Etenemisyhtälön muodostaminen Maxwellin yhtälöistä

Eteneminen yhtälö sähkömagneettinen aalto voidaan laskea Maxwellin yhtälöt .

Alustavat oletukset

Oletetaan, että väliaine on lineaarinen, homogeeninen ja isotrooppinen (LHI). Siinä tapauksessa :

B→=μH→{\ displaystyle {\ vec {B}} = \ mu {\ vec {H}} \,} ja D.→=ϵE→{\ displaystyle {\ vec {D}} = \ epsilon {\ vec {E}} \,}

missä tarkoittaa magneettista läpäisevyyttä ja on dielektrinen läpäisevyys . μ=μ0 μr{\ displaystyle \ mu = \ mu _ {0} \ \ mu _ {r} \,}ϵ=ϵ0 ϵr{\ displaystyle \ epsilon = \ epsilon _ {0} \ \ epsilon _ {r} \,}

Oletetaan myös, että nämä kaksi kerrointa ja sähkövaraustiheys eivät riipu alueellisista (eikä ajallisista) muuttujista. ρ{\ displaystyle \ rho}

Suhteiden muotoilu

Ilmaistaan käyttämällä sähkökentän ja magneettikentän , ns Maxwellin yhtälöt jatkuvan materiaalin toteutettava seuraavat paikallinen muoto: E→{\ displaystyle {\ vec {E}}}H→{\ displaystyle {\ vec {H}}}

1. rot→ E→ = -μ ∂H→∂t{\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {rot}}} \ {\ vec {E}} = = - \ mu \ {\ frac {\ osittainen {\ vec {H}}} {\ osittainen t}}}
2. μ div H→ = 0{\ displaystyle \ mu \ \ mathrm {div} \ {\ vec {H}} \ = \ 0}
3. rot→ H→ =j→ + ϵ ∂E→∂t{\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {rot}}} \ {\ vec {H}} \ = {\ vec {j}} \ + \ \ epsilon \ {\ frac {\ osittainen {\ vec {E}} } {\ osittainen t}}}
4. ϵ div E→ = ρ{\ displaystyle \ epsilon \ \ mathrm {div} \ {\ vec {E}} \ = \ \ rho}

Sähkökentän E yhtälö

Suhteiden 1 ja 3 välisen magneettikentän eliminoimiseksi on kyse pyörimisen soveltamisesta ensimmäiseen ja kolmannen johtamiseen ajan suhteen. Käyttäen hypoteeseja ja kiitos Schwarzin lauseen, joka sallii spatiaalisten ja ajallisten differentiaalioperaattoreiden läpäisemisen, se tulee sitten H→{\ displaystyle {\ vec {H}}}

rot→ rot→ E→ + μ ∂∂t (j→ + ϵ ∂E→∂t)=0.{\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {rot}}} \ {\ vec {\ mathrm {rot}}} \ {\ vec {E}} \ + \ \ mu \ {\ frac {\ partisional} {\ osittainen t}} \ \ vasen ({\ vec {j}} \ + \ \ epsilon \ {\ frac {\ osittainen {\ vec {E}}} {\ osittainen t}} \ oikea) = 0.}

Identiteetti on vektorioperaattoreita johtaa sitten suhde  rot→ rot→ E→=grklod→ divE→ - ΔE→ {\ displaystyle \ {\ vec {\ mathrm {rot}}} \ {\ vec {\ mathrm {rot}}} \ {\ vec {E}} = {\ vec {\ mathrm {grad}}} \ \ mathrm {div} {\ vec {E}} \ - \ \ Delta {\ vec {E}} \}

ΔE→ - μ ϵ ∂2E→∂t2= μ ∂j→∂t + grklod→ divE→{\ displaystyle \ Delta {\ vec {E}} \ - \ \ mu \ \ epsilon \ {\ frac {\ partitali ^ {2} {\ vec {E}}} {\ osittainen t ^ {2}}} = \ \ mu \ {\ frac {\ osal {{vec {j}}} {\ osal t}} \ + \ {\ vec {\ mathrm {grad}}} \ \ mathrm {div} {\ vec {E} }}

ja suhde 4 lopulta merkitsee

ΔE→ - μ ϵ ∂2E→∂t2= μ∂j→∂t + 1ϵ grklod→ ρ.{\ displaystyle \ Delta {\ vec {E}} \ - \ \ mu \ \ epsilon \ {\ frac {\ partitali ^ {2} {\ vec {E}}} {\ osittainen t ^ {2}}} = \ \ mu {\ frac {\ osal {{vec {j}}} {\ ositettu t}} \ + \ {\ frac {1} {\ epsilon}} \ {\ vec {\ mathrm {grad}}} \ \ rho.}

Magneettikenttään H liittyvä yhtälö

Samankaltaisella käsittelyllä soveltamalla kiertoa suhteeseen 3 ja johtamalla ensimmäinen ajan suhteen, se tulee

ΔH→ - μ ϵ ∂2H→∂t2= - μ rot→ j→.{\ displaystyle \ Delta {\ vec {H}} \ - \ \ mu \ \ epsilon \ {\ frac {\ partitali ^ {2} {\ vec {H}}} {\ osittainen t ^ {2}}} = \ - \ \ mu \ {\ vec {\ mathrm {rot}}} \ {\ vec {j}}.}

Sovellus erilaisille tiedotusvälineille

Eristimissä tai tyhjiössä

Virrantiheys on nolla ja varaustiheys on vakio. Joten:

ΔE→ - 1v2 ∂2E→∂t2=0→,{\ displaystyle \ Delta {\ vec {E}} \ - \ {\ frac {1} {v ^ {2}}} \ {\ frac {\ partial ^ {2} {\ vec {E}}} {\ osittainen t ^ {2}}} = {\ vec {0}},} ΔH→ - 1v2 ∂2H→∂t2=0→,{\ displaystyle \ Delta {\ vec {H}} \ - \ {\ frac {1} {v ^ {2}}} \ {\ frac {\ parts ^ {2} {\ vec {H}}} {\ osittainen t ^ {2}}} = {\ vec {0}},}

jotka ovat kaksi d'Alembert yhtälöä , jonka aallot etenevät nopeudella määritelty . v{\ displaystyle v}ϵ μ v2=1{\ displaystyle \ epsilon \ \ mu \ v ^ {2} = 1}

Alipaineessa ( ja ) vaiheen nopeus on valon nopeus . μ=μ0{\ displaystyle \ mu = \ mu _ {0}}ϵ=ϵ0{\ displaystyle \ epsilon = \ epsilon _ {0}}ϵ0 μ0 vs.2=1{\ displaystyle \ epsilon _ {0} \ \ mu _ {0} \ c ^ {2} = 1}

Magneettikenttien ja sähkökenttien erottaminen näistä kahdesta viimeisestä yhtälöstä on vain ilmeistä: Maxwellin yhtälöt (nämä suhteet 1 ja 3 yllä) yhdistävät nämä kaksi kenttää.

Ratkaisut

D'Alembertin yhtälöissä ratkaisuina ovat harmoniset tasoaallot : alkaen sykkimisestä ja aaltovektorista, jolla on merkitty normi , skalaarifunktio ω{\ displaystyle \ omega} k→{\ displaystyle {\ vec {k}}}k{\ displaystyle k}

u(x→,t)=ei((k→,x→)-ωt){\ displaystyle u ({\ vec {x}}, t) = e ^ {i (({\ vec {k}}, {\ vec {x}}) - \ omega t)}}

voit määrittää kentät

H→(x→,t)=u(x→,t)H→0{\ displaystyle {\ vec {H}} ({\ vec {x}}, t) = u ({\ vec {x}}, t) {\ vec {H}} _ {0}} E→(x→,t)=u(x→,t)E→0{\ displaystyle {\ vec {E}} ({\ vec {x}}, t) = u ({\ vec {x}}, t) {\ vec {E}} _ {0}}

jotka ovat ratkaisuja milloin kv=ω.{\ displaystyle k \, v = \ omega.}

Maxwellin yhtälöt asettavat myös 3 vektorin ortogonaalisuuden:

(E→,H→)=(k→,E→)=(k→,H→)=0{\ displaystyle ({\ vec {E}}, {\ vec {H}}) = ({\ vec {k}}, {\ vec {E}}) = ({\ vec {k}}, {\ vec {H}}) = 0}

ja kentänormien neliöiden suhde tyydyttää

μ ||H||2=ϵ ||E||2.{\ displaystyle \ mu \ || H || ^ {2} = \ epsilon \ || E || ^ {2}.} Perustelu

Tarkastuksen jälkeen

∂E→∂t = - i ω u E→0,{\ displaystyle {\ frac {\ osal {{vec {E}}} {\ osittainen t}} \ = \ - \ i \ \ omega \ u \ {\ vec {E}} _ {0},} rot→ E→ = i u k→∧E→0,{\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {rot}}} \ {\ vec {E}} \ = \ i \ u \ {\ vec {k}} \ wedge {\ vec {E}} _ {0}, } div E→ = i u (k→,E→0),{\ displaystyle \ mathrm {div} \ {\ vec {E}} \ = \ i \ u \ ({\ vec {k}}, {\ vec {E}} _ {0}),}

Maxwellin yhtälöt (1-4) merkitsevät vastaavasti

1. k→∧E→0 = - μωH→0{\ displaystyle {\ vec {k}} \ wedge {\ vec {E}} _ {0} \ = \ - \ \ mu \ omega {\ vec {H}} _ {0}}
2. μ (k→,H→0) = 0{\ displaystyle \ mu \ ({\ vec {k}}, {\ vec {H}} _ {0}) \ = \ 0}
3. k→∧H→0 = ϵ ωE→0{\ displaystyle {\ vec {k}} \ wedge {\ vec {H}} _ {0} \ = \ \ epsilon \ \ omega {\ vec {E}} _ {0}}
4. ϵ (k→,E→0) = 0{\ displaystyle \ epsilon \ ({\ vec {k}}, {\ vec {E}} _ {0}) \ = \ 0}

milloin ja siten 3 vektorin ortogonaalisuus. j→=0→{\ displaystyle {\ vec {j}} = {\ vec {0}}}ρ=0,{\ displaystyle \ rho = 0,}

Normien neliöiden suhteellinen yhtälö seuraa kohdista 1 ja k2=μ ϵ ω2.{\ displaystyle k ^ {2} = \ mu \ \ epsilon \ \ omega ^ {2}.}

Ohmisissa johtimissa

Ohmin laki on fenomenologisen suhde virrantiheys sähkökentän:

j→=σΩE→,{\ displaystyle {\ vec {j}} = \ sigma _ {\ Omega} {\ vec {E}},}

σΩ{\ displaystyle \ sigma _ {\ Omega}}on sähkönjohtavuus (joka on käänteinen resistiivisyys ).

Olettaen, että varaustiheys pysyy vakiona, etenemisyhtälöt kirjoitetaan sitten

ΔE→ - 1v2 ∂2E→∂t2 - σΩ μ ∂E→∂t=0,{\ displaystyle \ Delta {\ vec {E}} \ - \ {\ frac {1} {v ^ {2}}} \ {\ frac {\ partial ^ {2} {\ vec {E}}} {\ osittainen t ^ {2}}} \ - \ \ sigma _ {\ Omega} \ \ mu \ {\ frac {\ osittainen {\ vec {E}}} {\ osittainen t}} = 0,} ΔH→ - 1v2 ∂2H→∂t2 - σΩ μ ∂H→∂t=0.{\ displaystyle \ Delta {\ vec {H}} \ - \ {\ frac {1} {v ^ {2}}} \ {\ frac {\ parts ^ {2} {\ vec {H}}} {\ osittainen t ^ {2}}} \ - \ \ sigma _ {\ Omega} \ \ mu \ {\ frac {\ osittainen {\ vec {H}}} {\ osittainen t}} = 0.} Ratkaisut

Näillä yhtälöillä on ratkaisuja, jotka ovat vaimennettuja tasoaaltoja , erityisesti harmonisia aaltoja, joiden amplitudi vähenee eksponentiaalisesti: itse asiassa aalto vaimenee, kun se etenee johtavassa väliaineessa.

Alkaen pulssi , normiaaltovektori ja vaimennuskerroin , skalaarifunktio ω{\ displaystyle \ omega}k→{\ displaystyle {\ vec {k}}}k{\ displaystyle k}λ{\ displaystyle \ lambda}

u(x→,t)=e-λ(k→,x→)⋅ei((k→,x→)-ωt){\ displaystyle u ({\ vec {x}}, t) = e ^ {- \ lambda ({\ vec {k}}, {\ vec {x}})} \ cdot e ^ {i (({\ vec {k}}, {\ vec {x}}) - \ omega t)}}

on liuokseen, osittaisdifferentiaaliyhtälö edellyttäen, että noudatetaan kaksi suhteiden yhdistää vastaavasti ja että . k{\ displaystyle k}λ{\ displaystyle \ lambda}ω{\ displaystyle \ omega}

Kuten eristävän väliaineen tapauksessa, on olemassa verrannollisia kenttävaihtoehtoja, jotka täyttävät Maxwellin yhtälöt: nämä kunnioittavat edelleen kolmen vektorin ortogonaalisuutta. u(x→,t){\ displaystyle u ({\ vec {x}}, t)}

Kenttien normien neliöiden suhde lopulta tyydyttää

μ ||H||2=ϵ(1+σΩ2ϵ2 ω2)12 ||E||2.{\ displaystyle \ mu \ || H || ^ {2} = \ epsilon \ left (1 + {\ frac {\ sigma _ {\ Omega} ^ {2}} {\ epsilon ^ {2} \ \ omega ^ {2}}} \ oikea) ^ {\ frac {1} {2}} \ || E || ^ {2}.} Perustelu

Tarkastuksen jälkeen

Δu =(i-λ)2k2u,{\ displaystyle \ Delta u \ = (i- \ lambda) ^ {2} k ^ {2} u,} ∂u∂t=-i ω u,{\ displaystyle {\ frac {\ partituali} {\ osittainen t}} = - i \ \ omega \ u,} ∂2u∂t2=-ω2u,{\ displaystyle {\ frac {\ partisaalinen ^ {2} u} {\ ositettu t ^ {2}}} = - \ omega ^ {2} u,}

u(x→,t){\ displaystyle u ({\ vec {x}}, t)} täyttää osittaisen differentiaaliyhtälön

Δu - μ ϵ ∂2u∂t2 - σΩ μ ∂u∂t=0{\ displaystyle \ Delta u \ - \ \ mu \ \ epsilon \ {\ frac {\ osal ^ {2} u} {\ ositettu t ^ {2}}} \ - \ \ sigma _ {\ Omega} \ \ mu \ {\ frac {\ partituali} {\ osittainen t}} = 0}

edellyttäen, että

(i-λ)2k2+μ ϵ ω2+i σΩ μ ω.{\ displaystyle (i- \ lambda) ^ {2} k ^ {2} + \ mu \ \ epsilon \ \ omega ^ {2} + i \ \ sigma _ {\ Omega} \ \ mu \ \ omega.}

Jotkut algebralliset laskelmat mahdollistavat sen varmistamisen, että tämän rajoituksen todelliset ja kuvitteelliset osat merkitsevät

k2=12 μ ϵ ω2 (s+1){\ displaystyle k ^ {2} = {\ frac {1} {2}} \ \ mu \ \ epsilon \ \ omega ^ {2} \ (s + 1)} λ2=s-1s+1{\ displaystyle \ lambda ^ {2} = {\ frac {s-1} {s + 1}}}

tai s=(1+σΩ2ϵ2 ω2)12.{\ displaystyle s = \ left (1 + {\ frac {\ sigma _ {\ Omega} ^ {2}} {\ epsilon ^ {2} \ \ omega ^ {2}}} \ right) ^ {\ frac { 1} {2}}.}

Nämä ovat suhteita, jotka sitovat ja joihin (eristyksen tapaus löytyy milloin ). k{\ displaystyle k}λ{\ displaystyle \ lambda}ω{\ displaystyle \ omega}σΩ=0{\ displaystyle \ sigma _ {\ Omega} = 0}

Erityisesti suurella nopeudella hyvässä johtimessa ( ) voimme myöntää likiarvon s>>1{\ displaystyle s >> 1}

λ k=(12 μ ω σΩ)12.{\ displaystyle \ lambda \ k = \ left ({\ frac {1} {2}} \ \ mu \ \ omega \ \ sigma _ {\ Omega} \ right) ^ {\ frac {1} {2}}. }

Käänteinen (jonka yksikkö on pituus) osoittaa aallon tunkeutumissyvyyden (jota vaimennetaan tekijällä tämän matkan kulkemisen jälkeen) ja syvyys pienenee pulssin juuren käänteisenä. λk{\ displaystyle \ displaystyle \ lambda k}e{\ displaystyle e}

Lopuksi on vielä löydettävä ratkaisuja, joiden kentät koostuvat reaaliluvuista komplekseista huolimatta. Esimerkiksi valitsemalla mielivaltaisesti todellinen alkukenttä ja ortogonaalinen aaltovektori määritellään todellinen vektori ja vaihesiirto tyydyttämällä tasa-arvo E→0{\ displaystyle {\ vec {E}} _ {0}}k→{\ displaystyle {\ vec {k}}}F→0{\ displaystyle {\ vec {F}} _ {0}}θ{\ displaystyle \ theta}

(i-λ)k→∧E→0 = i μ ω eiθF→0.{\ displaystyle (i- \ lambda) {\ vec {k}} \ wedge {\ vec {E}} _ {0} \ = \ i \ \ mu \ \ omega \ e ^ {i \ theta} {\ vec {F}} _ {0}.}

Määritä sitten kentät

H→(x→,t)=u(x→,t) eiθF→0{\ displaystyle {\ vec {H}} ({\ vec {x}}, t) = u ({\ vec {x}}, t) \ e ^ {i \ theta} {\ vec {F}} _ {0}} E→(x→,t)=u(x→,t)E→0{\ displaystyle {\ vec {E}} ({\ vec {x}}, t) = u ({\ vec {x}}, t) {\ vec {E}} _ {0}}

näemme, että he kunnioittavat:

• Maxwellin yhtälö 1 (koska yllä oleva suhde on tarkoitettu tähän tarkoitukseen),
• Maxwellin yhtälö 3 koska suhteet yhdistävät ja että ,k{\ displaystyle k}λ{\ displaystyle \ lambda}ω{\ displaystyle \ omega}
• nolla eroa, koska kolme vektoria ovat kohtisuorassa.

Näiden yhtälöiden lineaarisuuden perusteella täten määriteltyjen sähkö- ja magneettikenttien todelliset osat täyttävät Maxwellin yhtälöiden joukon. Siellä on kuitenkin edelleen vaihesiirto (nolla eristimien tapauksessa), jonka määrittelee: 0≤θ<π4{\ displaystyle 0 \ leq \ theta <{\ frac {\ pi} {4}}}

tg(θ)=λ.{\ displaystyle \ displaystyle tg (\ theta) = \ lambda.}

Edeltävien elementtien avulla voidaan päätellä monimutkaisten kenttien normien ja toisin sanoen niiden todellisten osien amplitudien välinen suhde käyttämällä E→{\ displaystyle {\ vec {E}}}H→{\ displaystyle {\ vec {H}}}

μ2 ω2 ||H||2=(1+λ2) k2||E||2=μ ϵ ω2 s ||E||2.{\ displaystyle \ mu ^ {2} \ \ omega ^ {2} \ || H || ^ {2} = (1+ \ lambda ^ {2}) \ k ^ {2} || E || ^ { 2} = \ mu \ \ epsilon \ \ omega ^ {2} \ s \ || E || ^ {2}.}

Aiheeseen liittyvät artikkelit

• Maxwellin yhtälöt
• Lennätinoperaattoreiden yhtälöt
• Jatkuvien väliaineiden elektrodynamiikka
• D'Alembertin yhtälö
• Aaltojen eteneminen

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">