Geodeettinen yhtälö

Eräässä Riemannin moninaiset , saadaan yhtälön geodeettisen ilmaisemalla, että sen pituus on minimaalinen - määritelmän.

Koordinaatistossa annetaan metrinen tensor ilmaisee pituus äärettömän käyrä: xi{\ displaystyle x ^ {i}}

ds=±gijdxidxj{\ displaystyle \ mathrm {d} s = {\ sqrt {\ pm g_ {ij} \ mathrm {d} x ^ {i} \ mathrm {d} x ^ {j}}}}.

Valinnainen merkki valitaan aikavälin ja metrisen tensorin allekirjoituksen mukaan. ±{\ displaystyle \ pm}

Jos käyrä parametroidaan muuttujan avulla , kirjoitamme τ{\ displaystyle \ tau}

s˙=dsdτ=±gijx˙ix˙j{\ displaystyle {\ dot {s}} = {\ frac {\ mathrm {d} s} {\ mathrm {d} \ tau}} = {\ sqrt {\ pm g_ {ij} {\ dot {x}} ^ {i} {\ dot {x}} ^ {j}}}},

jossa ylempi piste edustaa kokonaisjohdannaista suhteessa . Reitin pituus on siis sama kuin integraali: τ{\ displaystyle \ tau}

∫±gijx˙ix˙jdτ{\ displaystyle \ int {\ sqrt {\ pm g_ {ij} {\ dot {x}} ^ {i} {\ dot {x}} ^ {j}}} \ mathrm {d} \ tau}

Käyttämällä muunnelmien laskemiseen liittyvää Lagrangen menetelmää ilmaisemaan, että integraali on minimaalinen, saadaan geodeettinen yhtälö

∂s˙∂xk-ddτ(∂s˙∂x˙k)=0{\ displaystyle {\ frac {\ partitali {\ dot {s}}} {\ partituali x ^ {k}}} - {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} \ tau}} \ vasen ({\ frac {\ osittainen {\ piste {s}}} {\ osittainen {\ piste {x}} ^ {k}}} \ oikea) = 0}

Reittien kanoninen parametrointi antaa mahdollisuuden saada yhtälö, joka sisältää Christoffel-symbolit  : τ=s{\ displaystyle \ tau = s}

x¨k+Γijkx˙ix˙j=0{\ displaystyle {\ ddot {x}} ^ {k} + \ Gamma _ {ij} ^ {k} {\ dot {x}} ^ {i} {\ dot {x}} ^ {j} = 0} Esittely

Selitetään edellisessä geodeettisessa yhtälössä: s˙{\ displaystyle {\ piste {s}}}

∂s˙∂xk-ddτ(∂s˙∂x˙k)=0{\ displaystyle {\ frac {\ partitali {\ dot {s}}} {\ partituali x ^ {k}}} - {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} \ tau}} \ vasen ({\ frac {\ osittainen {\ piste {s}}} {\ osittainen {\ piste {x}} ^ {k}}} \ oikea) = 0},

yksi on, ottamalla huomioon metrisen tensorin osittainen johdannainen k- koordinaattiin verrattuna : gij,k=∂kgij{\ displaystyle g_ {ij, k} = \ osittainen _ {k} g_ {ij}}

12s˙gij,kx˙ix˙j-ddτ(1s˙gkix˙i)=0{\ displaystyle {\ frac {1} {2 {\ dot {s}}}} g_ {ij, k} {\ dot {x}} ^ {i} {\ dot {x}} ^ {j} - { \ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} \ tau}} \ vasen ({\ frac {1} {\ dot {s}}} g_ {ki} {\ dot {x}} ^ {i } \ oikea) = 0}

Parametroikoimme lentorata sen pituudella , toisin sanoen asettakaamme . Tämän valinnan avulla meillä on ja geodeettisesta yhtälöstä tulee s{\ displaystyle s}τ=s{\ displaystyle \ tau = s}s˙=1{\ displaystyle {\ piste {s}} = 1}

12gij,kx˙ix˙j-dds(gkix˙i)=0{\ displaystyle {\ frac {1} {2}} g_ {ij, k} {\ dot {x}} ^ {i} {\ dot {x}} ^ {j} - {\ frac {\ mathrm {d }} {\ mathrm {d} s}} \ vasen (g_ {ki} {\ dot {x}} ^ {i} \ oikea) = 0}

Koska metrinen tensori riippuu, mutta ei nimenomaisesti siitä , meillä on ja geodeettinen yhtälö on muodoltaan xi{\ displaystyle x ^ {i}}x˙i{\ displaystyle {\ dot {x}} ^ {i}}dgkids=gki,jdxjds=gki,jx˙j{\ displaystyle {\ tfrac {\ mathrm {d} g_ {ki}} {\ mathrm {d} s}} = g_ {ki, j} {\ tfrac {\ mathrm {d} x ^ {j}} {\ mathrm {d} s}} = g_ {ki, j} {\ piste {x}} ^ {j}}

12gij,kx˙ix˙j-gki,jx˙ix˙j-gkix¨i=0{\ displaystyle {\ frac {1} {2}} g_ {ij, k} {\ dot {x}} ^ {i} {\ dot {x}} ^ {j} -g_ {ki, j} {\ piste {x}} ^ {i} {\ piste {x}} ^ {j} -g_ {ki} {\ ddot {x}} ^ {i} = 0}

tai uudestaan ​​käyttämällä sitä tosiasiaa, että indekseillä i ja j on symmetrinen rooli, ja siksi  : gki,jx˙ix˙j=gkj,ix˙ix˙j{\ displaystyle g_ {ki, j} {\ dot {x}} ^ {i} {\ dot {x}} ^ {j} = g_ {kj, i} {\ dot {x}} ^ {i} { \ dot {x}} ^ {j}}

12(gij,k-gki,j-gkj,i)x˙ix˙j-gkix¨i=0{\ displaystyle {\ frac {1} {2}} \ vasen (g_ {ij, k} -g_ {ki, j} -g_ {kj, i} \ oikea) {\ piste {x}} ^ {i} {\ dot {x}} ^ {j} -g_ {ki} {\ ddot {x}} ^ {i} = 0}

Kuitenkin mitättömyydestä covariant derivaatta metrinen tensori voimme vakuuttaa, että:

gij,k=Γiklglj+Γjklgil{\ displaystyle g_ {ij, k} = \ Gamma _ {ik} ^ {l} g_ {lj} + \ Gamma _ {jk} ^ {l} g_ {il}} gki,j=Γkjlgli+Γijlgkl{\ displaystyle g_ {ki, j} = \ Gamma _ {kj} ^ {l} g_ {li} + \ Gamma _ {ij} ^ {l} g_ {kl}} gkj,i=Γkilglj+Γijlgkl{\ displaystyle g_ {kj, i} = \ Gamma _ {ki} ^ {l} g_ {lj} + \ Gamma _ {ij} ^ {l} g_ {kl}}

siksi käyttämällä metrisen tensorin ja Christoffel-symboleiden symmetriaa:

gij,k-gki,j-gkj,i=-2Γijlgkl{\ displaystyle g_ {ij, k} -g_ {ki, j} -g_ {kj, i} = - 2 \ Gamma _ {ij} ^ {l} g_ {kl}}

ja niin :

-Γijlgklx˙ix˙j=gkix¨i=gklx¨l{\ displaystyle - \ Gamma _ {ij} ^ {l} g_ {kl} {\ dot {x}} ^ {i} {\ dot {x}} ^ {j} = g_ {ki} {\ ddot {x }} ^ {i} = g_ {kl} {\ ddot {x}} ^ {l}}

nimeämällä hakemiston i arvoksi l viimeisessä tasapelissä. Sen jälkeen riittää, kun käytetään tensorin g käänteistä, jotta voidaan päätellä, että:

x¨l=-Γijlx˙ix˙j{\ displaystyle {\ ddot {x}} ^ {l} = - \ Gamma _ {ij} ^ {l} {\ dot {x}} ^ {i} {\ dot {x}} ^ {j}}.

Esimerkki

Tarkastellaan Poincarén puolitasoa , jonka pisteet tunnistetaan parilla ( x , y ), joiden y > 0. Tämän puolitason metrinen arvo annetaan pisteessä ( x , y ):

g(x,y)=dx2+dy2y2{\ displaystyle g (x, y) = {\ frac {dx ^ {2} + dy ^ {2}} {y ^ {2}}}}

Laskeminen Christoffelin symboleista tästä tensor antaa:

Γxxy=-Γxyx=-Γyxx=-Γyyy=1y{\ displaystyle \ Gamma _ {xx} ^ {y} = - \ Gamma _ {xy} ^ {x} = - \ Gamma _ {yx} ^ {x} = - \ Gamma _ {yy} ^ {y} = {\ frac {1} {y}}}

Geodeettinen yhtälö antaa merkitsemällä ja : vx=x˙{\ displaystyle v_ {x} = {\ piste {x}}}vy=y˙{\ displaystyle v_ {y} = {\ piste {y}}}

v˙x-2yvxvy=0{\ displaystyle {\ dot {v}} _ {x} - {\ frac {2} {y}} v_ {x} v_ {y} = 0} v˙y+1y(vx2-vy2)=0{\ displaystyle {\ dot {v}} _ {y} + {\ frac {1} {y}} (v_ {x} ^ {2} -v_ {y} ^ {2}) = 0}

johon voimme lisätä yhtälön, jota käytettiin oletuksena geodeettisen yhtälön muodostamiseksi, joka antaa tässä: g(vx,vy)=1{\ displaystyle g (v_ {x}, v_ {y}) = 1}

vx2+vy2y2=1{\ displaystyle {\ frac {v_ {x} ^ {2} + v_ {y} ^ {2}} {y ^ {2}}} = 1}

Jos me korvata mennessä ensimmäisessä yhtälössä, saamme joiden ratkaisut ovat muotoa tietyn jatkuvasti . Suhde antaa sitten . vy{\ displaystyle v_ {y}}y˙{\ displaystyle {\ piste {y}}}dvxdy-2yvx=0{\ displaystyle {\ frac {dv_ {x}} {dy}} - {\ frac {2} {y}} v_ {x} = 0}vx=ay2=x˙{\ displaystyle v_ {x} = \ alpha y ^ {2} = {\ piste {x}}}a{\ displaystyle \ alfa}vx2+vy2y2=1{\ displaystyle {\ frac {v_ {x} ^ {2} + v_ {y} ^ {2}} {y ^ {2}}} = 1}vy=±y1-a2y2=y˙{\ displaystyle v_ {y} = \ pm y {\ sqrt {1- \ alpha ^ {2} y ^ {2}}} = {\ piste {y}}}

Jos on nolla, saadaan vastaavasti x vakio ja (valitsemalla sopivasti aikojen alkuperä). Geodeettinen on linja, joka on yhdensuuntainen O y: n kanssa , kulkee eksponentiaalisesti. Lähestymme reunaa y = 0 loputtomiin tai siirrymme loputtomiin tekemällä t taipumusta kohti ääretöntä. a{\ displaystyle \ alfa}y=e±t{\ displaystyle y = e ^ {\ pm t}}

Jos ei ole nolla, yhtälön integrointi johtaa (valitsemalla sopivasti aikojen alkuperä). Sitten integrointi yhtälön johtaa (jopa käännös rinnakkain O x ). Voidaan nähdä, että sekä geodesics ovat puoliympyröistä halkaisija suorittaa O x . Kun t pyrkii kohti ääretöntä, lähestymme loputtomasti reunaa O y, joka muodostaa rajan Poincarén puolitasolle, joka sijaitsee äärettömässä. a{\ displaystyle \ alfa}y˙=±y1-a2y2{\ displaystyle {\ dot {y}} = \ pm y {\ sqrt {1- \ alpha ^ {2} y ^ {2}}}}y=1acosh⁡(t){\ displaystyle y = {\ frac {1} {\ alpha \ cosh (t)}}}x˙=ay2{\ displaystyle {\ dot {x}} = \ alpha y ^ {2}}x=tanh⁡(t)a{\ displaystyle x = {\ frac {\ tanh (t)} {\ alpha}}}x2+y2=1a2{\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = {\ frac {1} {\ alpha ^ {2}}}}

Katso myös

• Riemannin lajike
• Kaarevuus
• Geodeettinen

Huomautuksia ja viitteitä

1. Käytämme Einsteinin summausmenetelmää , jolloin summausmerkit voidaan keventää.

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">