = 3 (sopivalla akselien numeroinnin valinnalla) ja napakoordinaatit tapauksen n = 2; voidaan tarkastella artikkelin 3-pallon vastaavaa osaa tapauksesta n = 4.
Huomautuksia ja viitteitä
-
(fi) Eric W. Weisstein , ” Pyöreät Koordinaatit, ” päälle MathWorld .
-
"Matemaattiset merkit ja symbolit käytettäväksi fysiikassa ja tekniikassa" : ISO 80000-2 (1. painos, 1.1.2009) (s. 24) [PDF] .
-
(in) NI Fisher , T. Lewis ja BJJ Lembleton , tilastollinen analyysi Pyöreät Data , Cambridge University Press ,1987, 329 Sivumäärä ( ISBN 978-0-521-24273-8 , luettu verkossa ) , s. 1.
-
Kuinka saada etäisyys kahden tunnetun pituus- ja leveyspiirin välillä geodesy.ign.fr-sivuston pallolla
-
(in) Luis Manuel Braga Costa Campos, yleinen Calculus Sovellukset aineeseen ja ForcesMathematics ja fysiikan tiede ja teknologia , CRC Press ,2014( lue verkossa ) , s. 686-687.
Aiheeseen liittyvät artikkelit
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">