Parabolinen osittainen differentiaaliyhtälö

On matematiikka , joka on toisen kertaluvun lineaarinen osittainen ero yhtälö, yleistä muotoa, joka saadaan seuraavasti:

{\ displaystyle \ summa _ {i, j = 1} ^ {n} {a_ {ij} (\ mathbf {x}) {\ dfrac {\ partituali ^ {2} f} {\ osittainen x_ {i} \ osittainen x_ {j}}}} + \ summa _ {i = 1} ^ {n} {b_ {i} (\ mathbf {x}) {\ dfrac {\ osittainen f} {\ osittain x_ {i}}}} + c (\ mathbf {x}) f = h (\ mathbf {x}), \ \ \ \ mathbf {x} \ U-osajoukossa \ mathbb {R} ^ {n}}

sanotaan olevan parabolinen avoimen U : n tietyssä pisteessä $x$ , jos toisen asteen kertoimien symmetrinen neliömatriisi sallii n –1 nollasta poikkeavan ominaisarvon ja saman merkin sekä nolla- ominaisarvon , ominaisvektorin liittyy jälkimmäisen, merkitään , on sellainen, että , ilmaiseva vektori n ensimmäisen kertaluvun kertoimia. ${\ displaystyle A (\ mathbf {x}) = \ vasen (a_ {ij} \ oikea) _ {1 \ leq i, j \ leq n}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {v} _ {0} (\ mathbf {x})}$ ${\ displaystyle \ mathbf {v} _ {0} (\ mathbf {x}) \ cdot \ mathbf {b} (\ mathbf {x}) \ neq 0}$ ${\ displaystyle \ mathbf {b} (\ mathbf {x})}$

Esimerkki

Klassinen esimerkki parabolisesta differentiaaliyhtälöstä on lämpöyhtälö :

{\ displaystyle {\ frac {\ osittainen T} {\ osittainen t}} - D \ Delta T + {\ frac {S} {\ rho C_ {P}}} = 0}

jossa $D$ on lämpötilan diffuusiokertoimen ja $C- P$ ominaislämpö vakiopaineessa, S ilmaiseva lähde aikavälillä lämmön tuotanto, $T = T ( t , r )$ lämpötila pisteessä $r$ avaruudessa ja hetkellä $t$ .

Todellakin, tässä tapauksessa matriisi A on annettu ja hyväksyy siten nollan ominaisarvon ja kolme muuta yhtä suurta kuin - D ja siten saman merkin. Lisäksi nolla-ominaisarvoon liittyvä ominaisvektori, toisin sanoen $(1,0,0,0),$ ei selvästikään ole ortogonaalinen vektoriin nähden . ${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -D & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -D & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -D \ end {pmatrix }}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {b} = (1,0,0,0)}$

Huomautuksia ja viitteitä

H. Reinhard 2004
Jos tätä viimeistä ehtoa ei vahvisteta, yhtälö rappeutuu.

Bibliografia

H. Reinhard, Osittaiset differentiaaliyhtälöt, johdanto , Pariisi, Dunod Université, coll. "Sup Sciences" ( repr. 2004) ( 1 kpl toim. 1991), 291 s. , nidottu ( ISBN 978-2100484225 ).
Maurice Gevrey, Parabolisen tyypin osittaiset differentiaaliyhtälöt , Gauthier-Villars, 1913

Katso myös