Kvartsiyhtälö
On matematiikka , joka on neljännen asteen yhtälö on polynomi yhtälö aste 4.
Kvartsiyhtälöt ratkaistiin heti, kun kolmannen asteen yhtälöiden ratkaisumenetelmät olivat tiedossa . Ferrari- menetelmä ja Descartes-menetelmä kehitettiin peräkkäin .
Menetelmä on Lagrange , kuvattu alla, on peräisin ominaisuuksien symmetrinen polynomien rakennettu n juuret polynomin aste n .
Katkelmia historiasta
Kvartisen yhtälön ratkaisumenetelmän on perustanut Ludovico Ferrari (1522-1565) kahden vuosisadan ajan . Hänen menetelmänsä avulla voidaan pienentää kolmannen asteen yhtälöksi, jota kutsutaan kuutiolliseksi (in) - tai vähennetyksi - neljännen asteen yhtälöön; se julkaistiin ensimmäisen kerran vuonna 1545 , jonka Jérôme Kardaani teoksessaan Ars Magna (Cardan nimenomaan sanotaan, että tämä menetelmä oli ilmoittanut hänelle Ferrari, hänen pyynnöstään). Tässä kehitetyssä menetelmässä käytetään polynomien juuria sisältävien lausekkeiden ominaisuuksia. Tämä analyysi vastaa Joseph-Louis Lagrangen työtä, joka pyrkii ymmärtämään yleiset periaatteet, jotka säätelevät toisen, kolmannen ja neljännen asteen yhtälöiden ratkaisuja. Ajatus polynomien juurien pitämisestä muodollisina määrinä, jotka puuttuvat polynomeihin, symmetrisiä tai ei, on hedelmällinen aloite, jota sovellettaessa vähintään 5-asteen polynomeihin johtaa Évariste Galois'n lause, joka osoittaa, että , yleensä polynomin yhtälö, jonka aste on 5 tai enemmän, ei ole radikaali-ratkaisuinen .
Tutkinnon 3 lukukauden eliminointi
Mukaan tekniikka yhteinen polynomiyhtälöä (tahansa määrin), yhtälö
klox4+bx3+vs.x2+dx+e=0(1){\ displaystyle ax ^ {4} + bx ^ {3} + cx ^ {2} + dx + e = 0 \ quad (1)}vähentää jakamisen a: lla ja muuttujan muuttamisen muodon yhtälöksix=y-b4klo{\ displaystyle x = y - {\ frac {b} {4a}}}
y4+sy2+qy+r=0(2){\ displaystyle y ^ {4} + py ^ {2} + qy + r = 0 \ quad (2)}kanssa
s=vs.klo-3b28klo2,q=dklo-bvs.2klo2+b38klo3jar=eklo-bd4klo2+vs.b216klo3-3b4256klo4{\ displaystyle p = {\ frac {c} {a}} - {\ frac {3b ^ {2}} {8a ^ {2}}} \ quad {\ text {,}} \ quad q = {\ frac {d} {a}} - {\ frac {bc} {2a ^ {2}}} + {\ frac {b ^ {3}} {8a ^ {3}}} \ quad {\ text {ja}} \ quad r = {\ frac {e} {a}} - {\ frac {bd} {4a ^ {2}}} + {\ frac {cb ^ {2}} {16a ^ {3}}} - { \ frac {3b ^ {4}} {256a ^ {4}}}}.
Yhtälö (2) voidaan sitten ratkaista Ferrarin , Descartesin tai "Lagrangen" alapuolella olevalla menetelmällä . Kaikki kolme tarjoavat eri ilmeisin saman kaavan neljälle ratkaisulle.
Lagrange-menetelmä
Menetelmän periaate
Kyse on löytää lausekkeen johon 4 juuret ja
y1,y2,y3,y4{\ displaystyle y_ {1}, y_ {2}, y_ {3}, y_ {4}}
y4+sy2+qy+r=0{\ displaystyle y ^ {4} + py ^ {2} + qy + r = 0}ja sallitaan vain 3 erillisen arvon saaminen permutaatioilla.
Näin on esimerkiksi tilanteissa, joissa permutaatioilla sallitaan vain arvojen antaminen
-(y1+y2)(y3+y4){\ displaystyle - (y_ {1} + y_ {2}) (y_ {3} + y_ {4})}
z1=-(y1+y2)(y3+y4){\ displaystyle z_ {1} = - (y_ {1} + y_ {2}) (y_ {3} + y_ {4})},
z2=-(y1+y3)(y2+y4){\ displaystyle z_ {2} = - (y_ {1} + y_ {3}) (y_ {2} + y_ {4})},
z3=-(y1+y4)(y2+y3){\ displaystyle z_ {3} = - (y_ {1} + y_ {4}) (y_ {2} + y_ {3})}.
Mikä tahansa symmetrinen polynomi: sta voidaan ilmaista symmetrisenä polynomina .
z1,z2,z3{\ displaystyle z_ {1}, z_ {2}, z_ {3}}y1,y2,y3,y4{\ displaystyle y_ {1}, y_ {2}, y_ {3}, y_ {4}}
Erityisesti polynomin kertoimet voidaan ilmaista käyttämällä p , q ja r . On varmaa, että omaisuus
R(z)=(z-z1)(z-z2)(z-z3){\ displaystyle R (z) = (z-z_ {1}) (z-z_ {2}) (z-z_ {3})}
y1+y2+y3+y4=0{\ displaystyle y_ {1} + y_ {2} + y_ {3} + y_ {4} = 0}helpottaa laskelmia.
Osoitamme, että silloin:
-
z1+z2+z3=-2s{\ displaystyle z_ {1} + z_ {2} + z_ {3} = - 2p} ;
-
Σi<jzizj=s2-4r{\ displaystyle \ Sigma _ {i <j} z_ {i} z_ {j} = p ^ {2} -4r} ;
-
z1z2z3=q2{\ displaystyle z_ {1} z_ {2} z_ {3} = q ^ {2}}.
Kolme reaalilukua ovat sitten yhtälön ratkaisuja
z1,z2,z3{\ displaystyle z_ {1}, z_ {2}, z_ {3}}
z3+2sz2+(s2-4r)z-q2=0(3){\ displaystyle z ^ {3} + 2pz ^ {2} + (p ^ {2} -4r) zq ^ {2} = 0 \ quad (3)}.
Se on vielä löydettävissä sen tietämisen perusteella .
y1,y2,y3,y4{\ displaystyle y_ {1}, y_ {2}, y_ {3}, y_ {4}}z1,z2,z3{\ displaystyle z_ {1}, z_ {2}, z_ {3}}y1+y2+y3+y4=0{\ displaystyle y_ {1} + y_ {2} + y_ {3} + y_ {4} = 0}
Sitten huomaamme sen
z1=(y1+y2)2=(y3+y4)2{\ displaystyle z_ {1} = (y_ {1} + y_ {2}) ^ {2} = (y_ {3} + y_ {4}) ^ {2}}
z2=(y1+y3)2=(y2+y4)2{\ displaystyle z_ {2} = (y_ {1} + y_ {3}) ^ {2} = (y_ {2} + y_ {4}) ^ {2}}
z3=(y1+y4)2=(y2+y3)2{\ displaystyle z_ {3} = (y_ {1} + y_ {4}) ^ {2} = (y_ {2} + y_ {3}) ^ {2}}
jotta
y1+y2=z1{\ displaystyle y_ {1} + y_ {2} = {\ sqrt {z_ {1}}}}ja ,
y3+y4=-z1{\ displaystyle y_ {3} + y_ {4} = - {\ sqrt {z_ {1}}}}
y1+y3=z2{\ displaystyle y_ {1} + y_ {3} = {\ sqrt {z_ {2}}}}ja ,
y2+y4=-z2{\ displaystyle y_ {2} + y_ {4} = - {\ sqrt {z_ {2}}}}
y1+y4=z3{\ displaystyle y_ {1} + y_ {4} = {\ sqrt {z_ {3}}}} ja
y2+y3=-z3{\ displaystyle y_ {2} + y_ {3} = - {\ sqrt {z_ {3}}}}
(merkinnät tulisi ymmärtää tässä yhtenä neliön juurista ).
zi{\ displaystyle {\ sqrt {z_ {i}}}}zi{\ displaystyle z_ {i}}
Sitten arvot löydetään yksinkertaisella lisäyksellä.
yi{\ displaystyle y_ {i}}
Tase
Ratkaisut
y4+sy2+qy+r=0{\ displaystyle y ^ {4} + py ^ {2} + qy + r = 0}ovat
y1=12(z1+z2+z3){\ displaystyle y_ {1} = {\ tfrac {1} {2}} ({\ sqrt {z_ {1}}} + {\ sqrt {z_ {2}}} + {\ sqrt {z_ {3}} })}
y2=12(z1-z2-z3){\ displaystyle y_ {2} = {\ tfrac {1} {2}} ({\ sqrt {z_ {1}}} - {\ sqrt {z_ {2}}} - {\ sqrt {z_ {3}} })}
y3=12(-z1+z2-z3){\ displaystyle y_ {3} = {\ tfrac {1} {2}} (- {\ sqrt {z_ {1}}} + {\ sqrt {z_ {2}}} - {\ sqrt {z_ {3} }})}
y4=12(-z1-z2+z3){\ displaystyle y_ {4} = {\ tfrac {1} {2}} (- {\ sqrt {z_ {1}}} - {\ sqrt {z_ {2}}} + {\ sqrt {z_ {3} }})}
missä , ja ovat kolme polynomin juuret R , aste 3 , jota kutsutaan ratkaista kuutio, tai vähennetään:
z1{\ displaystyle z_ {1}}z2{\ displaystyle z_ {2}}z3{\ displaystyle z_ {3}}
R(z)=z3+2sz2+(s2-4r)z-q2{\ displaystyle R (z) = z ^ {3} + 2pz ^ {2} + (p ^ {2} -4r) zq ^ {2}}.
Vuoteen , meidän täytyy ymmärtää, yksi luvuista , joiden neliö kannattaa . Huomaamme, että samanaikaisesti muuttuu koko niiden vastakohdat muuttaa koko osaksi . Sen vuoksi on tarpeen valita "hyvä" neliöjuurien, niin että tuote on syytä q .
zi{\ displaystyle {\ sqrt {z_ {i}}}}zi{\ displaystyle z_ {i}}zi{\ displaystyle {\ sqrt {z_ {i}}}}{y1,y2,y3,y4}{\ displaystyle \ {y_ {1}, \, y_ {2}, \, y_ {3}, \, y_ {4} \}}{-y1,-y2,-y3,-y4}{\ displaystyle \ {- y_ {1}, - y_ {2}, - y_ {3}, - y_ {4} \, \}}z1z2z3{\ displaystyle {\ sqrt {z_ {1}}} {\ sqrt {z_ {2}}} {\ sqrt {z_ {3}}}}
Tapausluettelo
Jos kertoimet p , q ja r ovat todellisia, huomaamme, että polynomin R juurien tulo on , olemme siis rajoitettuja polynomin R juurien muotoon ja kvartsiyhtälön ratkaisuihin.
q2{\ displaystyle q ^ {2}}
- Jos R: n kolme juurta ovat todellisia positiivisia, saamme neljä todellista arvoa.
- Jos R: n kaikki kolme juurta ovat todellisia ja kaksi negatiivisia, saamme kaksi paria konjugaattikomplekseja.
- jos R: llä on todellinen juuri ja kaksi konjugaattikompleksijuuria, todellinen juuri on positiivinen ja saamme kaksi todellista arvoa ja kaksi konjugaattikompleksia.
Erityiset yhtälöt
Neljännen asteen yhtälöistä jotkut, erityisesti, voidaan ratkaista vain toisen asteen yhtälöiden avulla ; tämä pätee kaksisäikeisiin yhtälöihin ja symmetrisiin yhtälöihin tai yleisemmin yhtälöihin , kuten .
klox4+bx3+vs.x2+dx+e=0{\ displaystyle ax ^ {4} + bx ^ {3} + cx ^ {2} + dx + e = 0}klod2=eb2{\ displaystyle-mainos ^ {2} = eb ^ {2}}
Nelinkertaiset yhtälöt
Ne on kirjoitettu muodossa
klox4+bx2+vs.=0{\ displaystyle ax ^ {4} + bx ^ {2} + c = 0}ja ratkaistaan muuttamalla muuttujaa
y=x2{\ displaystyle y = x ^ {2}}ja päätöslauselma
kloy2+by+vs.=0{\ displaystyle ay ^ {2} + by + c = 0}.
Nelinkertaiset yhtälöt, samoin kuin jotkut muut asteen 4 yhtälöt, voidaan ratkaista myös pyöreällä tai hyperbolisella trigonometrialla .
Symmetriset yhtälöt
Ne on kirjoitettu muodossa
klox4+bx3+vs.x2+bx+klo=0{\ displaystyle ax ^ {4} + bx ^ {3} + cx ^ {2} + bx + a = 0}ja ratkaistaan muuttamalla muuttujaa
z=x+1x{\ displaystyle z = x + {\ frac {1} {x}}}ja päätöslauselma
kloz2+bz+vs.-2klo=0{\ displaystyle az ^ {2} + bz + c-2a = 0}.
Tämä prosessi on yleistetty muodon yhtälöihin
klox4+bx3+vs.x2+kbx+k2klo=0{\ displaystyle ax ^ {4} + bx ^ {3} + cx ^ {2} + kbx + k ^ {2} a = 0}( k ≠ 0: lla ), jotka ratkaistaan asettamalla
z=x+kx{\ displaystyle z = x + {\ frac {k} {x}}}.
Huomautuksia ja viitteitä
-
van der Waerden 1985 .
-
Joseph Louis de Lagrange , pohdintoja yhtälöiden algebrallisesta resoluutiosta ,1770( lue verkossa ) , s. 263-268.
-
Olivier Gebuhrer " Kutsu pohdintoja algebrallinen päätöslauselman yhtälöitä ", L'Ouvert , IREM de Strasbourg, n o 45,1986, s. 31-39 ( lue verkossa ).
-
Katso esimerkiksi Wikikorkeakoulun oppitunnin luku 4 (Erityiset ratkaisumenetelmät) ja harjoitukset 4-6 asteen 4 yhtälöistä seuraamalla tämän sivun alaosassa olevaa linkkiä .
-
Lagrange 1770: n menetelmistä uskollisempi selostus , ks. Serret 1879 , s. 475-480, tai luvun lopussa ”Lagrangen menetelmä” on Wikiopisto .
-
Lisätietoja tästä osiosta on Wikikorkeakoulun 4. asteen yhtälöitä käsittelevän oppitunnin luvussa 4 (Erityiset ratkaisumenetelmät) .
Katso myös
Aiheeseen liittyvät artikkelit
Bibliografia
: tämän artikkelin lähteenä käytetty asiakirja.
-
Pieni matematiikan tietosanakirja , Didier
-
Jacqueline Lelong-Ferrand ja Jean-Marie Arnaudiès , matematiikkakurssi - Algebra , Dunod
-
Joseph-Alfred Serret , Korkeamman algebran kurssi , t. 2,1879, 4 th ed. ( 1 st toim. 1849) ( lue linja ) , s. 471-482
-
(en) BL van der Waerden , Algebran historia , Springer ,1985( ISBN 3-642-51601-7 )