Poynting-vektori
Poynting-vektori
Sähkökentän V ristitulo magneettikentällä B.
In fysiikka , Poyntingin vektori on vuon tiheys liittyvät eteneminen on sähkömagneettisen aallon . Sen suunta on etenemissuunta. Huomaa , , tai .
Π→{\ displaystyle {\ vec {\ Pi}}}
S→{\ displaystyle {\ vec {S}}}
R→{\ displaystyle {\ vec {R}}}
EI→{\ displaystyle {\ vec {N}}}![{\ vec {N}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13e01cc1cec4201098af497311170ea68412c6b7)
Poynting-vektorin virtaus pinnan läpi (suljettu tai ei) on yhtä suuri kuin aallon tämän pinnan läpi kuljettama teho . Moduuli Tämän vektorin on siten voima-alayksikköä kohti alue , toisin sanoen tiheys virtaus on energia ; se on homogeeninen energinen valaistuksen ja energinen exitance ; ja kansainvälisessä yksikköjärjestelmässä (SI) se ilmaistaan watteina neliömetriä kohti .
Poynting-vektorin yleinen ilmentyminen
Olkoon ja olla sähkökenttä ja magneettikenttä . Sähkömagneettisen energian säilyminen pinnan yli ilmaistaan paikallisessa muodossaan (kutsutaan usein Poyntingin lauseeksi ) säilytysyhtälönä :
E→{\ displaystyle {\ vec {E}}}
B→{\ displaystyle {\ vec {B}}}![{\ vec {B}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83ae7d80cab55b606de217162280b2279142bbb4)
∂e(t)∂t+∇→⋅Π→(t)=s(t){\ displaystyle {\ frac {\ osittainen e (t)} {\ osittainen t}} + {\ vec {\ nabla}} \ cdot {\ vec {\ Pi}} (t) = s (t)}![{\ displaystyle {\ frac {\ osittainen e (t)} {\ osittainen t}} + {\ vec {\ nabla}} \ cdot {\ vec {\ Pi}} (t) = s (t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/531aa5fcd23b801535a1ff2b9e2f4df433530888)
kanssa aika, tilavuus energiatiheys sähkömagneettisen kentän, vuo poistuva pintaenergia, ja termi lähde: tilavuusdensiteetistä saatu energiamäärä tai menetetty.
t{\ displaystyle t}
e{\ displaystyle e}
Π→{\ displaystyle {\ vec {\ Pi}}}
s{\ displaystyle s}
s>0{\ displaystyle s> 0}![s> 0](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76beea94b6662bd490c61c0628dddd8a8cd35538)
Maxwellin tyhjiöyhtälöistä johdetaan Poynting-vektorin lauseke tyhjössä:
Π→(t)=E→(t)∧B→(t)μ0{\ displaystyle {\ vec {\ Pi}} (t) = {\ frac {{\ vec {E}} (t) \ wedge {\ vec {B}} (t)} {\ mu _ {0}} }}![{\ displaystyle {\ vec {\ Pi}} (t) = {\ frac {{\ vec {E}} (t) \ wedge {\ vec {B}} (t)} {\ mu _ {0}} }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8a27a21662a4f39c1e6eda3e319b72cea79f7af)
missä μ 0 on tyhjiön läpäisevyys .
On lineaarinen materiaali , ja magneettisen permeabiliteetin μ ja jossa voi laiminlyödä dispersion ja tappiot, on suositeltavaa ottaa huomioon magneettisen herätteen määritelty suhde . Sitten saadaan yleisempi Poynting-vektorin ilmentymä:
H→(t){\ displaystyle {\ vec {H}} (t)}
B→(t)=μH→(t){\ displaystyle {\ vec {B}} (t) = \ mu \, {\ vec {H}} (t)}![{\ displaystyle {\ vec {B}} (t) = \ mu \, {\ vec {H}} (t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db60173292e9aeb64f0b8feb71f11cd1c22f8de5)
Π→(t)=E→(t)∧H→(t){\ displaystyle {\ vec {\ Pi}} (t) = {\ vec {E}} (t) \ kiila {\ vec {H}} (t)}![{\ displaystyle {\ vec {\ Pi}} (t) = {\ vec {E}} (t) \ kiila {\ vec {H}} (t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b3655e3550bc1d6e531626fe343e530febcb254)
.
Häviöisessä dispersiivisessä lineaarisessa väliaineessa Poynting-vektorin ilmentyminen säilyy , mutta Poynting-teemaa ei enää ilmaista ja siihen sisältyy muita hajoamistermejä.
Π→=E→∧H→{\ displaystyle {\ vec {\ Pi}} = {\ vec {E}} \ wedge {\ vec {H}}}
e{\ displaystyle e}![e](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd253103f0876afc68ebead27a5aa9867d927467)
Aikakeskiarvo monimutkaisessa merkinnässä
Kun kyseessä on harmoninen progressiivinen tasossa sähkömagneettinen aalto , olemme
E→=E→0cos(ωt-φ){\ displaystyle {\ vec {E}} = {\ vec {E}} _ {0} \ cos {(\ omega t- \ varphi)}}![{\ displaystyle {\ vec {E}} = {\ vec {E}} _ {0} \ cos {(\ omega t- \ varphi)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9aa1dc4b5ef05ab018c6ab20fc686f930e32de3)
ja
B→=B→0cos(ωt-ψ){\ displaystyle {\ vec {B}} = {\ vec {B}} _ {0} \ cos {(\ omega t- \ psi)}}![{\ vec B} = {\ vec B} _ {0} \ cos {(\ omega t- \ psi)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd4069c0ff0562373f61f316157831b929fe192)
Voidaan siten associate kompleksin määrien kanssa kentät ja esittämällä (jossa kompleksiluku , kuten ):
E→{\ displaystyle {\ vec {E}}}
B→{\ displaystyle {\ vec {B}}}
i{\ displaystyle i}
i2=-1{\ displaystyle i ^ {2} = - 1}![i ^ {2} = - 1](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88e98a401d352e5037d5043028e2d7f449e83fa6)
E→_=E→_0eiωt=E→0e-iφeiωt{\ displaystyle {\ underline {\ vec {E}}} = {\ alleviivaa {\ vec {E}}} _ {0} \, \ mathrm {e} ^ {i \ omega t} = {\ vec {E }} _ {0} \, \ mathrm {e} ^ {- i \ varphi} \, \ mathrm {e} ^ {i \ omega t}}![{\ displaystyle {\ underline {\ vec {E}}} = {\ alleviivaa {\ vec {E}}} _ {0} \, \ mathrm {e} ^ {i \ omega t} = {\ vec {E }} _ {0} \, \ mathrm {e} ^ {- i \ varphi} \, \ mathrm {e} ^ {i \ omega t}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c543feb8f866259f4069d43a7f6e657ec116bcd6)
ja
B→_=B→_0eiωt=B→0e-iψeiωt{\ displaystyle {\ underline {\ vec {B}}} = {\ alleviivaa {\ vec {B}}} _ {0} \ mathrm {e} ^ {i \ omega t} = {\ vec {B}} _ {0} \, \ mathrm {e} ^ {- i \ psi} \, \ mathrm {e} ^ {i \ omega t}}![{\ displaystyle {\ underline {\ vec {B}}} = {\ alleviivaa {\ vec {B}}} _ {0} \ mathrm {e} ^ {i \ omega t} = {\ vec {B}} _ {0} \, \ mathrm {e} ^ {- i \ psi} \, \ mathrm {e} ^ {i \ omega t}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/759907316c2dd39552529d940ac46ac4b722c8d9)
.
Poynting-vektorin ajallinen keskiarvo on silloin arvoinen:
⟨Π→⟩=12μ0Re(E→_∧B→_⋆){\ displaystyle \ langle {\ vec {\ Pi}} \ rangle = {\ frac {1} {2 \, \ mu _ {0}}} \; {\ text {Re}} \ left ({\ alleviiva { \ vec {E}}} \ kiila {\ alleviivattu {\ vec {B}}} ^ {\ tähti} \ oikea)}![{\ displaystyle \ langle {\ vec {\ Pi}} \ rangle = {\ frac {1} {2 \, \ mu _ {0}}} \; {\ text {Re}} \ left ({\ alleviiva { \ vec {E}}} \ kiila {\ alleviivattu {\ vec {B}}} ^ {\ tähti} \ oikea)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c85afb243a95b8397c30773ee8832bb3a356104)
jossa tarkoittaa konjugaattia jaB→_⋆{\ displaystyle {\ alleviivattu {\ vec {B}}} ^ {\ star}}
B→_{\ displaystyle {\ alleviivattu {\ vec {B}}}}
Yhteys säteen etenemisen energiatapaan
Poynting-vuon ajallinen keskiarvo liittyy suuntaan etenevän säteen luminanssiin . Tämän kirkkauden antaa:
L(Ω){\ displaystyle L (\ Omega)}
Ω0=Π→||Π→||{\ displaystyle \ Omega _ {0} = {\ frac {\ vec {\ Pi}} {|| {\ vec {\ Pi}} ||}}}![{\ displaystyle \ Omega _ {0} = {\ frac {\ vec {\ Pi}} {|| {\ vec {\ Pi}} ||}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d44a5f7f044c27b855db6d14a7b4d4ce7ad06463)
L(Ω)=⟨Π→⟩5(Ω-Ω0){\ displaystyle L (\ Omega) = \ langle {\ vec {\ Pi}} \ rangle \ delta (\ Omega - \ Omega _ {0})}![{\ displaystyle L (\ Omega) = \ langle {\ vec {\ Pi}} \ rangle \ delta (\ Omega - \ Omega _ {0})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e1e596d620f8e5a9af54712147bd7cd403a55a6)
missä on Dirac-funktio .
5{\ displaystyle \ delta}![\delta](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5321cfa797202b3e1f8620663ff43c4660ea03a)
Tarkistamme, että ensimmäinen momentti , joka edustaa vuon tiheyttä, löytää Poynting-vuon:
L(Ω){\ displaystyle L (\ Omega)}
f→{\ displaystyle {\ vec {f}}}![\ vec f](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2c36da6dad4ad8949b0f84bbaf0b5cb6d811fe5)
f→=∫S2ΩL(Ω)dΩ=⟨Π→⟩{\ displaystyle {\ vec {f}} = \ int _ {S ^ {2}} \ Omega L (\ Omega) \ mathrm {d} \ Omega = \ langle {\ vec {\ Pi}} \ rangle}![{\ displaystyle {\ vec {f}} = \ int _ {S ^ {2}} \ Omega L (\ Omega) \ mathrm {d} \ Omega = \ langle {\ vec {\ Pi}} \ rangle}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96405ac5377055ac7d966b6968e44c525d9b80a2)
Pinnan läpi kulkeva sähkömagneettinen teho
Seuraus Poyntingin lause on, että sähkömagneettinen voima kulkee pinnan S saadaan vuon ja Poyntingin vektori tämän pinnan läpi.
PS=∬SΠ→⋅dS→{\ displaystyle {\ mathcal {P}} _ {S} = \ iint _ {S} {\ vec {\ Pi}} \ cdot \ mathrm {d} {\ vec {S}}}![{\ displaystyle {\ mathcal {P}} _ {S} = \ iint _ {S} {\ vec {\ Pi}} \ cdot \ mathrm {d} {\ vec {S}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c09f25b736c676b3270d05afe8ee48faf5988fc)
Sähkömagneettisen kentän energiayhtälö
Olkoon sähkömagneettisen kentän energia:
Uem{\ displaystyle U_ {em}}![U _ {{em}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7214b2e847d1af666e81a52bb6fbf05d771a2a0f)
Uem=∭VWemdτ{\ displaystyle U_ {em} = \ iiint _ {V} W_ {em} \ mathrm {d} \ tau}
jossa W energia tilavuus tiheys (energian määrä tilavuusyksikköä kohti)
Määritämme energian määrän, joka jättää tilavuuden hetkeksi :
V{\ displaystyle V}
dt{\ displaystyle \ mathrm {d} t}![\ mathrm {d} t](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/588a981eb3c6f32c01153f8710a7f70029b5e553)
-dUemdt=-ddt∭VWemdτ=-∭V∂Wem∂tdτ{\ displaystyle - {\ frac {\ mathrm {d} U_ {em}} {\ mathrm {d} t}} = - {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ iiint _ {V} W_ {em} \ mathrm {d} \ tau = - \ iiint _ {V} {\ frac {\ osittainen W_ {em}} {\ osittainen t}} \ mathrm {d} \ tau}![- {\ frac {{\ mathrm d} U _ {{em}}} {{\ mathrm d} t}} = - {\ frac {{\ mathrm d}} {{\ mathrm d} t}} \ iiint _ {{V}} W _ {{em}} {\ mathrm d} \ tau = - \ iiint _ {{V}} {\ frac {\ osittainen W _ {{em}}} {\ osittainen t }} {\ mathrm d} \ tau](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76466e32f89b20c5ca740105b1bcd9c7516f0499)
Olkoon kentän energiavuotovektori. Green-Ostrogradsky-lauseen ( virtaus-divergenssilause ) mukaan voimme sanoa, että tilavuudesta V lähtevä virta on:
P→{\ displaystyle {\ vec {P}}}![{\ vec P}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/765f1dd50e122eb3e565c9bfee85de8f74d47f27)
∬ΣP→⋅ei→ dσ{\ displaystyle \ iint _ {\ Sigma} {\ vec {P}} \ cdot {\ vec {n}} \ \ mathrm {d} \ sigma}
yksikkövektorin kanssa, joka on normaali tilavuuden V pinnalle ja suunnattu sisäpuolelta ulkopuolelle.
ei→{\ displaystyle {\ vec {n}}}
Σ{\ displaystyle \ Sigma}![Sigma](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e1f558f53cda207614abdf90162266c70bc5c1e)
Tilavuuden energiahäviö voidaan selittää seuraavasti:
- tappiot liikkuvien kuormien "kitkasta" (ks. paikallinen Ohmin laki, Joule-vaikutus);
- häviöt, jotka johtuvat tilavuudesta lähtevästä sähkömagneettisesta säteilystä.
Siksi voimme sanoa, että:
-∭V∂Wem∂tdτ=∭V∇→⋅P→dτ{\ displaystyle - \ iiint _ {V} {\ frac {\ osittainen W_ {em}} {\ osittainen t}} \ mathrm {d} \ tau = \ iiint _ {V} {\ vec {\ nabla}} \ cdot {\ vec {P}} \ mathrm {d} \ tau}
+ työ, jonka kenttä tarjoaa materiaalille
Lasketaan tämä työ:
F→e"levs.trique=q(E→+v→∧B→){\ displaystyle {\ vec {F}} _ {\ rm {{\ sharp {e}} sähkö}} = q ({\ vec {E}} + {\ vec {v}} \ kiila {\ vec {B }})}
.
Hiukkaselle:
dW→=F→⋅dr→=qE→⋅dr→{\ displaystyle \ mathrm {d} {\ vec {W}} = {\ vec {F}} \ cdot \ mathrm {d} {\ vec {r}} = q {\ vec {E}} \ cdot \ mathrm {d} {\ vec {r}}}
(on helposti havaittavissa, että magneettinen voima ei toimi).
Siirrytään kentän tuottamaan tehoon. Hiukkasen vastaanottama teho on:
F→⋅v→=qE→⋅v→{\ displaystyle {\ vec {F}} \ cdot {\ vec {v}} = q \, {\ vec {E}} \ cdot {\ vec {v}}}
Hiukkastiheys on huomioitu , joten:
EI{\ displaystyle N}![EI](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5e3890c981ae85503089652feb48b191b57aae3)
∂WElevs.trique∂t=EIqE→⋅v→{\ displaystyle {\ frac {\ parts W_ {Electric}} {\ partic t}} = Nq {\ vec {E}} \ cdot {\ vec {v}}}
kulta- EIqv→=j→{\ displaystyle Nq {\ vec {v}} = {\ vec {j}}}
siksi ∂WElevs.trique∂t=j→⋅E→{\ displaystyle {\ frac {\ osal W_ {Sähkö}} {\ osal t}} = {\ vec {j}} \ cdot {\ vec {E}}}
Tämä tehohäviö on yhtä suuri kuin kentän energian menetys aika- ja tilavuusyksikköä kohti, joten kirjoitamme lopulta:
-∭V∂Wem∂tdτ=∭V∇→⋅P→dτ+∭Vj→⋅E→dτ{\ displaystyle - \ iiint _ {V} {\ frac {\ osittainen W_ {em}} {\ osittainen t}} d \ tau = \ iiint _ {V} {\ vec {\ nabla}} \ cdot {\ vec {P}} \ mathrm {d} \ tau + \ iiint _ {V} {\ vec {j}} \ cdot {\ vec {E}} \ mathrm {d} \ tau}
Joten lopuksi meillä on:
-∂Wem∂t=∇→⋅P→+j→⋅E→{\ displaystyle - {\ frac {\ partituali W_ {em}} {\ partitu t}} = {\ vec {\ nabla}} \ cdot {\ vec {P}} + {\ vec {j}} \ cdot { \ vec {E}}}
sähkömagneettisen kentän energian yhtälö
Huomautuksia ja viitteitä
-
Dubesset 2000 , sv wattia neliömetriä kohti, s. 124.
-
Dubesset 2000 , sv irradiance, s. 60.
-
Dubesset 2000 , sv energian ulostulo, s. 64.
-
Dubesset 2000 , SV vektori Poyntingin, s. 121.
-
(in) John David Jackson, Klassinen electrodynamics 3. painos , John Wiley & Sons ,1999, sivu 259
-
Klassisen elektrodynamiikan kolmas painos, JD Jackson, sivu 264 (sivut 275-277 ranskankielisessä versiossa)
Katso myös
Bibliografia
-
[Poynting 1884] (en) John Henry Poynting , " Energian siirrosta sähkömagneettisessa kentässä " , Philos. Trans. R. Soc. , voi. 175,Joulu 1884, taide. n o XV , s. 343-361 ( OCLC 6067266495 , DOI 10,1098 / rstl.1884.0016 , JSTOR 109449 , Bibcode 1884RSPT..175..343P , yhteenveto , lukea verkossa
[PDF] ) - taide. vastaanotettu17. joulukuuta 1883 ja lue se Tam 10, 1884.
-
[Dubesset 2000] Michel Dubesset ( préf. Gérard Grau), Käsikirja kansainvälisen mittayksikköjärjestelmän: sanasto ja tuloksia , Pariisi, Technip, Coll. " Ranskan öljyinstituutin julkaisut ",Syyskuu 2000, 1 st ed. , 1 til. , XX -169 Sivumäärä , sairas. , kuva. ja tabl. , 15 × 22 cm , leveä ( ISBN 2-7108-0762-9 , EAN 9782710807629 , OCLC 300462332 , ilmoitusta BNF n o FRBNF37624276 , SUDOC 052448177 , online-esitys , lukea verkossa ) , sv vektori de Poynting, s. 121.
Aiheeseen liittyvät artikkelit
Ulkoiset linkit