Sekoitettu tuote

Vuonna geometria The sekoitettu tuote on nimi tekemät tekijä suunnatulla euklidisen puitteissa. Sen absoluuttinen arvo tulkitaan parallelotoopin tilavuudeksi .

Sekoitettua tuotetta kolmiulotteisessa suuntautunut euklidinen avaruus on artikkelissa vektori geometria .

Määritelmä

Olkoon E olla suuntautunut euklidinen avaruus dimension n. Tai B: n suora ortonormaalipohja E: lle . N: n E- vektorin sekatuote on määritelty ${\ displaystyle (x_ {1}, ..., x_ {n}) \ mapsto [x_ {1}, ..., x_ {n}] = {\ det} _ {B} (x_ {1}, ..., x_ {n})}$

Se ei riipu valitusta suorasta ortonormaalista perustasta B.

Sekoitettu tuote on nolla jos ja vain jos perheen x i liittyy tiukasti positiivinen, jos ja vain jos se on välitön perusteella, on arvoltaan 1, jos se muodostaa myös suora ortonormaaleina.

Se tarkistaa Hadamardin epätasa-arvon

[x_ {1}, \ pistettä, x_ {n}] \ leq \ prod \ rajoittaa _ {{i = 1}} ^ {n} \ | x_ {i} \ |

Kun vektorit muodostavat vapaan perheen, on tasa-arvo vain ja vain, jos tämä perhe on ortogonaalinen. Toisin sanoen, annettujen sivujen pituudet, oikea suuntainen on suurin tilavuus.

Katso Hadamard-matriisista tiettyjen vektorien (kertoimilla 1 ja -1) valmistus, joilla varmistetaan tasa-arvoisuus .

Osoitus suoran ortonormaalin perustan riippumattomuudesta

Endomorfismit, jotka lähettävät suoran ortonormaalipohjan suoralla ortonormaalilla pohjalla, ovat determinantin 1 ortogonaalisia automorfismeja . Vektorien x 1 , ... x n perheen determinantilla kahdessa suorassa ortonormaalissa emäksessä on siis sama arvo.

Euklidisessa avaruudessa ja jopa minkä tahansa ulottuvuuden todellisessa prehilbertin avaruudessa determinantit mahdollistavat myös minkä tahansa äärellisen ulottuvuuden rinnakkaispotentiaalien määrän laskemisen matriisien ja Gram-determinanttien muodossa .

Tällä kertaa ne ovat suuntautumattomia volyymeja, eikä suunnattua versiota voida antaa.

Sekoitetun tuotteen yhteys ulkoiseen tuotteeseen ja Hodgen kaksinaisuus

Mukaan Hodge kaksinaisuus , on mahdollista siirtää 0-vektori 1 erään n vektorisysteemi, että ulkoisen tuotteen muodossa vektoreiden suoran ortonormaaleina e 1 , ..., e n . Tämän vuoksi kirjoitetaan minkä tahansa n vektorin ulkoinen tulo

{\ displaystyle x_ {1} \ wedge x_ {2} \ wedge \ dots \ wedge x_ {n} = [x_ {1}, \ pisteitä, x_ {n}]. \ tähti 1}

On myös mahdollista nähdä sekoitettu tuote sovelluksesta kaksi n- lineaarinen muoto 0-muotoa 1

{\ displaystyle [\ dots] = {\ rm {d}} e_ {1} \ kiila {\ rm {d}} e_ {2} \ kiila \ pisteet \ kiila {\ rm {d}} e_ {n} = \ tähti 1}

Yleinen määritelmä ristitulosta

Pistetuotetta käyttämällä

Kaikille on , sovellus on lineaarinen muoto. E on äärellinen dimensioinen euklidinen tila, joten on olemassa ainutlaatuinen vektori, joka on merkitty siten, että: ${\ displaystyle (x_ {1}, \ pisteitä x_ {n-1})}$ ${\ displaystyle E ^ {n-1}}$ ${\ displaystyle x \ in E \ - [x, x_ {1}, ..., x_ {n-1}]}$ ${\ displaystyle x_ {1} \ kertaa \ pistettä \ kertaa x_ {n-1}}$

{\ displaystyle \ forall x \ E, [x, x_ {1}, ..., x_ {n-1}] = \ left \ langle x \, | \, x_ {1} \ kertaa \ pisteitä \ kertaa x_ {n-1} \ oikea \ rangle}

Vektoria kutsutaan ristituloksi . ${\ displaystyle x_ {1} \ kertaa \ pistettä \ kertaa x_ {n-1}}$ ${\ displaystyle (x_ {1}, \ pisteitä x_ {n-1})}$

Tuotteen ristisovellus on (n-1) -lineaarinen vuorotellen . Ristituote häviää vain ja vain, jos perhe on sukulaisia.

Ristituotteen koordinaatit ovat

{\ displaystyle x_ {1} \ times \ dots \ times x_ {n-1} = {\ begin {vmatrix} x_ {1} {} ^ {1} & \ cdots & x_ {1} {} ^ {n} \ \\ vdots & \ ddots & \ vdots \\ x_ {n-1} {} ^ {1} & \ cdots & x_ {n-1} {} ^ {n} \\\ mathbf {e} _ {1 } & \ cdots & \ mathbf {e} _ {n} \ end {vmatrix}}}

merkitsemällä e i suoran ortonormaalin perustan vektorit. Toisin sanoen ristitulon koordinaatit ovat tämän matriisin kofaktoreita .

By Hodge kaksinaisuus

Edellisen määritelmän voidaan kääntää avulla Hodge kaksinaisuuden seuraavasti, jossa vastaa toisiaan ristitulo ja ulkoinen tuote ja n- -1 vektorit . Ristituote on ainoa vektori, joka: $\ ajat$ $\ kiila$ $x_ {i}$

{\ displaystyle x_ {1} \ wedge x_ {2} \ wedge \ dots \ wedge x_ {n-1} = \ tähti \ left (x_ {1} \ kertaa x_ {2} \ kertaa \ pisteet \ kertaa x_ {n -1} \ oikea)}

Voimme myös kirjoittaa, tietäen, että ( n -1) -vektorilla meillä on : $\ eta$ ${\ displaystyle \ tähti \ tähti \ eta = (- 1) ^ {n-1} \; \ eta}$

{\ displaystyle x_ {1} \ kertaa x_ {2} \ kertaa \ pistettä \ kertaa x_ {n-1} = (- 1) ^ {n-1} \ tähti \ vasen (x_ {1} \ kiila x_ {2 } \ wedge \ dots \ wedge x_ {n-1} \ right)}

Tämä on ristituotteen vaihtoehtoinen määritelmä, joka vastaa seuraavaa ominaisuutta. Ristitulo on ainoa vektori siten, että kaikille on , meillä on: ${\ displaystyle x_ {1} \ kertaa x_ {2} \ kertaa \ pistettä \ kertaa x_ {n-1}}$ ${\ displaystyle (y_ {1}, \ pisteitä y_ {n-1})}$ ${\ displaystyle E ^ {n-1}}$

{\ displaystyle [x_ {1} \ kertaa \ pisteitä \ kertaa x_ {n-1}, y_ {1}, \ pisteitä, y_ {n-1}] = \ det (\ langle x_ {i} \, | \ , y_ {j} \ rangle) _ {1 \ leq i \ leq n-1,1 \ leq j \ leq n-1}}

. Esittely

Jos huomaamme , niin: ${\ displaystyle \ omega = \ tähti 1}$

{\ displaystyle [x_ {1} \ kertaa \ pistettä \ kertaa x_ {n-1}, y_ {1}, \ pistettä, y_ {n-1}] \, \ omega = (- 1) ^ {n-1 } [y_ {1}, \ pisteet, y_ {n-1}, x_ {1} \ kertaa \ pisteitä \ kertaa x_ {n-1}] \, \ omega}

{\ displaystyle = (- 1) ^ {n-1} y_ {1} \ kiila \ pisteet \ kiila y_ {n-1} \ kiila (x_ {1} \ kertaa \ pisteet \ kertaa x_ {n-1}) }

{\ displaystyle = y_ {1} \ kiila \ pisteet \ kiila y_ {n-1} \ kiila \ tähti (x_ {1} \ kiila \ pisteet \ kiila x_ {n-1})}

{\ displaystyle = \ left \ langle y_ {1} \ wedge \ dots \ wedge y_ {n-1} \, | \, x_ {1} \ wedge \ dots \ wedge x_ {n-1} \ right \ rangle \ , \ omega}

{\ displaystyle = \ det \ langle x_ {i} \, | \, y_ {j} \ rangle) _ {1 \ leq i \ leq n-1,1 \ leq j \ leq n-1} \, \ omega }

Huomautuksia ja viitteitä

Lelong-Ferrand / Arnaudies, matematiikkakurssi, Algebra , t. Minä, Dunod,1974, s. 393
(in) " CrossProduct " sivustolla ncatlab.org