Blasius-yhtälö

In fysiikan , ja erityisesti nestettä mekaniikka , Blasius yhtälö kuvaa paikallaan ja kokoonpuristumattoman virtaus 2 mitat rajakerroksen muodostavan puoli- ääretön tasainen levy yhdensuuntainen virtaus. Tarkemmin sanottuna dimensioton tangentiaalinen nopeuskenttä on tämän yhtälön ratkaisu:

f″(θ)+12f′(θ)∫0θf(t)dt=0{\ displaystyle f '' (\ theta) + {1 \ yli 2} f '(\ theta) \ int \ limits _ {0} ^ {\ theta} f (t) \, \ mathrm {d} t = 0 }

Rajakerroksen liikeyhtälö ( Prandtl- teoria )

Kenraali

Analysoimme paikallaan oleva kaksiulotteinen virtaus tasossa lähellä tasaista levyä, joka on sijoitettu potentiaaliseen ulkoiseen virtaukseen, jonka oletamme olevan yhdensuuntainen seinän kanssa. (xOy){\ displaystyle (xOy)}y=0{\ displaystyle y = 0}U(x){\ displaystyle U (x)}

Ominaismitta virtauksen suuntaisessa suunnassa on mielivaltainen pituus, jonka oletetaan olevan hyvin suuri verrattuna virtaukseen kohtisuoraan ominaispiirteeseen (rajakerroksen paksuus): L{\ displaystyle L}5{\ displaystyle \ delta}

5≪L{\ displaystyle \ delta \ ll L}

Seuraava päättely perustuu näiden kahden asteikon olemassaoloon.

Termien vertailu

Katsomme, että tiheyden ja dynaamisen viskositeetin ( kinemaattinen viskositeetti ) virtaava neste virtaa tasaista levyä pitkin. Aloitetaan Navier-Stokes-yhtälöstä kiinteässä tilassa puristamattomuuden ehdolla: ρ{\ displaystyle \ rho} η{\ displaystyle \ eta} v{\ displaystyle \ nu}

ρ(v→.∇→)v→=-∇→s+ηΔv→{\ displaystyle \ rho ({\ vec {v}}. {\ overrightarrow {\ nabla}}) {\ vec {v}} = - {\ overrightarrow {\ nabla}} p + \ eta \ Delta {\ vec { v}}}

∇→.v→=0{\ displaystyle {\ overrightarrow {\ nabla}}. {\ vec {v}} = 0}

Vektorin kanssa v→=(uv){\ displaystyle {\ vec {v}} = {\ aloita {pmatrix} u \\ v \ end {pmatrix}}}

Kirjoitetaan tämä järjestelmä projisoidussa muodossa:

∂u∂x+∂v∂y=0{\ displaystyle {\ osittain u \ yli \ osittain x} + {\ osaa v \ yli \ osaa y} = 0}

u∂u∂x+v∂u∂y=-1ρ∂s∂x+v(∂2u∂x2+∂2u∂y2){\ displaystyle u {\ részben u \ yli \ osittain x} + v {\ osallinen u \ yli \ osaa y} = - {1 \ yli \ rho} {\ osittain p \ yli \ osittain x} + {\ nu} \ vasen ({\ osittain ^ {2} u \ yli \ osittain x ^ {2}} + {\ osaa ^ {2} u \ osaa \ osaa y ^ {2}} \ oikea)}

u∂v∂x+v∂v∂y=-1ρ∂s∂y+v(∂2v∂x2+∂2v∂y2){\ displaystyle u {\ osittain v \ yli \ osittain x} + v {\ osaa v \ yli \ osaa y} = - {1 \ yli \ rho} {\ osittainen p \ yli \ osittainen y} + {\ nu} \ vasen ({\ osittainen ^ {2} v \ yli \ osaa x ^ {2}} + {\ osaa ^ {2} v \ yli \ osaa y ^ {2}} \ oikea)}

Suuruusluokkien tutkimuksella voimme osoittaa, että ratkaistavia yhtälöitä voidaan yksinkertaistaa (laiminlyömällä tietyt termit toisten edessä). Selitetään tämä uusi järjestelmä:

∂u∂x+∂v∂y=0{\ displaystyle {\ osittain u \ yli \ osittain x} + {\ osaa v \ yli \ osaa y} = 0}

u∂u∂x+v∂u∂y=v∂2u∂y2{\ displaystyle u {\ részben u \ yli \ osittain x} + v {\ osallinen u \ yli \ ositettu y} = \ nu {\ osallinen ^ {2} u \ osittainen y ^ {2}}}

Esittely

Rajakerroksen määritelmä on, että se edustaa virtausaluetta, jossa viskoosivaikutukset ovat yhtä tärkeitä kuin inertiaaliset vaikutukset. Siksi verrataan erikseen diffuusioehtoja ja konvektiivitermejä. Aloitetaan käyttämällä jatkuvuusyhtälöä:

∂u∂x≈uLet∂v∂y≈v5⇒v5≈uL{\ displaystyle {{\ dfrac {\ partial u} {\ partial x}} \ approx {\ dfrac {u} {L}}} \ quad ja \ quad {{\ dfrac {\ partial v} {\ part y} } \ approx {\ dfrac {v} {\ delta}}} \ quad \ Rightarrow \ quad {\ frac {v} {\ delta}} \ approx {\ frac {u} {L}}}

Jatketaan diffuusioehdoilla, huomataan, että ilmiö voidaan siten laiminlyödä helposti pituussuunnassa:

∂2∂x2≈1L2≪152≈∂2∂y2{\ displaystyle {\ frac {\ osal ^ ^ {2}} {\ osaa x ^ {2}}} \ noin {\ frac {1} {L ^ {2}}} \ ll {\ frac {1} {\ delta ^ {2}}} \ noin {\ frac {\ osittainen ^ {2}} {\ osittainen y ^ {2}}}}

Toisaalta konvektiota koskevat ehdot ovat vertailukelpoisia:

u∂u∂x≈uuL≈uv5≈v∂u∂yjav∂v∂y≈vv5≈vuL≈u∂v∂x{\ displaystyle u {\ frac {\ osaluu} {\ osittain x}} \ noin u {\ frac {u} {L}} \ noin u {\ frac {v} {\ delta}} \ noin v {\ frac {\ osaluu} {\ osittainen y}} \ quad {\ teksti {et}} \ quad v {\ frac {\ osaa v} {\ osittainen y}} \ liki {{frakka {v} {\ delta }} \ noin v {\ frac {u} {L}} \ noin u {\ frac {\ osittain v} {\ osittain x}}}

Lopuksi, koska konvektio ja diffuusio ovat samaa suuruusluokkaa, päätämme:

u∂u∂x≈v∂2u∂y2⇒U2L≈vU52{\ displaystyle u {\ frac {\ partituali} {\ osittainen x}} \ noin \ nu {\ frac {\ osallinen ^ {2} u} {\ osaa y ^ {2}}} \ quad \ Rightarrow \ quad {\ frac {U ^ {2}} {L}} \ noin {\ frac {\ nu U} {\ delta ^ {2}}}}

Joko johon Reynoldsin luku kokonaisuudessaan meillä on suhde: . Voimme lisätä, että jatkuvuusyhtälöllä meillä on suhde tangentiaalisen ja normaalinopeuden suuruusluokkien välillä:ReL=ULv{\ displaystyle \ mathrm {Re} _ {L} = {\ frac {UL} {\ nu}}}5L=1ReL{\ displaystyle {\ frac {\ delta} {L}} = {\ frac {1} {\ sqrt {\ mathrm {Re} _ {L}}}}}vu=1ReL{\ displaystyle {\ frac {v} {u}} = {\ frac {1} {\ sqrt {\ mathrm {Re} _ {L}}}}}

Suuruusluokkien tutkimisen yhteydessä ei voida ottaa huomioon vain tangentiaalisen nopeuden yhtälöä (ilman tangentiaalista diffuusiota). Termit ovat kaikki hyvin heikkoja, mikä vähentää toisen ennusteen . Tämä tarkoittaa, että paine on vakio rajakerroksen paksuudessa (kiinteällä absissilla) ja se voidaan sen vuoksi määrittää Bernoullin yhtälön avulla rajakerroksen ulkopuolella. On huomattava, että Blasius-rajakerroksen tapauksessa ulkoisen virtauksen oletetaan olevan tasainen nopeudella . Osoitamme siis, että painegradientti on nolla: u{\ displaystyle u}v{\ displaystyle v}∂s∂y=0{\ displaystyle {\ osittainen p \ yli \ osittainen y} = 0}U{\ displaystyle U}

s(x)+12ρU2=VSte⇒-dsdx=ddx(12ρU2)=0{\ displaystyle p (x) + {1 \ yli 2} \ rho U ^ {2} = \ mathrm {Cte} \ quad \ Rightarrow \ quad - {\ frac {dp} {dx}} = {\ frac {d } {dx}} {\ Bigl (} {1 \ yli 2} \ rho U ^ {2} {\ Bigl)} = 0}

Adimensional yhtälöt

Nyt on kyse näiden yhtälöiden koon muuttamisesta. Tätä varten pienennämme muuttujia järkevästi.

Lisätietoja pelkistysvaihtoehdoista on innoittamana suuruusluokkien tutkiminen. Esimerkiksi kun vertaa sitä on on syytä vertailla ja . Sama pätee avaruusmuuttujiin. Uudet muuttujat ovat siis: u{\ displaystyle u}U{\ displaystyle U}v{\ displaystyle v}UReL{\ displaystyle {\ dfrac {U} {\ sqrt {\ mathrm {Re} _ {L}}}}}

u′=uUv′=vReLU{\ displaystyle u '= {u \ over U} \ qquad v' = {\ frac {v {\ sqrt {\ mathrm {Re} _ {L}}}} {U}}}

x′=xLy′=yReLL{\ displaystyle x '= {x \ yli L} \ qquad y' = {\ frac {y {\ sqrt {\ mathrm {Re} _ {L}}}} {L}}}

Näiden uusien muuttujien avulla järjestelmästä yksinkertaisesti tulee:

∂u′∂x′+∂v′∂y′=0{\ displaystyle {\ osittain u '\ yli \ osittain x'} + {\ osaa v '\ yli \ osaa y'} = 0}

u′∂u′∂x′+v′∂u′∂y′=v∂2u′∂y′2{\ displaystyle u '{\ részben u' \ yli \ osittain x '} + v' {\ osittain u '\ yli \ osaa y'} = \ nu {\ osallinen ^ {2} u '\ yli \ osittainen {y '} ^ {2}}}

Blasius-yhtälön hankkiminen

Uusi muuttuja

Etsimme selvästi muodon tangentiaalista nopeuskenttää . Yksi epätarkkuus on kuitenkin edelleen: ominaispituus . Koska tämä on mielivaltainen, on välttämätöntä, että ratkaisu ei riipu siitä. Tässä lähestymistavassa näyttää siltä, ​​että ratkaisu riippuu vain yhdestä muuttujasta, yhdistämällä ja siten, että se on riippumaton tästä pituudesta . Kysytään vain: u′=f(x′,y′){\ displaystyle u '= f (x', y ')}L{\ displaystyle L}x′{\ displaystyle x '}y′{\ displaystyle y '}L{\ displaystyle L}

θ=y′x′=yxUv{\ displaystyle \ theta = {\ frac {y '} {\ sqrt {x'}}} = {\ frac {y} {\ sqrt {x}}} {\ sqrt {\ dfrac {U} {\ nu} }}}

Tämä muuttuja on riippumaton pituudesta . L{\ displaystyle L}

Esittely

θ=y′x′=yReLLxL=yxReLL=yxUv{\ displaystyle \ theta = {\ dfrac {y '} {\ sqrt {x'}}} = {\ dfrac {\ dfrac {y {\ sqrt {\ mathrm {Re} _ {L}}}} {L} } {\ sqrt {\ dfrac {x} {L}}}} = {\ frac {y} {\ sqrt {x}}} {\ sqrt {\ dfrac {\ mathrm {Re} _ {L}} {L }}} = {\ frac {y} {\ sqrt {x}}} {\ sqrt {\ dfrac {U} {\ nu}}}}

Päätelmämme ovat, että haettu ratkaisu on muotoa:

uU=f(θ)Onu=Uf(θ){\ displaystyle {\ frac {u} {U}} = f (\ theta) \ quad {\ text {joko}}} \ quad u = Uf (\ theta)}

Blasius-yhtälö

Tällä uudella muuttujalla Blasius-yhtälöön pääsemiseksi riittää, että ilmaistaan ​​liikkeen yhtälön jokainen termi:

f″(θ)+12f′(θ)∫0θf(t)dt=0{\ displaystyle f '' (\ theta) + {1 \ yli 2} f '(\ theta) \ int \ limits _ {0} ^ {\ theta} f (t) \, \ mathrm {d} t = 0 } Esittely

Ensinnäkin on huomattava, että muuttuja . Tarvitsemme siis osittaiset johdannaiset: θ=θ(x′,y′){\ displaystyle \ theta = \ theta (x ', y')}

∂θ∂x′=-12x′θja∂θ∂y′=1y′θ=1x′{\ displaystyle {\ frac {\ partituali theta} {\ partituali x '}} = - {\ frac {1} {2x'}} \ theta \ quad {\ text {ja}} \ quad {\ frac {\ osittainen \ theta} {\ osittainen y '}} = {\ frac {1} {y'}} \ theta = {\ frac {1} {\ sqrt {x '}}}}

Nyt on kyse liikkeen yhtälön jokaisen ehdon ilmaisemisesta. Aloitetaan termillä diffuusio:

∂2u′∂2y′=∂2u′∂2θ(∂θ∂y′)2=1x′f″(θ){\ displaystyle {\ frac {\ osal ^ ^ {2} u '} {\ osaa ^ {2} y'}} = {\ frac {\ osaa ^ {2} u '} {\ osaa ^ {2} \ theta }} \ vasen ({\ frac {\ partituali \ theta} {\ osittainen y '}} \ oikea) ^ {2} = {\ frac {1} {x'}} f '' (\ theta)}

Ensimmäinen konvektiivinen termi on helppo ilmaista:

u′=f(θ)⇒u′∂u′∂x′=u′∂u′∂θ∂θ∂x′=-12x′θf(θ)f′(θ){\ displaystyle u '= f (\ theta) \ quad \ Rightarrow \ quad u' {\ frac {\ partituali u '} {\ partituali x'}} = u '{\ frac {\ osallinen u'} {\ osittainen \ theta}} {\ frac {\ partituali \ theta} {\ osaa x '}} = - {\ frac {1} {2x'}} \ theta f (\ theta) f '(\ theta)}

Toisin kuin toinen, joka vaatii jatkuvuusyhtälön läpi käymistä:

∂u′∂x′+∂v′∂y′=0⇒∂v′∂θ∂θ∂y′=-∂u′∂θ∂θ∂x′⇒∂v′∂θ=-f′(θ)∂θ∂x′∂θ∂y′=12x′θf′(θ){\ displaystyle {\ partituali u '\ over \ osittainen x'} + {\ osaa v '\ yli \ osaa y'} = 0 \ quad \ Rightarrow \ quad {\ frac {\ osaa v '} {\ osallinen \ theta }} {\ frac {\ partituali \ theta} {\ osittainen y '}} = - {\ frac {\ osallinen u'} {\ osallinen \ theta}} {\ frak {\ osallinen \ theta} {\ osallinen x ' }} \ quad \ Rightarrow \ quad {\ frac {\ partial v '} {\ partial \ theta}} = - f' (\ theta) {\ dfrac {\ dfrac {\ partituali \ theta} {\ osittainen x '} } {\ dfrac {\ partituali \ theta} {\ osittainen y '}}} = {1 \ yli 2 {\ sqrt {x'}}} \ theta f '(\ theta)}

Löytää nopeus, me yhdistää tämän yhtälön mukaan on vahvistettu: v′{\ displaystyle v '}θ{\ displaystyle \ theta}x{\ displaystyle x}

∫0θ∂v′∂tdt=12x′∫0θtf′(t)dt{\ displaystyle \ int \ limits _ {0} ^ {\ theta} {\ frac {\ osal v '} {\ ositettu t}} \, \ mathrm {d} t = {1 \ yli 2 {\ sqrt {x '}}} \ int \ limits _ {0} ^ {\ theta} tf' (t) \, \ mathrm {d} t}

Käytä sitten osien integraatiota:

v′(θ)-v′(θ=0)=12x′[θf(θ)]0θ-12x′∫0θf(t)dt{\ displaystyle v '(\ theta) -v' (\ theta = 0) = {1 \ yli 2 {\ sqrt {x '}}} {\ iso [} \ theta f (\ theta) {\ iso]} _ {0} ^ {\ theta} - {1 \ yli 2 {\ sqrt {x '}}} \ int \ rajoittaa _ {0} ^ {\ theta} f (t) \, \ mathrm {d} t}

Muista, että milloin se on seinän tasolla. Normaali nopeus on kuitenkin tällä tasolla nolla (neste ei tunkeudu seinään), mikä lopulta antaa: θ=0{\ displaystyle \ theta = 0}y=0{\ displaystyle y = 0}

v′=12x′θf(θ)-12x′∫0θf(t)dt{\ displaystyle v '= {1 \ yli 2 {\ sqrt {x'}}} \ theta f (\ theta) - {1 \ yli 2 {\ sqrt {x '}}} \ int \ limits _ {0} ^ {\ theta} f (t) \, \ mathrm {d} t}

Toinen konvektiotermi kirjoitetaan sitten:

v′∂u′∂y′=1x′f′(θ)(12θf(θ)-12∫0θf(t)dt){\ displaystyle v '{\ részben u' \ yli \ ositettu y '} = {1 \ yli x'} f '(\ theta) \ vasen ({1 \ yli 2} \ theta f (\ theta) - {1 \ over 2} \ int \ limits _ {0} ^ {\ theta} f (t) \, \ mathrm {d} t \ right)}

Ryhmittelemme kaikki ilmaisut seuraavasti:

-12x′θf(θ)f′(θ)+1x′f′(θ)(12θf(θ)-12∫0θf(t)dt)=1x′f″(θ){\ displaystyle - {\ frac {1} {2x '}} theta f (\ theta) f' (\ theta) + {1 \ over x '} f' (\ theta) \ left ({1 \ over 2 } \ theta f (\ theta) - {1 \ yli 2} \ int \ limits _ {0} ^ {\ theta} f (t) \, \ mathrm {d} t \ right) = {\ frac {1} {x '}} f' '(\ theta)}

Yksinkertaistusten jälkeen saadaan Blasius-yhtälö:

f″(θ)+12f′(θ)∫0θf(t)dt=0{\ displaystyle f '' (\ theta) + {1 \ yli 2} f '(\ theta) \ int \ limits _ {0} ^ {\ theta} f (t) \, \ mathrm {d} t = 0 }

Tarkistetaan, että ongelman ainutlaatuinen muuttuja on. θ{\ displaystyle \ theta}

Arvioitu tarkkuus

Pienien arvojen tapaus θ{\ displaystyle \ theta}

Muistakaa, että kiinteästi vaihtelee samalla tavalla kuin , joten muuttuja edustaa etäisyyttä seinään nähden rajakerroksen tasolla. Sovelletaan funktion rajoitettua laajennusta  : x{\ displaystyle x}θ{\ displaystyle \ theta}y{\ displaystyle y}θ≃0{\ displaystyle \ theta \ simeq 0}

f(θ)=f(0)+θf′(0)+θ22f″(0)+θ36f(3)(0)+θ424f(4)(0)+o(θ4){\ displaystyle f (\ theta) = f (0) + \ theta f '(0) + {\ theta ^ {2} \ yli 2} f' '(0) + {\ theta ^ {3} \ yli 6 } f ^ {(3)} (0) + {\ theta ^ {4} \ yli 24} f ^ {(4)} (0) + o (\ theta ^ {4})}

Tiedämme jo, että tämän avulla voidaan vahvistaa Blasius-yhtälöä käyttämällä . Voimme osoittaa, että se on sama myös sillef(0)=0{\ displaystyle f (0) = 0}f″(0)=0{\ displaystyle f '' (0) = 0}f(3)(0){\ displaystyle f ^ {(3)} (0)}f(4)(0)=-12f′2(0){\ displaystyle f ^ {(4)} (0) = - {1 \ yli 2} {f '} ^ {2} (0)}

Esittely

Johdetaan Blasius-yhtälö ensimmäistä kertaa:

f(3)(θ)=-12(f′(θ)f(θ)+f″(θ)∫0θf(t)dt){\ displaystyle f ^ {(3)} (\ theta) = - {1 \ yli 2} \ vasen (f '(\ theta) f (\ theta) + f' '(\ theta) \ int \ limits _ { 0} ^ {\ theta} f (t) \, \ mathrm {d} t \ oikea)}

Siksi saamme sen suoraan . Ja jos ajaudumme jälleen kerran: f(3)(0){\ displaystyle f ^ {(3)} (0)}

f(4)(θ)=-12(f″(θ)f(θ)+f′2(θ)+f″(θ)f(θ)+f(3)(θ)∫0θf(t)dt){\ displaystyle f ^ {(4)} (\ theta) = - {1 \ yli 2} \ vasen (f '' (\ theta) f (\ theta) + {f '} ^ {2} (\ theta) + f '' (\ theta) f (\ theta) + f ^ {(3)} (\ theta) \ int \ limits _ {0} ^ {\ theta} f (t) \, \ mathrm {d} t \ oikea)}

Samalla tavalla saamme: f(4)(0)=-12f′2(0){\ displaystyle f ^ {(4)} (0) = - {1 \ yli 2} {f '} ^ {2} (0)}

Pienille arvoille meillä on siis seuraava likiarvo: θ{\ displaystyle \ theta}

f(θ)=(θ-θ448f′(0))f′(0){\ displaystyle f (\ theta) = \ vasen (\ theta - {\ theta ^ {4} \ yli 48} f '(0) \ oikea) f' (0)}

Siksi päätellään, että lähellä seinää tangentiaalisen nopeuden profiili vaihtelee lineaarisesti ja seuraa sitten koverampaa profiilia (termi sisään ) θ4{\ displaystyle \ theta ^ {4}}

Suurten arvojen tapaus θ{\ displaystyle \ theta}

Suuret arvot tarkoittavat sitä, että siirrymme yhä kauemmaksi seinämästä ja rajakerroksen nopeuskentästä . Toisin sanoen, kuten meillä silloin on . Sitten kirjoitetaan Blasius-rajayhtälö: θ{\ displaystyle \ theta}u→U{\ displaystyle u \ rightarrow U}u=Uf(θ){\ displaystyle u = Uf (\ theta)}f(θ)→1{\ displaystyle f (\ theta) \ oikeanpuoleinen nuoli 1}

f″(θ)≈-12θf′(θ){\ displaystyle f '' (\ theta) \ noin - {1 \ yli 2} \ theta f '(\ theta)}

Integroimme helposti:

f′(θ)=f′(0)e-θ24{\ displaystyle f '(\ theta) = f' (0) \ mathrm {e} ^ {- {\ frac {\ theta ^ {2}} {4}}}}

Tämä lauseke osoittaa, että se lähenee eksponentiaalisesti kohti implisiittiä, joka saavuttaa asymptoottisen arvonsa samalla tavalla . Lisäksi eksponentti saavuttaa 98% lopullisesta arvostaan, kun sen parametri on luokkaa 6, päätellään, että jätämme rajakerroksen . Joten funktion toimialue annetaan: forf′(θ){\ displaystyle f '(\ theta)}0{\ displaystyle 0}f{\ displaystyle f}1{\ displaystyle 1}θ≈5{\ displaystyle \ theta \ noin 5}f{\ displaystyle f}f(θ)∈[0,1]{\ displaystyle f (\ theta) \ in [0,1]}θ∈[0,5]{\ displaystyle \ theta \ kohdassa [0.5]}

Nämä tulokset ovat sopusoinnussa rajakerroksen periaatteen kanssa: heti kun siirrymme seinästä, löydämme tasaisen virtauksen ja yhdistämällä reunojen kaksi käyttäytymistä kuvittelemme, että nopeusprofiili kulkee äkillisesti. Sen lineaarisesta käyttäytymisestä sen asymptoottinen käyttäytyminen.

Katso myös

Aiheeseen liittyvät artikkelit

• Rajakerros
• Reynoldsin numero
• Laminaari virtaus

Bibliografia

• Fyysinen hydrodynamiikka , Étienne Guyon, Jean Pierre Hulin, Luc Petit (EDP Sciences, 2001) ( ISBN  2-86883-502-3 )

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">