Batemanin yhtälö
In ydinfysiikka , Bateman yhtälö on matemaattinen malli, joka kuvaa runsautta ja toimintoja hajoamisketjun kuin ajan funktiona, joka perustuu hajoamisnopeusvakio ja alkuperäisen runsaus.
Jos tällä hetkellä t on isotoopin atomeja, jotka hajoavat isotoopeiksi nopeudella , näiden isotooppien määrät hajoamisketjun k-s vaiheessa kehittyvät seuraavasti:
EIi(t){\ displaystyle N_ {i} (t)}i{\ displaystyle i}i+1{\ displaystyle i + 1}λi{\ displaystyle \ lambda _ {i}}
dEI1(t)dt=-λ1EI1(t){\ displaystyle {\ frac {dN_ {1} (t)} {dt}} = - \ lambda _ {1} N_ {1} (t)}
dEIi(t)dt=-λiEIi(t)+λi-1EIi-1(t){\ displaystyle {\ frac {dN_ {i} (t)} {dt}} = - \ lambda _ {i} N_ {i} (t) + \ lambda _ {i-1} N_ {i-1} ( t)}
dEIk(t)dt=λk-1EIk-1(t){\ displaystyle {\ frac {dN_ {k} (t)} {dt}} = \ lambda _ {k-1} N_ {k-1} (t)}
(tämä voidaan sovittaa vastaamaan haarajohtoja). Vaikka tämä voidaan ratkaista nimenomaisesti , kaavat muuttuvat nopeasti hankaliksi pidemmille merkkijonoille.
i=2{\ displaystyle i = 2}
Harry Bateman löysi yleisen nimenomaisen kaavan kaavoille ottamalla näiden muuttujien Laplace-muunnoksen .
EIei(t)=∑i=1ei[EIi(0)×(∏j=iei-1λj)×(∑j=iei(e-λjt∏s=i,s≠jei(λs-λj)))]{\ displaystyle N_ {n} (t) = \ summa _ {i = 1} ^ {n} \ vasen [N_ {i} (0) \ kertaa \ vasen (\ prod _ {j = i} ^ {n- 1} \ lambda _ {j} \ oikea) \ kertaa \ vasen (\ summa _ {j = i} ^ {n} \ vasen ({\ frac {e ^ {- \ lambda _ {j} t}} {\ prod _ {p = i, p \ neq j} ^ {n} (\ lambda _ {p} - \ lambda _ {j})}} \ oikea) \ oikea) \ oikea]}(on mahdollista laajentaa sitä lähdetermeillä, jos lisää isotoopin atomeja syötetään ulkopuolelta vakionopeudella).
i{\ displaystyle i}
Vaikka Batemanin kaava voidaan helposti toteuttaa tietokonekoodissa, jos joillekin isotooppipareille peruutus voi johtaa laskuvirheisiin. Siksi käytetään myös muita menetelmiä, kuten numeerista integraatiota tai eksponentiaalimatriisimenetelmää .
λs≈λj{\ displaystyle \ lambda _ {p} \ approx \ lambda _ {j}}
Katso myös
Viitteet
-
(in) Harry Bateman , " Solution on järjestelmän differentiaaliyhtälöt Esiintyy teorian Radioaktiivisen Transformations " , Proc. Camb. Phil. Soc. , voi. 16,1910, s. 423 ( lue verkossa )
-
(in) " radioaktiivisen hajoamisen ja Bateman yhtälö " ,19. tammikuuta 2011(käytetty 11. toukokuuta 2016 ) , s. 24
-
(in) " Radioaktiiviset hajoamisketjut " osoitteessa nucleonica.com
-
(in) Logan J. Harr , " tarkka laskeminen Complex radioaktiivisen hajoamisen Ketjut " , M.Sc tutkielma ilmavoimien Institute of Technology ,2007( luettu verkossa , kuultu 11. toukokuuta 2016 )
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">