Boltzmann-Peierls-yhtälö

On kiinteän olomuodon fysiikan Boltzmannin yhtälö-Peierls kuvaa kehitys kertymäfunktio ja hilavärähtelyt on kiteinen kiinteä aine . Sen perusti Rudolf Peierls vuonna 1929.

Evoluutioyhtälö

Hilavärähtelyt ovat bosonit kuvattu niiden kertymäfunktio , joka on vaihteleva tila, aika, aalto vektori ja merkitsee polarisaatio. ${\ displaystyle n _ {\ lambda} (\ mathbf {k}, \ mathbf {x}, t)}$ $\ mathbf {x}$ $t$ ${\ mathbf {k}}$ $\ lambda$

N: n säilytysyhtälö kirjoitetaan mille tahansa polarisaatiolle

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} n} {\ mathrm {d} t}} = {\ frac {\ osittainen n} {\ osittainen t}} + \ mathbf {v} \ cdot \ nabla n = S_ {N} + S_ {R}}

$S_N$ on termi, jota kutsutaan normaaliksi ja joka tulee kidehilan värähtelyn anharmonisista prosesseista ja joka säilyttää vauhdin ,
${\ displaystyle S_ {R}}$ diffuusio termi säästää energiaa, mutta ei vauhtia, joka liittyy vuorovaikutus phonon kanssa epäideaalisuutta kidehilan, fyysinen raja väliaineen (näytteen reunasta tai viljaa rajan ), vuorovaikutuksesta elektronin tai umklapp- prosessiin . Tätä termiä kutsutaan resistiiviseksi, koska toisin kuin normaaliin prosessiin liittyvä termi, se vaikuttaa johtamisen lämpövastukseen .
etenemisnopeus tai ryhmä nopeus liittyy tykytys aallon mukaan . ${\ mathbf {vb}}$ $\ omega$ ${\ displaystyle \ mathbf {v} = \ nabla _ {\ mathbf {k}} \ omega}$

Lähetysehdot

Hajotusehdot on mahdollista kirjoittaa tiukalla tavalla, mutta tällä on vain vaatimaton mielenkiinto siltä osin kuin ilmiö koskee diffuusiokeskuksia, jotka tunnetaan huonosti geometrian ja lukumäärän suhteen. Useimmiten käytetään rentoutustyyppiarviointia

{\ displaystyle S = \ tau ^ {- 1} (n_ {eq} -n)}

${\ displaystyle \ tau (\ omega, T)}$ on diffuusioilmiölle ominainen rentoutumisaika.

Esittely

Homogeeniselle väliaineelle, jossa tasapainojakauma on Boltzmann-Peierls-yhtälö relaksaatioarviossa pienenee ${\ displaystyle n_ {eq}}$

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} n} {\ mathrm {d} t}} = \ tau ^ {- 1} (n_ {eq} -n)}

joka kuvaa rentoutumisen ilmiötä kohti tasapainoa aikavakion kanssa $\ tau$

{\ displaystyle n (t) = n_ {0} + (n_ {eq} -n_ {0}) e ^ {- {\ frac {t} {\ tau}}}}

Kun useat ilmiöt menevät päällekkäin, tämä ominaisaika saavutetaan soveltamalla Matthiessenin sääntöä

{\ displaystyle \ tau ^ {- 1} = \ summa _ {i} \ tau _ {i} ^ {- 1}}

Tähän likiarvoon kirjoitetaan kuljetusyhtälö

{\ displaystyle {\ frac {\ partitu n} {\ osittainen t}} + \ mathbf {v} \ cdot \ nabla n = \ tau _ {N} ^ {- 1} (n_ {N} -n) + \ tau _ {R} ^ {- 1} (n_ {0} -n)}

$n_ {0}$ on termodynaaminen tasapainojakauma , jonka Bose-Einstein-statistiikka antaa ilman kemiallista potentiaalia :

{\ displaystyle n_ {0} (\ mathbf {k}) = {\ frac {1} {e ^ {\ beta \ hbar \ omega (\ mathbf {k})} - 1}} \ ,, \ quad \ beta = {\ frac {1} {k_ {B} T}}}

jossa termodynaaminen lämpötila .

T

${\ displaystyle n_ {N}}$ on Bose-Einstein-jakauma liikkuvassa kehyksessä ajonopeudella : $\ mathbf {u}$

{\ displaystyle n_ {N} (\ mathbf {k}) = {\ frac {1} {e ^ {\ hbar [\ beta \ omega (\ mathbf {k}) + \ mathbf {u} \ cdot \ mathbf { k}]} - 1}}}

Toisin kuin Bose-Einstein-jakauma, tämä jakauma ei ole isotrooppinen.

Esittely

Tasapainojakauma vastaa suurinta entropiaa kiinteällä energialla ja tarvittaessa kiinteällä momentilla. Tämä entropia on kirjoitettu:

{\ displaystyle S_ {k} = k_ {B} \ alpha \ left [\ left (1 + {\ frac {n} {\ alpha}} \ right) \ log {\ left (1 + {\ frac {n} {\ alpha}} \ oikea)} - \ vasen ({\ frac {n} {\ alpha}} \ oikea) \ log {\ vasen ({\ frac {n} {\ alpha}} \ oikea)} \ right] \ ,, \ quad \ alpha = {\ frac {3} {(2 \ pi) ^ {3}}}}

Jännitykset kirjoitetaan käyttäen havaittuja Lagrangen kertoimia ja . Resistiivisten prosessien tapauksessa maksimoimme , tilavuusenergia on kiinteä, mikä johtaa Bose-Einstein-jakaumaan. Normaalien prosessien tapauksessa maksimoitava määrä on , myös liikemäärä on kiinteä. Tämä johtaa yllä annettuun jakautumiseen . Driftinopeutta ei voida laskea analyyttisesti paitsi erikoistapauksissa. $\beeta$ $\ mathbf {u}$ ${\ displaystyle S_ {k} + \ beta \ vasen (\ int _ {\ mathbb {R} ^ {3}} \ hbar \ omega n \ mathrm {d} \ mathbf {k} -E \ right)}$ $E$ ${\ displaystyle S_ {k} + \ beta \ vasen (\ int _ {\ mathbb {R} ^ {3}} \ hbar \ omega n \ mathrm {d} \ mathbf {k} -E \ right) + \ mathbf {u} \ cdot \ left (\ int _ {\ mathbb {R} ^ {3}} \ hbar \ mathbf {k} n \ mathrm {d} \ mathbf {k} - \ mathbf {p} \ right)}$ $\ mathbf {p}$ ${\ displaystyle n_ {N}}$ $\ mathbf {u}$

Lämmönjohtavuuden laskeminen

Lämmönjohtavuus voidaan laskea ratkaisemalla liikenteen yhtälö. On mahdollista antaa analyyttinen ratkaisu paikallaan tapauksessa ja pitkillä aallonpituuksilla (akustisten aaltojen kanssa korvaamalla johdannainen , jonka että käsitteessä advection . Tämä menetelmä johtuu Joseph Callaway on melko yleisessä käytössä.. ${\ displaystyle \ omega = vk}$ $ei$ $n_ {0}$

Viitteet

(in) Rudolf Peierls , " Zur Theorie der kinetischen Wärmeleitung in Kristallen " , Annalen der Physik , n o 3,1929
(en) JM Ziman , Electrons and Phonons , Clarendon Press ,1960
(en) Ingo Muller ja Tomasso Ruggieri, Rational Extended Thermodynamics , Springer ,1998( ISBN 978-1-4612-7460-5 )
(in) Michael Fryer, makroskooppinen liikenne yhtälöt hilavärähtelyt kiinteissä aineissa , Victorian yliopisto,2010( lue verkossa )
(in) Joseph Callaway , " malli Hila lämmönjohtavuuden Kylmälaboratorion " , Physical Review , vol. 113, n ° 4,1958