Toiminnallinen yhtälö

Tämä artikkeli on luonnos varten analyysiä .

Voit jakaa tietosi parantamalla sitä ( miten? ) Vastaavien projektien suositusten mukaisesti .

Kuulla listan suoritettavien tehtävien on keskustelusivulla .

On matematiikka , joka on toiminnallinen yhtälö on yhtälö , jonka tuntemattomat ovat funktioita. Monet toimintojen ominaisuudet voidaan määrittää tutkimalla yhtälöitä, jotka ne täyttävät. Yleensä termi "toiminnallinen yhtälö" on varattu yhtälöille, joita ei voida pelkistää yksinkertaisemmiksi yhtälöiksi, esimerkiksi differentiaaliyhtäleiksi .

Sanasto

Yleisin tapaus on se, että jossa funktion ja mahdollisesti sen johdannaisten useissa pisteissä laskettujen arvojen on täytettävä funktionaaliseksi suhteeksi kutsuttu suhde kaikille muuttujan arvoille (ainakin tietyllä verkkotunnus). Kaksi erillistä lähestymistapaa on mahdollista:

Kun tutkitaan tietyn toiminnon, se voi olla hyödyllistä korostaa toiminnallinen suhde se täyttää suhteena täytetään gammafunktion Euler , tai että täytetään Riemannin Zeta funktio : . Sitten päätellään funktion muut ominaisuudet: esimerkiksi se, että Riemannin zeta-funktio häviää jopa tiukasti negatiivisilla kokonaisluvuilla, eikä sillä ole muita nollia kaistan 0 < Re (s) <1 ulkopuolella. $x \ Gamma (x) = \ Gamma (x + 1) \,$ $\ zeta (s) = 2 ^ {s} \ pi ^ {{s-1}} \ sin \ vasen ({\ frac {\ pi s} {2}} \ oikea) \ Gamma (1-s) \ zeta (1-s)$

Kun ratkaisemme funktionaalisen yhtälön tarkkaan ottaen, tutkimme joukko toimintoja, jotka täyttävät tietyn suhteen. Esimerkki on etsintä funktioista, jotka tyydyttävät (missä a , b , c ja d ovat luonnollisia lukuja, jotka tyydyttävät ad - bc = 1), joita kutsumme moduulimuotoiksi . Joskus vaaditaan tiettyjä analyyttisiä olosuhteita. Bohrin-Mollerup lause on esimerkki. Näiden ehtojen puuttuessa hyvin yksinkertaisella funktionaalisella yhtälöllä, kuten Cauchyn funktionaalinen yhtälö, voi olla hyvin epäsäännöllisiä ratkaisuja. $f \ vasen ({az + b \ yli cz + d} \ oikea) = (cz + d) ^ {k} f (z)$

Kun yhtälö yhdistää funktion ja sen johdannaisten arvot samassa pisteessä, sitä kutsutaan differentiaaliyhtälöksi . Muut yhtälöt käyttävät tuntemattomien toimintojen globaaleja ominaisuuksia; puhutaan esimerkiksi integraaleista yhtälöistä tai optimointiongelmista (jotka ovat muunnelmien laskentakohde ), kuten Plateau-ongelma .

Esimerkkejä

f ( x + y ) = f ( x ) f ( y ), jotka eksponentiaalifunktiot tyydyttävät ;
f ( xy ) = f ( x ) + f ( y ), jotka tyydyttävät logaritmifunktiot ;
f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y ) ( Cauchyn funktionaalinen yhtälö );
f ( x + T ) = f ( x ), määritellen jakson T jaksolliset toiminnot ;
F ( az ) = aF ( z ) (1 - F ( z )) ( Poincarén yhtälö )
f (( x + y ) / 2) = ( f ( x ) + f ( y )) / 2 ( Jensen );
g ( x + y ) + g ( x - y ) = 2 g ( x ) g ( y ) ( d'Alembert );
f ( h ( x )) = f ( x ) + 1 ( Abel );
f ( h ( x )) = cf ( x ) ( Schröder ). Schröder yhtälö täytetään Koenigs-toiminto (fi) .
f ( f ( x )) = g ( x ), toisin sanoen funktionaalisen neliöjuuren määrittäminen .
Funktionaalisen yhtälön yksinkertainen muoto on toistosuhde, jonka tuntematon funktio on sekvenssi (muodollisesti: kokonaislukujoukossa määritelty funktio) ja johon liittyy siirtooperaattori .
Assosiatiivinen ja kommutatiivinen ovat funktionaaliyhtälö. Kun sisäisen koostumuksen lakia edustetaan tavallisessa muodossaan kahden muuttujan välisellä symbolilla, sen assosiatiivisuus kirjoitetaan seuraavasti:( a ∗ b ) ∗ c = a ∗ ( b ∗ c ).Mutta jos me kirjoittaa f ( , b ) sen sijaan * b , niin assosiatiivisuus lain näyttää enemmän kuin mitä tavanomaisesti ymmärretään ”funktionaaliyhtälö”: f ( f ( a , b ), c ) = f ( a , f ( b , c )).

Kaikille näille esimerkeille yhteinen asia on, että kussakin tapauksessa kaksi tai useampi funktio (joskus kertolasku vakiolla, toisinaan kahden muuttujan lisääminen, toisinaan identiteettifunktio) korvataan tuntemattomalla.

Huomautuksia ja viitteitä

(fr) Tämä artikkeli on osittain tai kokonaan otettu Wikipedian englanninkielisestä artikkelista " Funktionaalinen yhtälö " ( katso luettelo tekijöistä ) .

Jatkuvat ratkaisut ovat 0, 1, cos (ω x ) ja cosh (ω x ).

Bibliografia

(en) János Aczél (en) , Luennot toiminnallisista yhtälöistä ja niiden sovelluksista , Academic Press ,1966( lue verkossa )
Jean Dhombres , "Arkkitehtuurin käsitys matematiikan: erottaminen muuttujat on Pfaff " , Patricia Radelet-de Grave ja Edoardo Benvenuto, Entre Mécanique et Arkkitehtuuri , Birkhäuser ,1995( ISBN 978-3-76435128-1 , luettu verkossa ) , s. 205-220