Kierto

Rotaatio operaattori on ero operaattori kanssa osittaisderivaatat , joka on kolmiulotteinen vektori alalla , merkitään tai , tulitikut toinen kenttä on merkitty valinta: AT{\ displaystyle \ mathbf {A}}AT→{\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {A}}}}

röyhtäyttää→ AT→{\ displaystyle {\ overrightarrow {\ operaattorin nimi {rot}}} \ {\ vec {\ mathrm {A}}}}joko tai hyvin tai hyvin tai∇∧AT{\ displaystyle {\ boldsymbol {\ nabla}} \ wedge \ mathbf {A}}∇×AT{\ displaystyle {\ boldsymbol {\ nabla}} \ kertaa \ mathbf {A}}∇→∧AT→{\ displaystyle {\ vec {\ nabla}} \ wedge {\ vec {\ mathrm {A}}}}∇→×AT→{\ displaystyle {\ vec {\ nabla}} \ kertaa {\ vec {\ mathrm {A}}}}

vektoreille käytettyjen merkintäkäytäntöjen mukaan.

Vaikeampi edustaa yhtä tarkasti kuin kaltevuus ja eroavaisuuksia , se ilmaisee taipumus kentän riviä vektorikentästä pyörivät pisteeseen: paikallisen liikkeeseen pieni pitsi ympärillä tässä vaiheessa ei ole nolla, kun sen rotaatio ei ole. Esimerkiksi :

• on tornado , tuuli pyörii silmän syklonin ja tuulen nopeuden vektori kenttä on muu kuin nolla pyörivän silmän ympärille. Tämän nopeuskentän (toisin sanoen pyörteiskentän tai jopa pyörrekentän ) kiertäminen on sitä voimakkaampaa, mitä lähempänä silmää olemme. Hetkellinen pyörimisnopeus on määrä elementin , joka pyörre on puoli pyörivän tässä vaiheessa.
• kulmanopeudella pyörivän kiinteän aineen nopeuskentän kiertyminen on suunnattu pyörimisakselia pitkin ja suunnattu siten, että kiertyminen tapahtuu sen suhteen suorassa suunnassa ja on yksinkertaisesti yhtä suuri .V(r){\ displaystyle \ mathbf {V} (\ mathbf {r})}Ω{\ displaystyle {\ boldsymbol {\ Omega}}}2 Ω{\ displaystyle 2 \ {\ lihavoitu symboli {\ Omega}}}

Pyörimisnopeuden käsite on olennainen nestemekaniikassa . Se kuvaa nestepartikkelin pyörimistä. Jos virtaus on irrotaatiota (sen pyörimisnopeus on nolla missä tahansa pisteessä), matemaattisesti ilmaistuna nopeusvektori on potentiaalin gradientti (sanomme, että nopeudet "johtuvat potentiaalista  "). Jos nestettä voidaan pitää puristamattomana , tämän vektorin divergenssi peruutetaan. Laplace mahdollisten on siis nolla: se on harmoninen potentiaali, joka täyttää Laplacen yhtälön .

Määritelmä

Pyöritys on operaattori, joka muuntaa vektorikentän toiseksi vektorikentäksi.

Tilaan, 3 mitat ja suorakulmaisessa koordinaatistossa (siis suora ortonormaali kanta ), voidaan määritellä pyörivän kentän F  (F x , F y , F z ), jonka suhteen

∇∧F=(∂Fz/∂y-∂Fy/∂z∂Fx/∂z-∂Fz/∂x∂Fy/∂x-∂Fx/∂y)⟺∇→×F→=∇→∧F=(∂Fz∂y-∂Fy∂z)ux→+(∂Fx∂z-∂Fz∂x)uy→+(∂Fy∂x-∂Fx∂y)uz→{\ displaystyle {\ boldsymbol {\ nabla}} \ wedge \ mathbf {F} = {\ aloita {pmatrix} {\ partituali \ mathrm {F} _ {z} / \ osaa y} - {\ osallinen \ mathrm {F } _ {y} / \ osittainen z} \\ {\ osittainen \ mathrm {F} _ {x} / \ osittainen z} - {\ osallinen \ mathrm {F} _ {z} / \ osittainen x} \\ { \ partituali \ mathrm {F} _ {y} / \ osaa x} - {\ osaa \ matrm {F} _ {x} / \ osaa y} \ loppu {pmatrix}} \ Longleftrightarrow {\ vec {\ nabla}} \ kertaa {\ vec {F}} = {\ vec {\ nabla}} \ kiila {F} = {\ bigg (} {\ frac {\ osittainen F_ {z}} {\ osittainen y}} - {\ frac {\ osal F_ {y}} {\ osittainen z}} {\ bigg)} {\ vec {u_ {x}}} + {\ bigg (} {\ frac {\ osittainen F_ {x}} {\ osallinen z }} - {\ frac {\ osittainen F_ {z}} {\ osittainen x}} {\ bigg)} {\ vec {u_ {y}}} + {\ bigg (} {\ frac {\ osittainen F_ {y }} {\ partituali}} - {\ frac {\ osittainen F_ {x}} {\ osittainen y}} {\ bigg)} {\ vec {u_ {z}}}},

missä tarkoittaa operaattoria nabla . Muodollinen analogisesti kanssa ristitulo perustelee merkintätapa ( merkintää on myös todettu , että Englanti kirjallisuuden mukaisesti Gibbsin merkintätapa ristitulo). ∇{\ displaystyle {\ lihavoitu symboli {\ nabla}}}∇∧{\ displaystyle {\ lihavoitu symboli {\ nabla}} \ wedge}∇×{\ displaystyle {\ lihavoitu symboli {\ nabla}} \ kertaa}

Tämä voidaan myös kirjoittaa käyttämällä väärin merkintöjä käyttämällä determinanttia  :

∇∧F=|ijk∂∂x∂∂y∂∂zFxFyFz|{\ displaystyle {\ boldsymbol {\ nabla}} \ wedge \ mathbf {F} = {\ begin {vmatrix} \ mathbf {i} & \ mathbf {j} & \ mathbf {k} \\ {\ frac {\ osittainen } {\ partituali}} ja {\ frac {\ osittainen} {\ osioinen y}} ja {\ frak {\ osallinen} {\ osaa z}} \\\ mathrm {F} _ {x} & \ matrm { F} _ {y} & \ mathrm {F} _ {z} \ end {vmatrix}}}

missä i , j , k vastaavat tarkasteltavan ortonormaalin perustan vektoreita. Tämä viimeinen lauseke on ilmeisesti hieman monimutkaisempi kuin edellinen, mutta se on helposti yleistettävissä muihin koordinaattijärjestelmiin (katso alla).

Määritelmä ei riipu pohjasta, johon kirjoitamme F: n . Selittää tätä riippumattomuutta ehkä mieluummin määritelmän, joka ei viittaa koordinaatit F . Täten yksi kiertämisen sisäinen määritelmä (muun muassa) on seuraava. Vakiovektorista X 0 ja kentästä F voidaan rakentaa kenttä, jonka divergenssi on lineaarinen muoto suhteessa X 0 : een ja joka on siten ilmaistu skalaarisen tulon K · X 0 muodossa , jossa K osoittautuu olla F  : n rotaation vastakohta : X0∧F{\ displaystyle \ mathbf {X_ {0}} \ wedge \ mathbf {F}}

∇⋅(X0∧F)=-(∇∧F)⋅X0.{\ displaystyle {\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot (\ mathbf {X_ {0}} \ wedge \ mathbf {F}) = - ({\ boldsymbol {\ nabla}} \ wedge \ mathbf {F}) \ cdot \ mathbf {X_ {0}}.}

Toinen mahdollinen määritelmä, joka on yleisempi, mutta jota on vaikea muodostaa, koostuu vektorikentän pyörimisen määrittelemisestä pisteessä kentän paikallisena kiertona tämän pisteen ympärillä. Tämän määritelmän tarkka merkitys seuraa Greenin lauseesta, joka rajapinnalle merkitsee S{\ displaystyle S}VS{\ displaystyle C}

∮VSF⋅dl=∬S(∇∧F)⋅ds{\ displaystyle \ vo _ {\ mathrm {C}} \ mathbf {F} \ cdot \ mathbf {dl} = \ iint _ {\ mathrm {S}} ({\ lihavoitu symboli {\ nabla}} \ wedge \ mathbf { F}) \ cdot \ mathbf {ds}}

Kuten kahden vektorin ristituote, pisteessä todellisen vektorikentän pyöriminen on pseudovektori .

Pyörivä tensori

Todellisuudessa kiertoa voidaan kuvata tiukasti vain tensorien formalismin puitteissa . Tässä yhteydessä kiertoa sovelletaan lineaariseen muotoon ƒ järjestyksen 2 tensorin muodostamiseksi. Sen komponentit kirjoitetaan

[röyhtäyttääf]klob=∂klofb-∂bfklo{\ displaystyle [\ operaattorin nimi {rot} \; f] _ {ab} = \ osittainen _ {a} f_ {b} - \ osittainen _ {b} f_ {a}}.

Tämä ilmaisu koskee vain tavallisia johdannaisia ​​eikä kovariaanisia johdannaisia . Ero, joka tapahtuu, on sama riippumatta siitä, pidetäänkö tavanomaisia ​​johdannaisia ​​vai kovariaattojohdannaisia. Tämä ilmaisu voidaan rakenteella nähdä antisymmetrisenä matriisina. Dimensiossa 3 on vastaavuus vektoreiden (joissa on kolme komponenttia) ja antisymmetristen matriisien (joissa on kolme itsenäistä komponenttia) kanssa. Siksi voimme omaksua tämän matriisin vektoriksi. Teknisesti, vastaavuus on tehty tensor Levi-Civita ε , joka mahdollistaa rakentaa kaksi vektori tilauksen antisymmetrinen tensor 2. kiemura vektorikentästä on määritelty kolmiulotteinen kaksi pyörivän tensor:

[röyhtäyttääf]vs.=12evs.klob(∂klofb-∂bfklo){\ displaystyle [\ operaattorin nimi {rot} \; f] ^ {c} = {\ frac {1} {2}} \ varepsilon ^ {cab} \ left (\ osal _ {a} f_ {b} - \ osittainen _ {b} f_ {a} \ oikea)}.

Kun metriikka g on määritelty , voidaan helposti konstruoida vektorin kierto käyttämällä metristä vektoria muunnettaessa siihen liittyvään lineaariseen muotoon ja sitten käyttämällä yllä olevaa kaavaa. Siten komponenttien a b vektorille a on

[röyhtäyttääklo]vs.=12evs.klob(∂klo(gbdklod)-∂b(gklodklod))=12evs.klob(∂kloklob-∂bkloklo)=evs.klob∂kloklob{\ displaystyle [\ operaattorin nimi {rot} \; a] ^ {c} = {\ frac {1} {2}} \ varepsilon ^ {cab} \ left (\ osal _ {a} (g_ {bd} a ^ {d}) - \ osittainen _ {b} (g_ {ad} a ^ {d}) \ oikea) = {\ frac {1} {2}} \ varepsilon ^ {hytti} \ vasen (\ osittainen _ {a } a_ {b} - \ osittainen _ {b} a_ {a} \ oikea) = \ varepsilon ^ {ohjaamo} \ osittainen _ {a} a_ {b}}.

Tätä lauseketta on tietysti käytettävä pyörimisen laskemiseen ei-suorakulmaisessa koordinaatistossa (esimerkiksi sylinterimäisessä tai pallomaisessa, katso alla).

Sanasto

Vektori kenttä , jonka rotaatio on nolla, on pyörteetöntä kenttä tai konservatiivinen kenttä.

Laskentasäännöt

Lineaarisuus

Kaikille todellisille vakioille c ja kaikille vektorikentille A ja B

∇∧(vs.AT)=vs. ∇∧AT{\ displaystyle {\ boldsymbol {\ nabla}} \ wedge (c \ mathbf {A}) = c \ {\ boldsymbol {\ nabla}} \ wedge \ mathbf {A}}, ∇∧(AT+B)=∇∧AT+∇∧B{\ displaystyle {\ boldsymbol {\ nabla}} \ wedge (\ mathbf {A} + \ mathbf {B}) = {\ boldsymbol {\ nabla}} \ wedge \ mathbf {A} + {\ boldsymbol {\ nabla} } \ wedge \ mathbf {B}}.

Koostumus toisen määrän kanssa

Kaikille skalaarikentille u ,

∇∧(uAT)=u∇∧AT+(∇u)∧AT{\ displaystyle {\ boldsymbol {\ nabla}} \ wedge (u \; \ mathbf {A}) = u {\ boldsymbol {\ nabla}} \ wedge \ mathbf {A} + ({\ boldsymbol {\ nabla}} u) \ wedge \ mathbf {A}}, ∇∧(AT∧B)=(B⋅∇)AT-(AT⋅∇)B+AT(∇⋅B)-B(∇⋅AT){\ displaystyle {\ boldsymbol {\ nabla}} \ wedge (\ mathbf {A} \ wedge \ mathbf {B}) = (\ mathbf {B} \ cdot {\ boldsymbol {\ nabla}}) \ mathbf {A} - (\ mathbf {A} \ cdot {\ boldsymbol {\ nabla}}) \ mathbf {B} + \ mathbf {A} ({\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot \ mathbf {B}) - \ mathbf { B} ({\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot \ mathbf {A})}, jossa merkintä edustaa skalaarioperaattoria vektorin jokaisessa koordinaatissa, johon sitä sovelletaan .(AT⋅∇){\ displaystyle (\ mathbf {A} \ cdot {\ boldsymbol {\ nabla}})}(AT⋅∇)B=(AT⋅∇BxAT⋅∇ByAT⋅∇Bz){\ displaystyle (\ mathbf {A} \ cdot {\ boldsymbol {\ nabla}}) \ mathbf {B} = {\ begin {pmatrix} \ mathbf {A} \ cdot \ nabla \ mathbf {B} _ {x} \\\ mathbf {A} \ cdot \ nabla \ mathbf {B} _ {y} \\\ mathbf {A} \ cdot \ nabla \ mathbf {B} _ {z} \ end {pmatrix}}}

Koostumus useiden operaattoreiden kanssa

∇∧(∇u)=0  {\ displaystyle {\ boldsymbol {\ nabla}} \ wedge ({\ boldsymbol {\ nabla}} u) = {\ boldsymbol {0}} \ \}, ts. kaltevuuden kierto on aina nolla, ∇ ⋅ (∇∧AT)=0  {\ displaystyle {\ boldsymbol {\ nabla}} {\ boldsymbol {\}} \ cdot \ ({\ boldsymbol {\ nabla}} \ wedge \ mathbf {A}) = {\ boldsymbol {0}} \ \}, ts. pyörimisliikkeen ero on aina nolla,∇∧(∇∧AT)=∇(∇⋅AT)-ΔAT{\ displaystyle {\ boldsymbol {\ nabla}} \ wedge ({\ boldsymbol {\ nabla}} \ wedge \ mathbf {A}) = {\ boldsymbol {\ nabla}} ({\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot \ mathbf {A}) - \ Delta \ mathbf {A}}

(Katso pyörimisliike )

∇∧(AT⋅∇AT)=AT⋅∇(∇∧AT)-(∇∧AT)⋅∇AT{\ displaystyle {\ boldsymbol {\ nabla}} \ wedge (\ mathbf {A} \ cdot {\ boldsymbol {\ nabla}} \ mathbf {A}) = \ mathbf {A} \ cdot {\ boldsymbol {\ nabla} } ({\ boldsymbol {\ nabla}} \ wedge \ mathbf {A}) - ({\ boldsymbol {\ nabla}} \ wedge \ mathbf {A}) \ cdot {\ boldsymbol {\ nabla}} \ mathbf {A }}

Ilmaisu muissa koordinaattijärjestelmissä

Sylinterimäisissä koordinaateissa ∇∧AT=(1r∂ATz∂θ-∂ATθ∂z)ur+(∂ATr∂z-∂ATz∂r)uθ+1r(∂∂r(rATθ)-∂ATr∂θ)uz{\ displaystyle {\ boldsymbol {\ nabla}} \ wedge \ mathbf {A} = \ vasen ({\ frac {1} {r}} {\ frac {\ partituali \ mathrm {A} _ {z}} {\ osittainen \ theta}} - {\ frac {\ partituali \ mathrm {A} _ {\ theta}} {\ osittainen z}} \ oikea) \ mathbf {u_ {r}} + \ vasen ({\ frac {\ osallinen \ mathrm {A} _ {r}} {\ osittainen z}} - {\ frac {\ osallinen \ mathrm {A} _ {z}} {\ osittainen r}} \ oikea) \ mathbf {u _ {\ theta }} + {\ frac {1} {r}} \ vasen ({\ frac {\ partitali {{osittainen r}} (r \ mathrm {A} _ {\ theta}) - {\ frac {\ osallinen \ mathrm {A} _ {r}} {\ osittainen \ theta}} \ oikea) \ mathbf {u_ {z}}}. Pallomaisissa koordinaateissa

Valitsemalla fyysiset merkinnät sopimukselle ( ISO 31-11 -standardin mukaisesti ), nimittäin  : (x,y,z)⟶(rcos⁡φsynti⁡θ,rsynti⁡φsynti⁡θ,rcos⁡θ),0≤θ≤π,0≤φ<2π{\ displaystyle (x, y, z) \ longrightarrow (r \ cos \ varphi \ sin \ theta, r \ sin \ varphi \ sin \ theta, r \ cos \ theta), 0 \ leq \ theta \ leq \ pi, 0 \ leq \ varphi <2 \ pi}

∇∧AT=1rsynti⁡θ(∂∂θ(synti⁡θATφ)-∂ATθ∂φ)ur+(1rsynti⁡θ∂ATr∂φ-1r∂∂r(rATφ))uθ+1r(∂∂r(rATθ)-∂ATr∂θ)uφ{\ displaystyle {\ boldsymbol {\ nabla}} \ wedge \ mathbf {A} = {\ frac {1} {r \ sin \ theta}} \ vasen ({\ frac {\ partialistinen {\ osallinen \ theta}} (\ sin \ theta \ mathrm {A} _ {\ varphi}) - {\ frac {\ osittainen \ mathrm {A} _ {\ theta}} {\ osittainen \ varphi}} \ oikea) \ mathbf {u_ {r }} + \ vasen ({\ frac {1} {r \ sin \ theta}} {\ frac {\ partituali \ mathrm {A} _ {r}} {\ partituali \ varphi}} - {\ frac {1} {r}} {\ frac {\ partial} {\ osittainen r}} (r \ mathrm {A} _ {\ varphi}) \ oikea) \ mathbf {u _ {\ theta}} + {\ frac {1} {r}} \ vasen ({\ frac {\ partitali {\ osallinen r}} (r \ mathrm {A} _ {\ theta}) - {\ frac {\ partituali \ matrm {A} _ {r}} {\ partituali \ theta}} \ oikea) {\ lihavoitu symboli {\ mathbf {u _ {\ varphi}}}}}.

Yksikkö

Tavanomaisessa tapauksessa, jossa pohjan koordinaatit edustavat pituuksia, pyörimisen yksikkö on sitten tarkasteltavan kentän yksikkö jaettuna pituuden yksiköllä. Esimerkiksi nopeuskentän pyörimisyksikkö on radiaani aikayksikköä kohti, kuten kulmanopeus.

Huomautuksia ja viitteitä

1. Käsinkirjoituksessa, jossa lihavoituja merkkejä on vaikea saavuttaa, suositellaan yhtä kahdesta viimeisestä merkinnästä, mutta teoksessa löydämme usein ensimmäisen merkinnän.
2. Sciences.ch (vektorilaskenta)
3. Tämä on ehdottomasti totta vain, jos rajoitutaan vain tapaukseen, jossa vääntö on nolla. Mutta jopa nollasta poikkeavan vääntämisen läsnä ollessa ilmaisu tavallisilla johdannaisilla pysyy tensorina.
4. Seuraavista kaavoista, jotka ilmaistaan ​​perinteisillä operaattoreilla, tulee: rot (u A ) = u rot ( A ) + (grad u) ∧ A ja rot ( A ∧ B ) = (grad A ) ⋅ B - (grad B ) ⋅ A + A div B - B div A missä määritellä vektorin gradientti sen jakobian matriisilla. Vrt. Esimerkiksi Pierre Pernès , Johdatus deformoituvien väliaineiden mekaniikkaan: Tensorilaskennan elementit , Quæ ,2003, 441  Sivumäärä ( ISBN  978-2-85362-612-5 , lue verkossa ), mielenosoitukset s.  221-223 ja vektorikentän (joka on kertaluvun 2 tensorikenttä ) gradientin määrittely s.  176 ja sitä seuraavat
5. "  Mekaniikan matemaattiset työkalut: laskentataulukko 7: vektorianalyysi  " , osoitteessa http://math.univ-lille1.fr/ , vuosi 2013-2014

Katso myös

• Pyörimislause
• Kierto pyörimisestä
• Nabla , jota käytetään osoittamaan sekä kiertymää, divergenssiä että kaltevuutta
• Vektorianalyysi
• Pseudovektori
• Irrotatiivinen kenttä