Pseudovektori

In fysiikan , joka on pseudovektori tai aksiaalinen vektori on vektori on ulottuvuus 3, joiden suunta riippuu suunta on viite koordinaatistossa . Se on matemaattinen esine, joka käyttäytyy samalla tavalla kuin suoran pyörimisen vektori (pitäen suunnatut kulmat), mutta epäsuoran isometrian aikana , kuten symmetria pisteeseen tai tasoon nähden, eri tavalla.

Symmetria ortonormaalin perustan alkuperän suhteen johtaa pseudovektorin koordinaattien merkin muutokseen. Puhumme pseudovektoreista vastakohtana niin sanotuille tosi- tai polaarivektoreille , jotka ovat invariantteja tällaisella inversiolla.

Pseudovektorien laskentasäännöt eroavat siis todellisten vektoreiden säännöistä . Syynä on se, että pseudovektori, vaikka sillä olisi vektorina kolme komponenttia, jotka liittyvät valittuun koordinaatistoon, ei oikeastaan ole vektori, vaan matemaattinen esine, jota kutsutaan asteen 2 (tai 2-muodon) differentiaalimuodoksi . edustaa antisymmetrinen matriisi, joka koostuu kolmesta rivistä ja kolmesta sarakkeesta, jolloin sillä on vain kolme itsenäistä komponenttia.

Määritelmä

Pseudovektori on matemaattinen esine, jolla on todellisen vektorin tavoin suunta, suunta ja moduuli (plus mahdollisesti sijainti), mutta joka käyttäytyy eri tavalla symmetrian aikana (pisteeseen tai tasoon nähden) tai aikana vertailukehyksen muutos (suorasta trihedronista käänteiseksi trihedroniksi tai päinvastoin), vrt. alla .

Luokitus

Voimme erottaa pseudovektorit todellisista vektoreista merkitsemällä ne kaarevalla nuolella ( vastapäivään ), muistelemalla pyörimisen pseudovektoriaalisen luonteen. Esimerkki: pyörimisnopeuden pseudovektorille . ${\ displaystyle {\ overset {\ hookrightarrow} {\ omega}}}$

Kenraali

Pseudovectors usein konstruoitu ristitulo (kaksi polaarinen vektorit) tai pyörivä (polaarisen vektori).

Jos ja ovat kaksi tosi (polaarista) vektoria, objektin määrittämä ${\ vec a}$ ${\ displaystyle {\ vec {b}}}$ ${\ displaystyle {\ overset {\ hookrightarrow} {p}}}$

{\ displaystyle {\ overset {\ hookrightarrow} {p}} = {\ vec {a}} \ wedge {\ vec {b}}}

on pseudovektori. Jos muunnamme kaikki akselit niiden vastakohtiin, napavektorit muunnetaan niiden vastakohtiksi ( korvataan ja ja ). Jos se oli polaarivektori, sen muunnoksen tämän muunnoksen pitäisi olla kulta, käyttämällä ristitulon laskentakaavaa, näemme, että tällainen muunnos on muuttumaton: ei noudata samoja muunnossääntöjä kuin "todelliset" vektorit, tästä syystä nimi pseudovektori . ${\ vec a}$ ${\ displaystyle - {\ vec {a}}}$ ${\ displaystyle {\ vec {b}}}$ ${\ displaystyle - {\ vec {b}}}$ ${\ displaystyle {\ overset {\ hookrightarrow} {p}}}$ ${\ displaystyle - {\ overset {\ hookrightarrow} {p}}}$ ${\ displaystyle {\ overset {\ hookrightarrow} {p}}}$ ${\ displaystyle {\ overset {\ hookrightarrow} {p}}}$

Tämä käsite voidaan yleistää: puhumme pseudoskalaareista ja näennäisantureista määrille, jotka eivät noudata kaikkia skalaarien ja tensorien laskemista koskevia sääntöjä.

Pyörivä operaattori , vektorituote nabla- operaattorin kanssa , rakentaa myös pseudovektoreita.

Pseudovektorin käsite on erityisen tärkeä analysoitaessa vektorikenttien symmetrian ominaisuuksia. Siten, jos sähkökentällä (todellisella vektorilla) on samat symmetriat kuin sen lähteillä (varausten symmetriataso on symmetriataso ), magneettikenttä kääntää nämä ominaisuudet (virtojen symmetriataso on niiden antisymmetriataso ) . ${\ vec {E}}$ ${\ vec {E}}$ ${\ displaystyle {\ overset {\ hookrightarrow} {B}}}$ ${\ displaystyle {\ overset {\ hookrightarrow} {B}}}$

Pseudovektori on antisymmetrinen 2. asteen tensori ja siinä on kolme komponenttia kolmiulotteisessa tilassa.

Tarkoitus

Pseudovektoreita voidaan käyttää kuvaamaan:

kulmat avaruuden tasolla (1-kertainen kovariittinen 1-kertainen kontravariantti pseudovektori: eli ne, joiden normi on todellinen skalaari, kuten kulmat). Intuitiivisesti nämä pseudovektorit vastaavat kulman käsitettä avaruuden tasolla;
avaruudessa suuntautuneiden pintojen elementit (2-kertaiset kontravariantit pseudovektorit: niiden normi on kaksinkertaisen kontravariantti skalaari, kuten alueet);
pinnan jakauma avaruuspisteessä. (2-kertaiset kovariaattiset pseudovektorit, vastaavat vuorottelevia bilineaarisia muotoja ).

Kolme merkitystä yhdistävä ajatus on tasosta, tasopinnasta.

Fyysiset esimerkit

Esimerkkejä pseudovektoreista fysiikassa:

impulssimomentti , hetki on vauhtia ( ); ${\ displaystyle {\ overset {\ hookrightarrow} {L _ {\ mathrm {O}}}}} = {\ overrightarrow {\ mathrm {OM}}} \ kiila {\ vec {p}}}$
hetki voiman ( ); ${\ displaystyle {\ overset {\ hookrightarrow} {\ Gamma _ {\ mathrm {O}}}}} = {\ overrightarrow {\ mathrm {OM}}} \ wedge {\ vec {F}}}$
magneettikentän ( laki Biot ja Savartin : ); ${\ displaystyle {\ overset {\ hookrightarrow} {\ mathrm {d} B}} = \ vasen ({\ frac {\ mu _ {0} I} {4 \ pi}} \ oikea) {\ frac {{\ vec {r}} \ wedge {\ vec {\ mathrm {d} l}}} {r ^ {3}}}}$
magneettinen momentti ( ); ${\ displaystyle {\ overset {\ hookrightarrow} {\ mathrm {d} \ mu}} = {\ frac {1} {2}} \, {\ vec {r}} \ wedge {\ vec {j}} \ ; \ mathrm {d} V}$
pyörteisyyttä on nestettä , pyörivä nopeuden kentän ( ); ${\ displaystyle {\ overset {\ hookrightarrow} {\ omega}} = {\ overset {\ hookrightarrow} {\ operaattorin nimi {rot}}} ({\ vec {v}})}$
kulmanopeus .

Kulmanopeus-pseudovektorin ja säteen vektorin ristitulo pyörimiskeskipisteeseen asti antaa tarkasteltavan pisteen nopeuden: tämä on Varignonin kaava .

Kulmakiihtyvyys-pseudovektorin ja vektorisäteen ristitulo antaa tarkasteltavan pisteen kiihtyvyyden.

Symmetriat

Symmetria pisteestä

Symmetrisessä S O suhteessa pisteeseen O, joka on pseudovektori pysyy vakaana (kun polaarinen transformoidaan sen vastakohta).

Esimerkki:

Symmetria S O muuntaa kaksi polaarivektoria ja osaksi ja , mutta . ${\ vec v}$ ${\ vec w}$ ${\ displaystyle {\ vec {vb}} '= - {\ vec {vb}}}$ ${\ displaystyle {\ vec {w}} '= - {\ vec {w}}}$ ${\ displaystyle {\ vec {v}} '\ wedge {\ vec {w}}' = {\ vec {v}} \ wedge {\ vec {w}}}$

Symmetria suhteessa tasoon

Symmetriassa S P tason P suhteen pseudovektorin normaalikomponentti (tasoon) pysyy muuttumattomana ja sen yhdensuuntainen komponentti muuttuu vastakkaiseksi (kun taas polaarivektorille se on päinvastainen).

Esimerkki:

Symmetriassa tason P suhteen :

pyörivä levy, joka on yhdensuuntainen tason kanssa, pysyy muuttumattomana (lukuun ottamatta keskipisteen asemaa), joten myös sen pseudovektorin pyörimisnopeus (kohtisuorassa tasoon nähden); ${\ displaystyle {\ overset {\ hookrightarrow} {\ omega}}}$
tasoon nähden kohtisuorassa oleva pyörivä levy muunnetaan pyöriväksi levyksi toisessa suunnassa, minkä vuoksi sen pyörimisnopeuden pseudovektori (tason suuntainen) muuttuu . ${\ displaystyle {\ overset {\ hookrightarrow} {\ omega}}}$ ${\ displaystyle {\ overset {\ hookrightarrow} {\ omega}} \, '= - {\ overset {\ hookrightarrow} {\ omega}}}$

Laskentasäännöt

Tulee kiinnittää huomiota siihen, että jos laskelmat suoritetaan normaalisti, vektori / kovektori / pseudovektori voi olla sekaannusta. Näitä laskusääntöjä voidaan käyttää epäselvyyksien poistamiseen ja sen jälkeen niiden muuttamiseen.

Vektorituote

Jos ja ovat todellisia vektoreita (polaarivektoreita), määritelty objekti on pseudovektori. ${\ vec a}$ ${\ displaystyle {\ vec {b}}}$ ${\ displaystyle {\ overset {\ hookrightarrow} {p}} = {\ vec {a}} \ wedge {\ vec {b}}}$
Jos on todellinen vektori ja pseudovektori, esine, kuten edellä on määritelty on todellinen vektori: . ${\ vec a}$ ${\ displaystyle {\ overset {\ hookrightarrow} {b}}}$ ${\ displaystyle {\ vec {p}} = {\ vec {a}} \ wedge {\ overset {\ hookrightarrow} {b}}}$
Se on sama ristitulon on pseudovektori ja todellisen vektori: (se on erityisesti tapauksessa vektori Poyntingin on sähkömagnetismin ). ${\ displaystyle {\ vec {p}} = {\ overset {\ hookrightarrow} {a}} \ wedge {\ vec {b}}}$
Jos ja ovat pseudovecteurs, esine, kuten edellä on määritelty on pseudovektori: . ${\ displaystyle {\ overset {\ hookrightarrow} {a}}}$ ${\ displaystyle {\ overset {\ hookrightarrow} {b}}}$ ${\ displaystyle {\ overset {\ hookrightarrow} {p}} = {\ overset {\ hookrightarrow} {a}} \ wedge {\ overset {\ hookrightarrow} {b}}}$

Lisäys

Kahden pseudovektorin summaaminen tai vähentäminen on pseudovektori.
Pseudovektorin vastakohta on pseudovektori.
Emme lisää pseudovektoria, jossa on vektori tai koovektori.
Emme lisää erityyppisiä pseudovektoreita.

Kertominen todellisella skalaarilla

Pseudovektorin kertominen todellisella skalaarilla on saman tyyppinen pseudovektori.
Todellisen vektorin kertominen skalaarilla on todellinen vektori.

Scalar-tuote

Piste tuote todellisen vektorin ja covector on todellinen skalaari.
Kahden pseudovektorin pistetulo on todellinen skalaari.

Vakio

Normi on pseudovektori on skalaari. Se lasketaan kaavalla, jossa a , b ja c ovat pseudovektorin koordinaatit valitulla ortonormaalilla pohjalla . ${\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2}}}$

Pohjan muutos

Pseudovektorit noudattavat eri emäsmuutoskaavoja kuin todelliset vektorit.

Pseudovektorien emäkset poikkeavat todellisten vektoreiden perusteista: ortonormaalisesti tämä johtaa merkkien muutoksiin; millä tahansa perusteella muuttamalla vektorin ja saman suunnan pseudovektorin välisiä koordinaatteja. Jos kirjoitamme pseudovektoreita ja todellisia vektoreita samalle pohjalle ( i , j , k ), on jälleen tarpeen erottaa emäkset operaatioiden aikana, kuten tasosymmetria.

Sekoitettu tuote

Sekoitettu tuote on määritelty determinantti:

{\ mathrm {Det}} {\ bigl (} {\ boldsymbol a}, {\ boldsymbol b}, {\ boldsymbol c} {\ bigr)} = {\ boldsymbol a} \ cdot ({\ boldsymbol b} \ wedge {\ boldsymbol c})

Jos a on pseudovektori ja b ja c ovat todellisia vektoreita, tuloksena on todellinen skalaari. Muissa tapauksissa viittaa sekoitetun tuotteen määritelmään .

Kierrokset

Tuloksena on torsor on todellinen vektorin tapauksessa kineettinen , dynaaminen tai staattinen torsor .
Torsorin tulos on pseudovektori kinemaattisen vääntimen tapauksessa .
Vääntömomentti on pseudovektori kineettisen , dynaamisen tai staattisen vääntimen tapauksessa .
Vääntömomentti on todellinen vektori kinemaattisen vääntimen tapauksessa .

Kierto ja eroavuus

Kierto

Pyörivä kentän todellisen vektorien on pseudovektori. Tämä pseudovektori on tyypin 1 kovariittinen, yhden kerran kontravarianttinen.

Toisaalta pseudovektorikentän välillä on ristiriita kahden lähestymistavan välillä:

jos pidämme samat kaavat kuin vektoreille (kun työskentelemme toisessa emäksessä!), rotaatio on todellinen vektori. Tämä on yleisin määritelmä. Tunnetuin esimerkki on Maxwellin yhtälöiden esimerkki: pseudovektorin magneettikentän B kierto on verrannollinen nykyiseen vektoriin, joka on todellinen vektori: ${\ boldsymbol \ nabla} \ wedge {\ boldsymbol B} = \ mu _ {0} \ left ({\ boldsymbol j} + {\ boldsymbol j} _ {{{\ rm {D}}}} \ oikea)$ ;
noudattamalla toista lähestymistapaa, pseudovektorit, jotka käyttäytyvät kaikissa tapauksissa, kuten antisymmetriset toisen asteen tensorit, ne analysoidaan sellaisenaan. Ja sitten käytämme toisen asteen tensoreille annetun kiertymän määritelmää. Sitten ilmestyy jotain poikkeuksellista: tämän määritelmän mukaan lasketulla pseudovektorikentän rotaatiossa on sama kaava pseudovektorien kanonisessa perustassa kuin todellisten vektorien kenttien divergenssi todellisten vektorien kanonisessa perustassa. Toisin sanoen, pseudovektorikenttien rotaatio-operaattorin tavanomainen nimi on divergenssi . Ja se on aina nolla;

Eroavaisuudet

Ero kentän todellisen vektorien on skalaari. Toisaalta pseudovektorikentän ero on aina nolla. Tämä on yleisin määritelmä, tavanomainen esimerkki on jälleen magneettikenttä.

Synteesi

Sillä, mitä yleisesti kutsutaan pyörimiseksi, on todellisiin vektoreihin todellakin rotaation merkitys: pseudovektorit edustavat todellakin rotaatioita. Mutta tällä on pseudovektoreille hajaantumisen fyysinen merkitys. Ja toisen asteen tensoreille tämä on vektori.
Se, mitä yleisesti kutsutaan divergenssiksi, on aina nolla pseudovektoreille.

Matriisiesitys

Pseudovektoria voidaan esittää järjestyksessä 2 olevalla antisymmetrisellä tensorilla , jolla on 3 mahdollisuutta: joko tensori on 2 kertaa kontravariantti tai 1 kertaa kontravariantti-1-kertainen kovariantti tai 2 kertaa kovariantti. Ainoastaan 2 toinen tapaus vastaa tavallista matriisi , jossa toiminta tällaisen tensorin vektoriin antaa jälleen vektorin.

Tässä tapauksessa matriisi ortonormaalisti:

{\ begin {pmatrix} 0 & -c & b \\ c & 0 & -a \\ - b & a & 0 \\\ end {pmatrix}}

vastaa pseudovektoria, jota yleensä edustavat:

{\ begin {pmatrix} a \\ b \\ c \ end {pmatrix}}

Tämä neliömatriisin esitys on erityisen sopiva, koska:

ristitulos todellisen vektorin kanssa johtaa yksinkertaiseen matriisikertomukseen (kiinnitä kuitenkin huomiota merkkiin ja tekijöiden järjestykseen);
ristitulo toisen pseudovektorin kanssa johtaa kahden matriisin Lie-koukkuun . [A, B] = AB - BA; se on nolla vain ja vain, jos molemmat matriisit kulkevat;
perusmuutokset ovat identtisiä järjestyksen 2 tensoreiden perusmuutosten kanssa, jopa matriisien muutosten kanssa, kun kyse on tensorista, joka on 1 kertaa kontravariantti - 1 kertaa kovariantti;
sen avulla on helppo nähdä, että pseudovektori vastaa neljänneskierroksen kiertomatriisia tasossa, jota seuraa tai jota edeltää projektio tällä tasolla;
dimensiossa 2 tason kahden perusvektorin ristitulo vastaa antisymmetristä matriisia :

{\ begin {pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \\\ end {pmatrix}}

Tällä matriisilla voimme edustaa kompleksilukuja . Tämän matriisin matriisituote itsessään antaa vastakohdan identiteettimatriisille. Ja se sallii myös lineaarisen yhdistelmän avulla edustaa suoria tasosaminaisuuksia .

Eksponentiaalinen

Eksponentiaalinen on matriisi, joka edustaa pseudovectors ulottuvuus 3 on matriisin kierto, kulma (in radiaaneina ) , jonka suunta saadaan pseudovektori. ${\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2}}}$

Yleistys: tensorit

Varianssin / kovarianssin käsitteet ovat peräisin tensoreiden formalismista .

Tämä formalismi mahdollistaa vektorin, covectorin ja pseudovektorin käsitteiden laajentamisen yli 3-ulotteisiin tiloihin.

Huomautuksia ja viitteitä

Fysiikan ja kemian sanakirja . J.-L. Basdevant, X. Bataille, P.Fleury, P.Kohl, J.Robert. Koordinointi, Jérôme Robert. Nathan, 2004, sivu 326.
Fysiikan sanakirja . Richard Taillet, Loïc Villain, Pascal Febvre. 2 toinen painos. De Boeck, 2009, sivu 449-450.
Jean-Pierre Provost ja Gérard Vallée, Matematiikka fysiikassa: Fysiikka matematiikan suodattimen kautta , Pariisi, Éditions Dunod , coll. "Sup Sciences",Maaliskuu 2004, 1 st ed. , 331 Sivumäärä ( ISBN 2-10-004652-7 ) , s. 62-63.

Katso myös

Aiheeseen liittyvät artikkelit

Ulkoiset linkit

www.isima.fr/~leborgne/IsimathMeca/Produitvectoriel.pdf . "Ristituote, pseudoristituote ja antisymmetriset endomorfismit". 9 sivua.