Bloch-yhtälöt

Fysiikan ja kemian, erityisesti ydinmagneettisen resonanssin (NMR) , on magneettikuvaus (MRI) ja elektronin paramagneettinen resonanssi (EPR) , Bloch yhtälöt ovat joukko makroskooppinen yhtälöitä käytetään laske l ' ydinmagnetoinnin M = ( M x , M y , M z ) ajan funktiona, kun relaksaatioajat T 1 ja T 2 ovat läsnä. Blochin yhtälöitä kutsutaan joskus ydinmagneettisiksi liikeyhtälöiksi . Nämä yhtälöt otti käyttöön Félix Bloch vuonna 1946, ja ne ovat analogisia Maxwell-Bloch-yhtälöiden kanssa, jotka kuvaavat sähkömagneettisen kentän vaikutusta kaksitasoiseen järjestelmään ja siellä havaittavia rentoutuksia.

Nämä yhtälöt eivät ole mikroskooppisia : ne eivät kuvaa yksittäisten magneettisten momenttien liikeyhtälöä . Näitä hallitsevat ja kuvaavat kvanttimekaniikan lait . Blochin yhtälöt ovat makroskooppisia : ne kuvaavat makroskooppisen ydinmagnetisaation liikeyhtälöitä, jotka voidaan saada lisäämällä kaikki näytteen ydinmagneettiset momentit.

Bloch-yhtälöt kiinteässä viitekehyksessä

Olkoon M (t) = (M x (t), M y (t), M z (t)) , ydinmagneettisuus. Bloch-yhtälöt kirjoitetaan sitten:

{\ displaystyle {\ frac {dM_ {x} (t)} {dt}} = \ gamma (\ mathbf {M} (t) \ kertaa \ mathbf {B} (t)) _ {x} - {\ frac {M_ {x} (t)} {T_ {2}}}}

{\ displaystyle {\ frac {dM_ {y} (t)} {dt}} = \ gamma (\ mathbf {M} (t) \ kertaa \ mathbf {B} (t)) _ {y} - {\ frac {M_ {y} (t)} {T_ {2}}}}

{\ displaystyle {\ frac {dM_ {z} (t)} {dt}} = \ gamma (\ mathbf {M} (t) \ kertaa \ mathbf {B} (t)) _ {z} - {\ frac {M_ {z} (t) -M_ {0}} {T_ {1}}}}

missä γ on gyromagneettinen suhde ja B (t) = (B x (t), B y (t), B 0 + ΔB z (t)) on atomituumiin kohdistuva magneettikenttä . Magneettikentän B z-komponentti koostuu kahdesta termistä:

ensimmäinen, B 0 , vastaa vakiota kenttää ajan mittaan;
toinen, AB z (t) , voi olla ajasta riippuvainen. Se on läsnä magneettikuvantamisessa ja auttaa NMR-signaalin spatiaalisessa dekoodauksessa.

M (t) x B (t) on risti tuote näiden kahden vektorin. M 0 on ydinmagnetoitumisen tasapainotila, se on suunnattu z-suuntaan.

Fyysinen sisältö

Kun T 1 ja T 2 pyrkivät kohti ääretöntä, toisin sanoen, kun ei ole rentoutumista, yhtälöt vähentää:

{\ displaystyle {\ frac {dM_ {x} (t)} {dt}} = \ gamma (\ mathbf {M} (t) \ kertaa \ mathbf {B} (t)) _ {x}}

{\ displaystyle {\ frac {dM_ {y} (t)} {dt}} = \ gamma (\ mathbf {M} (t) \ kertaa \ mathbf {B} (t)) _ {y}}

{\ displaystyle {\ frac {dM_ {z} (t)} {dt}} = \ gamma (\ mathbf {M} (t) \ kertaa \ mathbf {B} (t)) _ {z}}

tai vektorimerkinnässä:

{\ displaystyle {\ frac {d \ mathbf {M} (t)} {dt}} = \ gamma \ mathbf {M} (t) \ kertaa \ mathbf {B} (t)}

Tämä on yhtälön Larmor prekessiota on ydinmagnetoinnin M ulkoisen magneettikentän B .

Bloch-yhtälöt ovat sitten Larmorin yhtälöitä, joihin olemme lisänneet seuraavat rentoutumistermit:

{\ displaystyle \ left (- {\ frac {M_ {x}} {T_ {2}}}, - {\ frac {M_ {y}} {T_ {2}}}, - {\ frac {M_ {z } -M_ {0}} {T_ {1}}} \ oikea)}

Poikittainen rentoutuminen kuvataan ominaisuus ajan T 2 ja vastaavasti pitkittäinen relaksaatioaika mennessä T 1 .

Nämä termit kääntää vuorovaikutus ulkoisen ympäristön, pitkittäinen relaksaatioaika ( T 1 ) tai spin-hilan relaksaatioaika on seurausta välistä pyörii ja ympäristön siirtämään ylimääräinen energia, jonka magneettikentän ja siten palata termodynaamisen tasapainon. Poikittainen rentoutuminen ( T 2 ) tai jopa spin-spin rentoutuminen vastaa asteittaista siirtymistä kaikkien pyörii materiaalin peräisin paikallisen epähomogeenisuuksia magneettikentän. Nämä epähomogeenisuudet merkitsevät pieniä eroja Larmorin taajuudessa. Itse asiassa, ilman rentoutumista, momentit ovat koherentissa precessiossa magneettikentän ympärillä ja sitten tapahtuu poikittainen magnetointi. Koska magnetointi on kaikkien magneettisten momenttien summa, niiden progressiivinen dekoherenssi johtaa poikittaisen komponentin keskimääräiseen arvoon, joka pyrkii poistumaan.

Vaihtoehtoiset muodot Blochin yhtälöistä

Ristituotteen laajeneminen Blochin yhtälöissä johtaa:

{\ displaystyle {\ frac {dM_ {x} (t)} {dt}} = \ gamma \ vasen (M_ {y} (t) B_ {z} (t) -M_ {z} (t) B_ {y } (t) \ oikea) - {\ frac {M_ {x} (t)} {T_ {2}}}}

{\ displaystyle {\ frac {dM_ {y} (t)} {dt}} = \ gamma \ vasen (M_ {z} (t) B_ {x} (t) -M_ {x} (t) B_ {z } (t) \ oikea) - {\ frac {M_ {y} (t)} {T_ {2}}}}

{\ displaystyle {\ frac {dM_ {z} (t)} {dt}} = \ gamma \ vasen (M_ {x} (t) B_ {y} (t) -M_ {y} (t) B_ {x } (t) \ oikea) - {\ frac {M_ {z} (t) -M_ {0}} {T_ {1}}}}

Näemme myöhemmin, että tätä kaavaa yksinkertaistetaan asettamalla:

{\ displaystyle M_ {xy} = M_ {x} + iM_ {y}}

{\ displaystyle B_ {xy} = B_ {x} + iB_ {y}}

missä minä olen kuvitteellinen yksikkö.

Saamme:

{\ displaystyle {\ frac {dM_ {xy} (t)} {dt}} = - i \ gamma \ vasen (M_ {xy} (t) B_ {z} (t) -M_ {z} (t) B_ {xy} (t) \ oikea) - {\ frac {M_ {xy} (t)} {T_ {2}}}}

{\ displaystyle {\ frac {dM_ {z} (t)} {dt}} = i {\ frac {\ gamma} {2}} \ vasen (M_ {xy} (t) {\ yliviiva {B_ {xy} (t)}} - {\ yliviiva {M_ {xy} (t)}} B_ {xy} (t) \ oikea) - {\ frac {M_ {z} (t) -M_ {0}} {T_ { 1}}}}

Kuten :

{\ displaystyle {\ overline {M_ {xy}}} = M_ {x} -iM_ {y}}

{\ displaystyle {\ overline {B_ {xy}}} = B_ {x} -iB_ {y}}

Nämä määrät ovat M xy: n ja B xy: n konjugaattikompleksilukuja . M xy: n todellinen ja kuvitteellinen osa vastaavat M x: tä ja M y : tä. M xy: tä kutsutaan joskus poikittaiseksi ydinmagnetisaatioksi .

Blochin yhtälöiden matriisimuoto

Blochin yhtälöt voidaan muokata käyttämällä vastaavaa määritelmää ristituotteesta, joka kirjoitetaan matriisimerkintöihin:

{\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} \ vasen ({\ begin {array} {c} M_ {x} \\ M_ {y} \\ M_ {z} \ end {array}} \ right) = \ vasemmalle ({\ begin {array} {ccc} - {\ frac {1} {T_ {2}}} & \ gamma B_ {z} & - \ gamma B_ {y} \\ - \ gamma B_ {z } & - {\ frac {1} {T_ {2}}} & \ gamma B_ {x} \\\ gamma B_ {y} & - \ gamma B_ {x} & - {\ frac {1} {T_ { 1}}} \ end {array}} \ right) \ left ({\ begin {array} {c} M_ {x} \\ M_ {y} \\ M_ {z} \ end {array}} \ right) + \ vasen ({\ begin {array} {c} 0 \\ 0 \\ {\ frac {M_ {0}} {T_ {1}}} \ end {array}} \ right)}

Bloch-yhtälöt pyörivässä viitekehyksessä

Pyörivässä kehyksessä on helpompi ymmärtää ydinmagnetisaation M käyttäytyminen .

Blochin yhtälöiden T 1 , T 2 → ∞ ratkaisu

Olettaa, että :

kun t = 0, poikittainen ydinmagnetisaatio M xy (0) käy läpi vakion magneettikentän B ( t ) = (0, 0, B 0 );
B 0 on positiivinen;
ei ole pitkittäis- tai poikittais- rentoutuminen koska T 1 ja T 2 pyrkivät kohti ääretöntä.

Bloch-yhtälöistä tulee sitten:

{\ displaystyle {\ frac {dM_ {xy} (t)} {dt}} = - i \ gamma M_ {xy} (t) B_ {0}}

{\ displaystyle {\ frac {dM_ {z} (t)} {dt}} = 0}

Nämä ovat kaksi kytkettyä lineaarista differentiaaliyhtälöä. Heidän ratkaisunsa ovat:

{\ displaystyle M_ {xy} (t) = M_ {xy} (0) e ^ {- i \ gamma B_ {0} t}}

{\ displaystyle M_ {z} (t) = M_ {0} = {\ text {const}} \,}

Näin poikittaismagnetoinnin, M xy kiertyy z -akselin kanssa, kulmataajuus co 0 = γ B 0 myötäpäivään (tämä on syy negatiivinen merkki eksponentti). Pituussuuntainen magnetointi M z pysyy vakiona ajan mittaan. Tästä syystä poikittainen magnetoituminen näkyy havaitsijalle maanpäällisessä viitekehyksessä ( paikallaan olevan tarkkailijan näkemänä ).

M xy ( t ) voidaan hajottaa havaittaviin suuruuksiin M x ( t ) ja M y (t) :

{\ displaystyle M_ {xy} (t) = M_ {xy} (0) e ^ {- i \ gamma B_ {z0} t} = M_ {xy} (0) \ vasen [\ cos (\ omega _ {0 } t) -i \ sin (\ omega _ {0} t) \ oikea]}

Meillä on :

{\ displaystyle M_ {x} (t) = {\ text {Re}} \ left (M_ {xy} (t) \ right) = M_ {xy} (0) \ cos (\ omega _ {0} t) }

{\ displaystyle M_ {y} (t) = {\ text {Im}} \ left (M_ {xy} (t) \ right) = - M_ {xy} (0) \ sin (\ omega _ {0} t )}

missä Re ( z ) ja Im ( z ) ovat funktioita, jotka antavat vastaavasti kompleksiluvun z todellisen ja kuvitteellisen osan. Tässä laskelmassa oletetaan, että M xy (0) on reaaliluku.

Muunnos pyöriväksi viitekehykseksi

Tämä on tekemistä edellisen osa: in vakio magneettikenttä B 0 pitkin z- akselia , poikittaismagnetoinnin M xy pyörii tämän akselin ympäri myötäpäivään kulmataajuus co 0 . Jos tarkkailija pyörii saman akselin ympäri samaan suuntaan ja kulmataajuudella Ω, M xy näyttäisi pyörivän kulmataajuudella ω 0 - Ω. Tarkemmin sanottuna, jos tarkkailija pyörii saman akselin ympäri myötäpäivään kulmataajuudella ω 0 , poikittainen magneettisuus M xy näytti hänelle olevan paikallaan.

Tämä voidaan ilmaista matemaattisesti seuraavasti:

(x, y, z) on maanpäällinen suorakulmainen koordinaattijärjestelmä, joka on asetettu viitekehykseksi;
(x ', y', z ') = (x', y ', z) on suorakulmainen koordinaattijärjestelmä, joka kiertää maanpinnan viitekehyksen z-akselin ympäri kulmataajuudella Ω. Sitä kutsutaan pyöriväksi viitekehykseksi . Tämän arkiston fyysisiä muuttujia merkitään heittomerkillä.

Selvästi:

{\ displaystyle M_ {z} '(t) = M_ {z} (t) \,}

Ja M xy '( t ) muutosta on kirjoitettu:

{\ displaystyle M_ {xy} '(t) = M_ {xy} (t) e ^ {+ i \ Omega t} \,}

Magnetisaation liikkeen yhtälö pyörivässä vertailukehyksessä

M xy ′ ( t ) -liikkeen yhtälö kentässä B (t) = (B x (t), B y (t), B 0 + ΔB z (t)) on:

{\ displaystyle {\ begin {tasattu} {\ frac {dM '_ {xy} (t)} {dt}} & = i (\ Omega - \ omega _ {0}) M_ {xy}' (t) - i \ gamma \ Delta B_ {z} (t) M_ {xy} '(t) + i \ gamma B_ {xy}' (t) M_ {z} (t) - {\ frac {M_ {xy} '( t)} {T_ {2}}} \\\ loppu {tasattu}}}

{\ displaystyle {\ frac {dM_ {z} (t)} {dt}} = i {\ frac {\ gamma} {2}} \ vasen (M '_ {xy} (t) {\ yliviiva {B' _ {xy} (t)}} - {\ yliviiva {M '_ {xy} (t)}} B' _ {xy} (t) \ oikea) - {\ frac {M_ {z} (t) - M_ {0}} {T_ {1}}}}

Esittely

Saamme evoluutioyhtälön johtamalla yksinkertaisesti määrän M ' xy ajan suhteen :

{\ displaystyle {\ frac {dM_ {xy} '(t)} {dt}} = {\ frac {d \ vasen (M_ {xy} (t) e ^ {+ i \ Omega t} \ oikea)} { dt}} = {\ frac {dM_ {xy} (t)} {dt}} e ^ {+ i \ Omega t} + i \ Omega M_ {xy} (t) e ^ {+ i \ Omega t} = {\ frac {dM_ {xy} (t)} {dt}} e ^ {+ i \ Omega t} + i \ Omega M_ {xy} '(t)}

Injisoimalla Bloch-yhtälö:

{\ displaystyle {\ begin {aligned} {\ frac {dM_ {xy} '(t)} {dt}} & = \ left [-i \ gamma \ left (M_ {xy} (t) B_ {z} ( t) -M_ {z} (t) B_ {xy} (t) \ oikea) - {\ frac {M_ {xy} (t)} {T_ {2}}} \ oikea] e ^ {+ i \ Omega t} + i \ Omega M_ {xy} '(t) \\ & = \ left [-i \ gamma \ left (M_ {xy} (t) e ^ {+ i \ Omega t} B_ {z} (t ) -M_ {z} (t) B_ {xy} (t) e ^ {+ i \ Omega t} \ oikea) - {\ frac {M_ {xy} (t) e ^ {+ i \ Omega t}} {T_ {2}}} \ oikea] + i \ Omega M_ {xy} '(t) \\ & = - i \ gamma \ vasen (M_ {xy}' (t) B_ {z} '(t) - M_ {z} '(t) B_ {xy}' (t) \ oikea) + i \ Omega M_ {xy} '(t) - {\ frac {M_ {xy}' (t)} {T_ {2} }} \\\ loppu {tasattu}}}

Edellisen osan hypoteesi oli, että: B z '( t ) = B z ( t ) = B 0 + A B z ( t ). Siksi voimme jatkaa kirjoittamalla:

{\ displaystyle {\ begin {aligned} {\ frac {dM_ {xy} '(t)} {dt}} & = - i \ gamma \ left (M_ {xy}' (t) (B_ {0} + \ Delta B_ {z} (t)) - M_ {z} (t) B_ {xy} '(t) \ oikea) + i \ Omega M_ {xy}' (t) - {\ frac {M_ {xy} ' (t)} {T_ {2}}} \\ & = - i \ gamma B_ {0} M_ {xy} '(t) -i \ gamma \ Delta B_ {z} (t) M_ {xy}' ( t) + i \ gamma B_ {xy} '(t) M_ {z} (t) + i \ Omega M_ {xy}' (t) - {\ frac {M_ {xy} '(t)} {T_ { 2}}} \\ & = i (\ Omega - \ omega _ {0}) M_ {xy} '(t) -i \ gamma \ Delta B_ {z} (t) M_ {xy}' (t) + i \ gamma B_ {xy} '(t) M_ {z} (t) - {\ frac {M_ {xy}' (t)} {T_ {2}}} \\\ loppu {tasattu}}}

Sama pätee M z : n yhtälöön .

Tämän yhtälön oikealla puolella olevien termien selitys:

i (Ω - ω 0 ) M xy ′ ( t ) seuraa Larmor-termiä pyörivässä vertailukehyksessä kulmataajuudella Ω. Se perutaan erityisesti, kun Ω = ω 0 ;
termi -i γ Δ B z ( t ) M xy ' ( t ) kuvaa magneettikentän epähomogeenisuuden vaikutusta poikittaiseen ydinmagneettisuuteen. Se on myös termi, joka vastaa NMR: n käyttöä magneettikuvan aikana: sen tuottavat magneettikentän gradienttikäämit;
i y Δ B xy '( t ) M z ( t ) kuvaa vaikutus radiotaajuisen kentän päälle ydinmagnetoinnin (tekijä Δ B xy ' ( t ) erityisemmin);
- M xy '( t ) / T 2 kuvaa johdonmukaisuutta menetys poikittaismagnetoinnin.

Pyörivässä viitekehyksessä ajasta riippumattomat yhtälöt

Jos ulkoisella kentällä on muoto:

{\ displaystyle B_ {x} (t) = B_ {1} \ cos \ omega t}

{\ displaystyle B_ {y} (t) = - B_ {1} \ sin \ omega t}

{\ displaystyle B_ {z} (t) = B_ {0}}

Voimme sitten määritellä:

{\ displaystyle \ epsilon = \ gamma B_ {1}}

ja ,

{\ displaystyle \ Delta = \ omega - \ omega _ {0}}

Yhtälöt kirjoitetaan sitten yksinkertaisesti matriisimerkinnöissä:

{\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} \ vasen ({\ begin {array} {c} M '_ {x} \\ M' _ {y} \\ M '_ {z} \ end { array}} \ right) = \ left ({\ begin {array} {ccc} - {\ frac {1} {T_ {2}}} & \ Delta & 0 \\ - \ Delta & - {\ frac {1 } {T_ {2}}} & \ epsilon \\ 0 & - \ epsilon & - {\ frac {1} {T_ {1}}} \ end {array}} \ right) \ left ({\ begin {array } {c} M '_ {x} \\ M' _ {y} \\ M '_ {z} \ end {array}} \ right) + \ left ({\ begin {array} {c} 0 \ \ 0 \\ {\ frac {M_ {0}} {T_ {1}}} \ end {array}} \ right)}

Esittely

{\ displaystyle {\ begin {aligned} B_ {xy} '(t) & = B_ {1} (\ cos \ omega ti \ sin \ omega t) e ^ {i \ Omega t} = B_ {1} e ^ {i (\ Omega - \ omega) t} \\ {\ frac {dM '_ {z}} {dt}} & = i {\ frac {\ gamma} {2}} B_ {1} (M_ {xy } 'e ^ {i (\ omega - \ Omega) t} - {\ yliviiva {M_ {xy}'}} e ^ {- i (\ omega - \ Omega) t}) - {\ frac {M_ {z } -M_ {0}} {T_ {1}}} \\ & = - \ gamma B_ {1} M '_ {y} e ^ {- i (\ omega - \ Omega) t} - {\ frac { M_ {z} -M_ {0}} {T_ {1}}} \\ {\ frac {dM '_ {xy}} {dt}} & = i (\ Omega - \ omega _ {0}) M' _ {xy} + i \ gamma B_ {1} e ^ {- i (\ omega - \ Omega) t} M_ {z} - {\ frac {M '_ {xy}} {T_ {2}}} \ \\ loppu {tasattu}}}

Kuten ja voimme erottaa M ' xy : n liikeyhtälön kahteen yhtälöön, toisen todelliselle ja toiselle kuvitteelliselle osalle, jotka tunnistamme tasa-arvon kummallakin puolella. Tämä antaa: ${\ displaystyle M '_ {x} = {\ text {Re}} (M' _ {xy})}$ ${\ displaystyle M '_ {y} = {\ text {Im}} (M' _ {xy})}$

{\ displaystyle {\ begin {tasattu} {\ frac {dM '_ {x}} {dt}} & = (\ Omega - \ omega _ {0}) M' _ {y} + \ gamma B_ {1} \ sin ((\ omega - \ Omega) t) M_ {z} - {\ frac {M '_ {x}} {T_ {2}}} \\ {\ frac {dM' _ {y}} {dt }} & = - (\ Omega - \ omega _ {0}) M '_ {x} + \ gamma B_ {1} \ cos ((\ omega - \ Omega) t) M_ {z} - {\ frac { M '_ {y}} {T_ {2}}} \\\ loppu {tasattu}}}

Ehdolla löydämme ilmoitetun muotoilun sellaiseksi, ettei ole enää mitään nimenomaista riippuvuutta ajasta. ${\ displaystyle \ Omega = \ omega}$

Yksinkertaiset ratkaisut Blochin yhtälöihin

Poikittaisen ydinmagnetisaation rentoutuminen M xy

Olettaen että :

ydinmagneettisuus altistetaan vakiolle ulkoiselle magneettikentälle z-suunnassa: B z '(t) = B z (t) = B 0 . Näin ω 0 = γB 0 ja että AB z (t) = 0 " ;
ei ole radiotaajuuskenttää, joten meillä on B xy ' = 0;
pyörivän viitekehyksen pyöriminen on kulmataajuudella Ω = ω 0 .

Pyörivässä vertailukehyksessä poikittaisen ydinmagneettisen liikkeen yhtälö M xy '(t) pienennetään arvoon:

{\ displaystyle {\ frac {dM_ {xy} '(t)} {dt}} = - {\ frac {M_ {xy}' (t)} {T_ {2}}}}

Se on lineaarinen tavallinen differentiaaliyhtälö ja sen ratkaisu on:

{\ displaystyle M_ {xy} '(t) = M_ {xy}' (0) e ^ {- t / T_ {2}}}

missä M xy ' (0) on poikittainen ydinmagneettisuus pyörivässä kehyksessä hetkellä t = 0 . Se muodostaa differentiaaliyhtälön alkuehdon.

On huomattava, että kun pyöriminen pyörivän viitekehys on täsmälleen Larmor-taajuudella ω 0 , poikittainen ydinmagnetoinnin vektori M xy (t) on paikallaan.

Pituussuuntaisen ydinmagneettisuuden rentoutuminen M z

Olettaen että :

ydinmagneettisuus altistetaan vakiolle ulkoiselle magneettikentälle z-suunnassa: B z '(t) = B z (t) = B 0 . Näin ω 0 = γB 0 ja että AB z (t) = 0 " ;
ei ole radiotaajuuskenttää, joten meillä on B xy '= 0 ;
pyörivän järjestelmän pyöriminen on kulmataajuudella Ω = ω 0 .

Pyörivässä vertailukehyksessä pitkittäisen ydinmagneettisen liikkeen yhtälö M z (t) on yksinkertaistettu:

{\ displaystyle {\ frac {dM_ {z} (t)} {dt}} = - {\ frac {M_ {z} (t) -M_ {0}} {T_ {1}}}}

Se on lineaarinen tavallinen differentiaaliyhtälö ja sen ratkaisu on:

{\ displaystyle M_ {z} (t) = M_ {0} - [M_ {0} -M_ {z} (0)] e ^ {- t / T_ {1}}}

missä M z (0) on pitkittäinen ydinmagneettisuus pyörivässä kehyksessä hetkellä t = 0. Tämä on differentiaaliyhtälön lähtöehto.

90 ° ja 180 ° pulsseja radiotaajuuskentässä

Yleensä pulsseja 90 ° ja 180 ° radiotaajuuskentässä käytetään NMR: ssä. Näiden pulssien vaikutus magnetoitumiseen on esitetty seuraavassa kuvassa:

Edellisen oletukset on modifioitu lisäämällä radiotaajuinen kenttä B 1 , kuten:

t = 0, radiotaajuisen pulssin vakio amplitudi ja taajuus ω 0 levitetään. Meillä on B ' xy (t) = B' xy- vakio ja τ tämän pulssin kesto;
T 1 ja T 2 → ∞. Käytännössä tämä tarkoittaa sitä, että τ on pieni verrattuna T 1 ja T 2 .

Sitten 0 ≤ t ≤ τ:

{\ displaystyle {\ begin {tasattu} {\ frac {dM_ {xy} '(t)} {dt}} = i \ gamma B_ {xy}' M_ {z} (t) \ end {tasattu}}}

{\ displaystyle {\ frac {dM_ {z} (t)} {dt}} = i {\ frac {\ gamma} {2}} \ vasen (M '_ {xy} (t) {\ yliviiva {B' _ {xy}}} - {\ yliviiva {M '_ {xy}}} (t) B' _ {xy} \ oikea)}

Ajan myötä magnetoinnilla on taipumus palata tasapainotilaan. Eri komponentit käyttäytyvät seuraavasti:

Katso myös

Diffuusio MRI käyttää yleistys Bloch yhtälöt: Bloch-Torrey yhtälöt , jotka sisältävät termit lisätään siirron takia magnetoinnin diffuusion.

Bibliografia

Toimii

Charles Kittel , Johdatus kiinteän olomuodon fysiikkaan , luku. 13 , John Wiley & Sons, 8 th ed. , 2004 ( ISBN 978-0-471-41526-8 ) .
Claude Le Sech ja Christian Ngô, Ydinfysiikka: Kvarkeista sovelluksiin , Dunod, Pariisi, 2010 ( ISBN 978-2-10-055331-0 ) .
Jean-Philippe Grivet, Sovelletut numeeriset menetelmät tutkijoille ja insinööreille , luku. 13 , Blochin yhtälöiden ratkaisu , EDP Sciences, ko . ”Grenoble Sciences”, 2 nd ed. ,Huhtikuu 2013( ISBN 9782759808298 ) .

Ulkoiset linkit

Animoitu Bloch-simulaatio Tanskan magneettiresonanssikeskuksesta

Viitteet

F. Bloch , Nuclear induktio , Physical Review , 70, 4604-73, 1946
Jacques Pescia, " Elektronisten pyörien rentoutuminen verkon kanssa (perusteoria ja menetelmät T1-ajan mittaamiseksi) ", Journal de Physique ,Marraskuu-joulukuu 1966, s. 782-800 ( lue verkossa )
" NMR: n periaate: rentoutumisilmiöt " (käytetty 25. huhtikuuta 2018 )
(in) " Bloch yhtälöt " päälle Kysymyksiä ja vastauksia MRI (näytetty 1 st toukokuu 2018 )
" ENS Lyonin ydinmagneettisen resonanssin kurssi " osoitteessa ens-lyon.fr ,1 kpl elokuu 2014(käytetty 30. huhtikuuta 2018 )
HC Torrey , " Bloch-yhtälöt diffuusioehdoilla ", Physical Review , voi. 104, n ° 3, 1956, s. 563-565 ( DOI 10,1103 / PhysRev.104.563 , Bibcode 1956PhRv..104..563T )